《信号与系统》课件第二章连续信号与系统的时域分析.ppt

1、 第 二 章 连续信号与系统的时域分析 连续系统微分方程的特点；连续系统微分方程的特点；系统响应的分解形式；系统响应的分解形式；阶跃响应与冲激响应；阶跃响应与冲激响应；卷积及其应用；卷积及其应用；2.0 2.0 引言引言2.1 2.1 微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解2.2 2.2 冲激冲激响应响应和和阶跃响应阶跃响应2.3 2.3 卷卷积积积积分分2.0 2.0 引言引言 系统时域分析法包含两方面的内容，一是微分方程的求解，系统时域分析法包含两方面的内容，一是微分方程的求解，另一是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信另一是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积

2、积分，求出系统输出响应。号进行卷积积分，求出系统输出响应。2.12.1微分方程的建立与求解微分方程的建立与求解 变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解零状态零状态可利用经典法求可利用经典法求零输入零输入双零法零法经典法经典法解方程解方程网络拓扑约束网络拓扑约束根据元件约束根据元件约束列写方程列写方程:,:经典法经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与前面电路分析课里已经讨论过，但与(t t)有有关的问题有待进一步解决关的问题有待进一步解决 h h(t t)；卷积积分法卷积积分法:任意激励下的零状态响应可通过冲激响任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。应来求。(新方法新方法)系

3、统分析过程系统分析过程2.1.12.1.1微分方程的建立微分方程的建立网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCLKCL，KVLKVL。系统分析过程系统分析过程根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互阻、电容、

4、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。感的初、次级电压与电流的关系等等。对于电系统，建立其微分方程的基本依据是对于电系统，建立其微分方程的基本依据是 ：KCLKCL：i i(t t)0 0 KVL KVL：u u(t t)0 0 VCR VCR：u uR R(t t)=)=RiRi(t t)2.1.12.1.1微分方程的建立微分方程的建立ttiLtuLd)(d)(ttuCtiCd)(d)(2.1.12.1.1微分方程的建立微分方程的建立 )()(d)(dStututtuRCCC即即 )(1)(1)(StuRCtuRCtuCC对图(a)，有 对图对图(b)(b

5、)，有，有 )()(d)(dStitittiRLLL即即 )()()(StiLRtiLRtiLL一般形式：一般形式：)()()(txtayty2.1.12.1.1微分方程的建立微分方程的建立)(1)(1)()(tiLCtiLCtiLRtis例例2-22-2图图2.22.2所示电路，试写出电流所示电路，试写出电流试写试写出出电电流流 与与激激励励源源 间间的的关关系系。解：根据解：根据KCLKCL得得:)()()(tititisc根据根据KVLKVL得得:)()()(tututuRcl根据电阻的伏安关系得根据电阻的伏安关系得:)()(tRituR根据电容的伏安关系得根据电容的伏安关系得:dict

6、utcc)(1)(根据电感的伏安关系得根据电感的伏安关系得:dttdiLtuL)()(2.1.12.1.1微分方程的建立微分方程的建立2.1.12.1.1微分方程的建立微分方程的建立 一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述下列形式的微分方程式来描述)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C C，E E均为常数，此方程为常系数的均为常数，

7、此方程为常系数的n n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。2.1.22.1.2微分方程的求解微分方程的求解(经典法经典法)分析系统的方法：列写方程，求解方程。分析系统的方法：列写方程，求解方程。变换域法变换域法利用卷积积分法求解利用卷积积分法求解零状态零状态可利用经典法求解可利用经典法求解零输入零输入应应零输入响应和零状态响零输入响应和零状态响经典法经典法解方程解方程网络拓扑约束网络拓扑约束根据元件约束根据元件约束列写方程列写方程:,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：齐次解就是：齐次解+特解。特解

8、。我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t t=0=0，响应为，响应为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t齐次解：由特征方程齐次解：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 nktkkA1e 注意重根情况处理方法注意重根情况处理方法。特特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。1122d)0(d,d)0(d,d)0(d,)0(nntrtrtrr2.1.22.1.2微分方程的求解微分方程的求解(经

9、典法经典法)kA全全 解解：齐次解齐次解+特解，由初始条件定出齐次解特解，由初始条件定出齐次解 。齐次解的形式齐次解的形式(1)特征根是不等实根特征根是不等实根s s1 1,s s2 2,s sn n1212()ns ts ts thny tK eK eK eL(2)特征根是等实根特征根是等实根s s1 1=s s2 2=s sn n 1 12()s ts tns thny tK eK teK teL(3)特征根是成对共轭复根特征根是成对共轭复根11111()(cos sin)(cossin)itthiiiiy teKtKteKtKtL2/,nijsiii2.1.22.1.2微分方程的求解微分

10、方程的求解(经典法经典法)特特解的形式解的形式特解的函数形式与激励函数的形式有关特解的函数形式与激励函数的形式有关2.1.22.1.2微分方程的求解微分方程的求解(经典法经典法)表表 2.1 2.1 几种典型激励函数相应的特解几种典型激励函数相应的特解 零输入响应（储能响应零输入响应（储能响应 ）：）：2.1.3 2.1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 零状态响应（受激响应零状态响应（受激响应 ）：）：LTILTI的全响应：的全响应：y(t)=y(t)=y yzizi(t)+(t)+y yzszs(t)(t)零输入响应零输入响应（Zero-Input ResponseZero

11、-Input Response）（1 1）即求解对应齐次微分方程的解）即求解对应齐次微分方程的解 特征方程的根为特征方程的根为n n个单根个单根 当特征方程的根当特征方程的根(特征根特征根)为为n n个单根个单根(不论实根、虚根、不论实根、虚根、复数根复数根)1 1，2 2，n n时，则时，则y yzizi(t)(t)的通解表达式为的通解表达式为tnttzineCeCeCty.)(21212.1.3 2.1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 特征方程的根为特征方程的根为n n重根重根 当特征方程的根当特征方程的根(特征根特征根)为为n n个重根个重根(不论实根、虚根、复不论实根

12、、虚根、复数根数根)1 1=2 2=n n时，时，y yzi(zi(t)t)的通解表达式为的通解表达式为:tnnttzinetCteCeCty121.)(212.1.3 2.1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应（2 2）求）求y yzizi(t)(t)的基本步骤的基本步骤 求系统的求系统的特征根特征根，写出，写出y yzizi(t)(t)的通解表达式。的通解表达式。将确定出的积分常数将确定出的积分常数C C1 1，C C2 2，C Cn n代入通解表达式，代入通解表达式，即得即得y yzizi(t)(t)。由于激励为零，所以零输入的初始值：由于激励为零，所以零输入的初始值：确定

13、积分常数确定积分常数C C1 1，C C2 2，C Cn n)0()0()()(iziiziyy2.1.3 2.1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应l零状态响应零状态响应（1 1）即求解对应非齐次微分方程的解）即求解对应非齐次微分方程的解（2 2）求）求y yzszs(t)(t)的基本步骤的基本步骤 求系统的特征根，写出的通解表达式求系统的特征根，写出的通解表达式y yzszs(t)(t)。根据根据f(t)f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解的形式，确定特解形式，代入方程解得特解ypyp(t)(t)。求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根求全解，若方程右边

14、有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得据冲激函数匹配法求得 ，确定积分常数，确定积分常数C C1 1，C C2 2，C Cn n将确定出的积分常数将确定出的积分常数C C1 1，C C2 2，C Cn n代入全代入全解表达式，即得解表达式，即得)0()(izsy2.1.3 2.1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应(1)(1)设设零零输输入入响响应应为为)(zitr，零零状状态态响响应应为为)(zstr，则则有有 2.1.3 2.1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为已知一线性时不变系统，在相同初始条件下

15、，当激励为)(te时，其全响应为时，其全响应为 tuttrt 2sine2)(31 ；当激励为；当激励为)(2te时，时，其全响应为其全响应为 )(2sin2e)(32tuttrt 。求：。求：(1)(1)初始条件不变，当激励为初始条件不变，当激励为 )(0tte 时的全响应时的全响应)(3tr，0t为为大于零的实常数。大于零的实常数。(2)(2)初始条件增大初始条件增大 1 1 倍，当激励为倍，当激励为)(5.0te时的全响应时的全响应)(4tr。)()2sin(e2)()()(3zszi1tuttrtrtrt )()2sin(2e)(2)()(3zszi2tuttrtrtrt 例例2-8

16、2-8)()2sin(2e)(2)()(3zszi2tuttrtrtrt 2.1.3 2.1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应)()()(0zszi3ttrtrtr )()22sin(e)(e300)(330ttutttuttt )(5.0)(2)(zszi4trtrtr tuttutt2sine5.0e3233 解得解得)(e3)(3zitutrt )()2sin(e)(3zstuttrt tutt2sin5.0e5.53 2.2 2.2 阶跃响应与冲激响应阶跃响应与冲激响应2.2.12.2.1冲激响应冲激响应线性非时变系统（线性非时变系统（LTILTI），当其初始），当其初

17、始0t(t)(1)线性非时变系统(t)h(t)(0)0th(t)0图图2-3 2-3 冲激响应示意图冲激响应示意图 2.2.12.2.1冲激响应冲激响应一阶系统的冲激响应一阶系统的冲激响应例例2-2-12-2-1求下图求下图2-42-4所示所示RCRC电路的冲激响应。电路的冲激响应。解：列系统微分方程：解：列系统微分方程：)(t C )(tvC)(tiCR)()(d)(dttvttvRCCC 0,0tt0)(d)(dtvttvRCCC图图2-4 2-4 图题例图题例2-2 2-2 冲激冲激 在在t=0t=0时转为系统的储能（由时转为系统的储能（由 体现），体现），t t 00时，在非零初始条件

18、下齐次方程的解，即为原系统时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。的冲激响应。(t)(t)特征方程特征方程01 RC特征根特征根RC1 时的解时的解 0 )(e)(ttuAtvRCtC下面的问题是确定系数下面的问题是确定系数A A,求求A A有两种方法：有两种方法：方法方法2 2：奇异函数项相平衡法，定系数：奇异函数项相平衡法，定系数A A。方法方法1:1:冲激函数匹配法求出冲激函数匹配法求出 ，定系数，定系数A A。)0(Cv)(e1)(1tuRCtvtRCC )(e1)(1tuRCthtRC 即即:RCA1 2.2.12.2.1冲激响应冲激响应方法方法2 2：奇异函数项相平

19、衡原理：奇异函数项相平衡原理)()(d)(dttvttvRCCC )(e)(tuAtvRCtC )(e)(d)(d1tuRCAtAttvtRCC 代入原方程代入原方程)()(e)()(e1ttuAtRCAtuARCRCRCtRCt )()(ttRCA 整理，方程左右奇异函数项系数相平衡整理，方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程已知方程冲激响应冲激响应求导求导注意注意！RCARCA1 1 2.2.12.2.1冲激响应冲激响应2.2.12.2.1冲激响应冲激响应)()(thtvC tRC1O图2-5 电容电压的冲激响应t R1CR21)(tiCO图2-6 电容电流的冲激响应)(1)(e1d)(d

20、)(12tRtuCRttvCtitRCCC2.2.12.2.1冲激响应冲激响应解：解：)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tttthtthtth 求特征根求特征根3,1034212 冲激响应冲激响应)()ee()(321tuAAthtt 求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr mnmn ,1,2 中中不不包包含含冲冲激激项项th将将e e(t t)(t t)，r r(t t)h h(t t)带带u u(t t)求待定系数求待定系数求0+法,奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法例例2-2-22-2-22.2.12.2.1冲

21、激响应冲激响应 20,10 hh代入代入h h(t t),),得得 212123010212121AAAAhAAh )(21)(3tueethtt tuatrtubtattrtuctbtattr dddd 22设设求求0 0+定系数定系数用奇异函数项相平衡法求待定系数用奇异函数项相平衡法求待定系数 )(ee)(321tuAAthtt )(e3e)()(e3e)(ee)(32121321321tuAAtAAtuAAtAAthtttttt tuAAtAAtAAthtt e9e33212121 )(),(),(代代入入原原方方程程将将ththth )(2)()(0)(3)(2121tttutAAtA

22、A 2121231212121AAAAAA )(ee21)(3tuthtt 根据系数平衡，得根据系数平衡，得2.2.12.2.1冲激响应冲激响应例例2-2-32-2-3已知某线性非时变已知某线性非时变(LTI)(LTI)系统在系统在 作作用下，产生的零状态响应为用下，产生的零状态响应为 ,试求系统的冲激响试求系统的冲激响 。2.2.12.2.1冲激响应冲激响应1()4(1)f tu t2(2)1()(2)4(3)u ty teu tu t2(1)2121()(1)4()()(1)(1)4(2)tf tf tu ty ty teu tu t 2(1)32322(1)3344111()()()()

23、()(1)(2)444()()11()()()(1)(1)2)24ttf tf tu ty ty teu tu tdf tdf tf tty teu tttdtdt 已知已知 根据非时变系统的特性，可以有根据非时变系统的特性，可以有 根据线性系统的特性，可以有根据线性系统的特性，可以有 1()4(1)f tu t2(2)1()(2)4(3)u ty teu tu t解解:（1 1）定义）定义线性非时变系统（线性非时变系统（LTILTI），当其初始状态为零时，输），当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用简

24、称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数跃函数 时，系统的零状态响应，如图时，系统的零状态响应，如图2-72-7所示。所示。2.2.2 2.2.2 阶跃响应阶跃响应线性非时变系统g(t)(0)001tu(t)g(t)0tu(t)图2-7 阶跃响应示意图)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110tuEttuEttuEttuEtgCttgCttgCttgCmmmmmmnnnnnnn n阶线性时不变系统的跃响应阶线性时不变系统的跃响应 对应的的微分方程为：对应的的微分方程为：()g t2.2.2 2.2.2 阶跃响应阶跃响应及起

25、始条件激励的各阶导数为零，但不为零，因此，系及起始条件激励的各阶导数为零，但不为零，因此，系统的阶跃响应统的阶跃响应g(t)g(t)的形式为齐次解加特解。的形式为齐次解加特解。跃响应与冲激响应的关系跃响应与冲激响应的关系ttttud)()(ttthtgd)()(例例2-2-42-2-4 已知系统的微分方程为：已知系统的微分方程为：求系统的阶跃响应求系统的阶跃响应 。()g t2.2.2 2.2.2 阶跃响应阶跃响应 tedttdetrdttdrdttrd323322,12,1 tutgdttdgdttgd1131223解：解：0000111gg21121AA tutueAeAtgtt21221

26、1 tueetgtt212121由零状态线性性得：由零状态线性性得：tueetgdttdgtgtt232123211 2.3 2.3 卷积积分卷积积分教学目的：教学目的：深刻理解并掌握卷积的定义，会利用其性质求深刻理解并掌握卷积的定义，会利用其性质求卷积，掌握卷积在卷积，掌握卷积在LTILTI系统中的应用。系统中的应用。教学重点：教学重点：卷积的定义，卷积的代数律及性质，卷积在卷积的定义，卷积的代数律及性质，卷积在L LTITI系统中的应用。系统中的应用。教学难点：教学难点：理解卷积的图解法，掌握卷积的系统分析法理解卷积的图解法，掌握卷积的系统分析法，会求任意输入信号产生的零状态响应。，会求任

27、意输入信号产生的零状态响应。d)()(21tff2.3.1 2.3.1 卷积的定义卷积的定义 d)()()()()(2121tfftftftyttfftftfty02121d)()()()()(若若f f1 1(t)(t)、f f2 2(t)(t)均为因果信号：均为因果信号：设设f f1 1(t)(t)、f f2 2(t)(t)是定义在区间（是定义在区间（，）上的两个连）上的两个连续信号，将积分续信号，将积分 定义为定义为f f1 1(t)(t)和和f f2 2(t)(t)的卷积，记作的卷积，记作 即：即：)()()(21tftfty例例 求求解解)(e)(e)()()(2121tttftft

28、ytt)()ee(1deedeed)()()(2121221210)(0)(021ttfftyttttttt设1=1，2=3，则)()ee(21)(3ttytt2.3.12.3.1卷积的定义卷积的定义 ()()hh()()hh t4.4.相乘相乘5.5.积分，积分，求函数求函数 的面积。的面积。)()(thf)()(thfdthfthtfty)()()()()()()(),()(hthftf1.1.换元（换元（t t)ththtththt在时间轴上左移是时，在时间轴上右移是时，)()(0)()(03 3、卷积的、卷积的图解图解法法2.2.反折反折3.3.移位移位2.3.2 2.3.2 卷积计算

29、卷积计算 图12.3.2 2.3.2 卷积计算卷积计算)e1(2de2d)()()(0)(0ttttthftyee 2de2d)()()()2(20)(20tttthfty图24 4、系统的卷积分析法、系统的卷积分析法 零状态响应零状态响应 =输入信号输入信号 冲激响应冲激响应 y y(t t)=)=f f(t t)h h(t t)过程：过程：(t)h(t)（定义）（定义）(t )h(t )（时不变性）（时不变性）f(t)(t)f(t)h(t)f(t)y(t)f()(t )f()h(t )（齐次性）（齐次性）d)()(thfd)()(tf（可加性）（可加性）2.3.2 2.3.2 卷积计算卷积

30、计算图8 求零状态响应的图示2.3.2 2.3.2 卷积计算卷积计算（1 1）代数性质：）代数性质：)(tfh t()y t()(tfh t()y t()如，输入和冲激响应的函数表达式互换位置，则零状态响如，输入和冲激响应的函数表达式互换位置，则零状态响应不变。应不变。2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质)()()()()()(2121ththtfththtf )()(thtf )()(21ththth 系统级联，框图表示：系统级联，框图表示：)(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf)()()(21ththtf )(tg)(tf)(th结论：时域中，子系统级联时，

31、总的冲激响应等结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。于子系统冲激响应的卷积。2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质 c c、分配律：、分配律：ththth21 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf 系统系统并联并联：)(tg)(tf)(th)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)()(1thtf)()(2thtf)()()()()()(21thtfthtfthtf 结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。各子系统冲激响应之和。2.3.3

32、 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质（3 3）积分特性：）积分特性：f(t t)*(t t)=)=f f(t t)*(1)1)(t t)(*)()(*)()(2)1(1)1(21)1(tftftftftytfd)(f f(t t)f f(t t)（2 2）微分特性：）微分特性：2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质图3)()()(212211tttyttfttf（4 4）卷积的延时特性：）卷积的延时特性：2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质例例 信号与冲激函数的卷积信号与冲激函数的卷积图图4 42.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质)()()(

33、)()()()()(tftfdtfdtfttf 0 1 1）任意函数）任意函数f(t)f(t)与单位冲激函数与单位冲激函数(t)(t)的卷积仍为该函数本的卷积仍为该函数本身。身。图52.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质)()()()()(111ttfdttftttf 即：即：)()()(11ttftttf 2 2）任意函数）任意函数f f(t t)与移位的冲激函数与移位的冲激函数(t t-t t1 1)的卷积为的卷积为f f(t t-t t1 1)。2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质)()()()()(212121tttfdtttfttttf 即：即：)()(

34、)(2121tttfttttf 3 3）任意函数）任意函数f f(t-tt-t1 1)移位后与移位的冲激函数移位后与移位的冲激函数(t t-t t2 2)的卷的卷积为积为f f(t t-t t1 1-t t2 2)。2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质推广：推广：)()()(2121tttfttttf)()()(tfttf d)()()(tfttf )()()(tfttfkk )()()(00ttftttf )()()(00ttftttfkk 2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质)(*)()()()(thtfdthftyzs 两个重要结论：两个重要结论：任意函数

35、任意函数 与单位冲激函数与单位冲激函数 的卷积仍为该函数本身。的卷积仍为该函数本身。即：即：LTILTI系统对于任意输入信号系统对于任意输入信号f f(t t)的零状态响应等于信号函数与该的零状态响应等于信号函数与该系统的冲激响应系统的冲激响应h h(t)的卷积。即：的卷积。即：x t()()t)(*)()()()(ttfdtftf 2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质)()()(ttth)()(thtf)()(thtf)()()(tttf)()()()(ttfttfdftft)()()(cos)(sintttt)(cos1 tt)(t2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质例例2-2-5 2-2-5 已知 ，求解：解：)(sin)(tttf表2.3 卷 积积 表 2.3.3 2.3.3 卷积积分的性质卷积积分的性质