《信号与系统》课件第六章离散信号与系统的Z域分析.ppt

1、第6章 离散信号与系统的离散信号与系统的Z Z域分析域分析单边单边Z Z变换及其重要性质；变换及其重要性质；系统差分方程的系统差分方程的Z Z变换解；变换解；系统函数系统函数H(z)H(z)及及Z Z域模拟；域模拟；数字信号处理的概念。数字信号处理的概念。6.1 Z6.1 Z变变 换换 6.2 6.2 双边双边Z Z变换的性质变换的性质 6.3 Z6.3 Z逆变换逆变换 6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析 6.5 6.5 系统函数与系统特性系统函数与系统特性6.6 6.6 离散时间系统频率响应离散时间系统频率响应6.7 6.7 离散系统的离散系统的Z Z域域模拟模拟6.1

2、6.1 Z 变变 换换 Z Z变换是在变换域里研究离散时间信号与系统的重要工具。变换是在变换域里研究离散时间信号与系统的重要工具。Z Z变换在离散时间信号与系统分析中的作用和拉普拉斯变换变换在离散时间信号与系统分析中的作用和拉普拉斯变换在连续时间信号与系统分析中的作用相似。在连续时间信号与系统分析中的作用相似。Z Z变换把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方变换把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程。程。Z Z变换其定义式可由抽样信号的拉氏变换推导出。变换其定义式可由抽样信号的拉氏变换推导出。6.1.1 6.1.1 双边双边Z Z变换的定义变换的定义Z Z 变换可以借助抽样信

3、号的拉氏变换来引入，也可以由定变换可以借助抽样信号的拉氏变换来引入，也可以由定义直接给出。义直接给出。连续信号连续信号 经理想抽样，即经理想抽样，即 乘以单位冲激序列乘以单位冲激序列 ，得到，得到抽样信号为抽样信号为 ()()()()()()()sTnnf tf ttf ttnTf nTtnT()TtT T为抽样时间间隔，对为抽样时间间隔，对 取拉氏变换得取拉氏变换得 ()sf t()()()snTssnF sL f tf nT e,sTz e令则式（则式（6.16.1）变为）变为()()nsnF zf nT e6.1.1 6.1.1 双边双边Z Z变换的定义变换的定义 采样间隔归一化，于是采

4、样间隔归一化，于是T=1,T=1,从而可写为从而可写为 这就是离散序列这就是离散序列 的双边的双边Z Z 变换的表达式。变换的表达式。()()nnF zf n e()f n()f n若有序列若有序列(n=0,1,2,),则则的的Z Z 变换定义为变换定义为()()nnF z deff n e()()F zf n()F z()f n称为序列称为序列的象函数()f n()F z1()(),f nF z称为称为的原函数，记为的原函数，记为()()f nF z 6.1.2 Z6.1.2 Z变换的收敛域变换的收敛域 与拉普拉斯变换的收敛域的定义相类似，与拉普拉斯变换的收敛域的定义相类似，Z Z变换的收敛

5、变换的收敛域的定义为：能使某一序列域的定义为：能使某一序列 的的Z Z变换变换 级数收敛的级数收敛的z z平平面上面上z z值的集合。序列值的集合。序列Z Z变换级数绝对收敛的条件是绝对可变换级数绝对收敛的条件是绝对可和，即要求和，即要求 上式是上式是 的的Z Z变换存在的充要条件。变换存在的充要条件。对于任意给定的有界序列对于任意给定的有界序列 ，满足，满足上上式的所有式的所有z z值的集合，称值的集合，称为为 的收敛域（的收敛域（region of convergenceregion of convergence）,简写为简写为ROCROC下面下面根据序列的性质，举例说明如何确定序列根据序

6、列的性质，举例说明如何确定序列Z Z变换的收敛域。变换的收敛域。()nnf n z()nnf n z()f n6.1.2 Z6.1.2 Z变换的收敛域变换的收敛域例例6-1-16-1-1求下列序列的双边变换及其收敛域（求下列序列的双边变换及其收敛域（a,b a,b 为非零）为非零）(1)()u()nf nan(2)()u(1)nf nbn(3)()u()u(1)nnf nanbn(4)()u(1)u(2)f nnn00(1)()()nnnnnnnaF zf n za zz2111aazazzzaz 解：解：11azRaz或zaa因因Z Z是一个复变量，其取值可在一个复平面上表示，该复平面是一个

7、复变量，其取值可在一个复平面上表示，该复平面称为称为Z Z平面。故平面。故在在z z平面上是以原点为中心，半径平面上是以原点为中心，半径的圆外部区域的圆外部区域。6.1.2 Z6.1.2 Z变换的收敛域变换的收敛域（2 2）1()()nnnnnF zf n zb z11=nnnnbzzb 23+zzzbbb121+zzzbbbzzb 2zRb2Ra收敛域是收敛域是z z平面上是以原点为中心平面上是以原点为中心，为为半径半径的圆的内部区域的圆的内部区域。6.1.2 Z6.1.2 Z变换的收敛域变换的收敛域(3)()()u()u(1)nnnnnnF zf n zanbnz 10nnnnnna zb

8、 zzzzazb双边双边Z Z变换可以看成是左边序列与右边序列的变换可以看成是左边序列与右边序列的Z Z变换的叠加。变换的叠加。等式右边第一个级数是左边序列，其收敛域为等式右边第一个级数是左边序列，其收敛域为 ，第二个，第二个级数是右边序列，其收敛域为级数是右边序列，其收敛域为 。当。当 时，双边序列的收时，双边序列的收敛域为两个级数的收敛域的重叠部分，为一个环形区域，敛域为两个级数的收敛域的重叠部分，为一个环形区域，2zR1zR12aRzRb6.1.2 Z6.1.2 Z变换的收敛域变换的收敛域(4)()()u(1)u(2)nnnnF zf n znnz11nnz11zz 21zzz0z 有限

9、长序列，只要级数的各项都存在且有限，则它们的和一有限长序列，只要级数的各项都存在且有限，则它们的和一 定存在且有限，即收敛域为定存在且有限，即收敛域为6.1.2 Z6.1.2 Z变换的收敛域变换的收敛域 由上例分析可得以下结论：由上例分析可得以下结论：(1)(1)有限长双边序列的双边有限长双边序列的双边Z Z变换的收敛域一般为变换的收敛域一般为0|z|0|z|0|z|0；有限长反因；有限长反因果序列双边果序列双边Z Z变换的收敛域为变换的收敛域为|z|z|z|z|z0 0|，z z0 0为复为复数、虚数或实数，即收敛域为半径为数、虚数或实数，即收敛域为半径为|z|z0 0|的圆外区域。的圆外区

10、域。6.1.2 Z6.1.2 Z变换的收敛域变换的收敛域(3)(3)无限长反因果序列双边无限长反因果序列双边Z Z变换的收敛域为变换的收敛域为|z|z|z|z0 0|，即，即收敛域为以收敛域为以|z|z0 0|为半径的圆内区域。为半径的圆内区域。(4)(4)无限长双边序列双边无限长双边序列双边Z Z变换的收敛域为变换的收敛域为|z|z1 1|z|z|z|1|z|13(1)3nzu nz|z|3224()13(1)(3)zzzzF zzzzz由线性性质得：由线性性质得：1|z|36.2.1线线性性性性质质例例6-2-26-2-2求因果余弦序列求因果余弦序列0cos()()n u n的双边的双边Z

11、 Z变换及其收敛域变换及其收敛域。0001cos()()2jnjnnee 00()1jnjzeu nzze00()1jnjzeu nzze 由线性性质得：由线性性质得：0020020cos1cos()()()22 cos1jjzzzzZn u nzezezz 0020sinsin()()12 sin1n u nzzz 6.2.26.2.2时移性质时移性质（1 1）双边双边Z Z变换位移性质变换位移性质()()mf n mz F z()()mf n mz F z12RzR12()(),f nF z RzR若若 则有则有 12RzR证明证明:根据双边根据双边Z Z变换的定义变换的定义()()nnZ

12、 f nmf nm z令令 k=n+mk=n+m()()()()()k mmkmkkZ f nmf k zzf k zz F z12RzR6.2.26.2.2时移性质时移性质（2）单边单边Z变换变换位移性位移性质质若若 1()()(),f n u nF zzR10()()()()mmkkf nm u nzF zf k z1zR1()()()()mkkmf n m u nzF zf k z1zR则则 证明证明:根据单边根据单边Z Z变换的定义变换的定义0()()()nnZ f nm u nf nm z()()()()()k mmkkmkmZ f nm u nf k zzf k z令令 k=n-m

13、k=n-m,10()()mkkkkmzf k zf k z1()()mkkmzFzfkz 6.2.26.2.2时移性质时移性质()u(2)f nn()f n例例6-2-36-2-3已知 求的双边和单边的双边和单边Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域。解：由于解：由于u()11znzz()f n的单边的单边Z Z变换为变换为 12210u(2)11111kkzzznzzzzzzzz f f(n n)的双边的双边Z Z变换为变换为3u(2)11znzz 6.2.3 Z6.2.3 Z域尺度变换域尺度变换12()(),f nF zRzR()nza f nFa12a Rza R若若 则则 ()()()()

14、nnnnnnzzZ a f na f n zf nFaa证明：证明：根据双边根据双边Z Z变换的定义，则有变换的定义，则有12zRRa1a(1)()()nf nFz12RzR即即 若令若令,Z Z域尺度性质表明，时域中乘以指数序列等效于域尺度性质表明，时域中乘以指数序列等效于Z Z平面的尺度平面的尺度压缩或扩展。压缩或扩展。例例6-2-4 6-2-4 已知已知 求求f f(n n)的双边的双边Z Z变换及其变换及其收敛域。收敛域。11()3(1),2nnf nu n11()()2nf nf n211()()33zzF zZ f nzzz111()()()(2)2nF zZ f nZf nFz2

15、(2)23zz2423zz3|2z 解：解：令令f f1 1(n n)=3)=3n n+1+1u u(n n+1+1)，由于：由于：3|z|3|z|00。若若k k=0=0，n n0,0,则有则有 若若k k=0=0，n n0,0,则有则有()()zf nFdn6.2.66.2.6初值定理初值定理()u()()f nnF z(0)lim()zfF z若若 01()()(0)()nnnnF zf n zff n z120()()(0)(1)(2)nnF zf n zffzfzz 1lim()(0)lim()(0)nzznF zff n zf证明证明 由于由于 当当当 时，外，其余各项都趋于零，所

16、以有外，其余各项都趋于零，所以有 则则 z 6.2.76.2.7终值定理终值定理1()lim(1)()zfzF z(1)()zF z若若则则f(n)的的终值为终值为 注意终值定理的应用条件注意终值定理的应用条件：当 的的ROCROC包含单位圆，或者包含单位圆，或者F F(z)(z)除在除在z=1z=1处有一阶极点外，其余极点处有一阶极点外，其余极点均位于单位圆内。均位于单位圆内。()()()f n u nF z20.2()10.50.2zzF zzzz23111(0.2)1 0.2(0)limlim1(1)(0.5)(0.2)(1)(1 0.5)(1 0.2)zzzzzfzzzzzz221(1

17、)(0.2)(0.2)4()limlim(1)(0.5)(0.2)(0.5)(0.2)3zzzzzzzfzzzzz 例例6-2-66-2-6已知 ，求求f f(0)(0)和和f f()()；解：解：幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）;部分分式展开法部分分式展开法;*围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）6.3 Z 6.3 Z 逆变换逆变换 6.3.16.3.1幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）由于由于()f n的的Z Z变换变换F F(z z)为为z z-1-1的幂级数，即的幂级数，即 1123()()(1)(0)(1)(2)(3)nnF zf n zfzffzfzfz一

18、般情况下，一般情况下，F F(z z)是一个有理分式，分子分母都是是一个有理分式，分子分母都是Z Z的多项式，的多项式，因此，可以直接利用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数因此，可以直接利用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数的展开式，从而得到的展开式，从而得到()f n,因此这种方法称为长除法。因此这种方法称为长除法。6.3.16.3.1幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）|z|1|z|1，求，求F F(z)(z)的原函数的原函数f f(n n)。22(),21zzF zzz例例6-3-16-3-1()F z1z解：解：因为因为F F(z)(z)的收敛域为的收敛域为|z|1|z|1

19、，所以其原函数为因果序列，将，所以其原函数为因果序列，将的分子分母按照的分子分母按照z z的降幂的降幂的升幂）进行排列，即的升幂）进行排列，即 22()21zzF zzz进行长除，得进行长除，得故原序列为故原序列为 ()(21)()f nnu n6.3.16.3.1幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）()f n()F z1z22()21zzF zzz22(),21zzF zzz例例6-3-26-3-2已知已知|z|1|z|1，求，求F F(z)(z)的原函数的原函数f f(n n)。解：解：因为因为F F(z)(z)的收敛域为的收敛域为|z|1|z|1，故，故F F(z)(z)的原函数

20、的原函数为反因果为反因果的降幂）进行排列，即的降幂）进行排列，即 进行长除，得进行长除，得序列，将序列，将1z分子分母按照分子分母按照z z的升幂（的升幂（123()35(21)nnF zzzznz 故原序列为故原序列为 ()(21)(1)f nnun 6.3.26.3.2部分分式展开法部分分式展开法若若F F(z)(z)为有理分式，则为有理分式，则F F(z)(z)可表示为可表示为 11101110()()()mmmmnnnnb zbzb zbB zF zA za zaza zaaz2012()()()m nm nD zF zcc zc zczA z()()()D zN zA z若若m mn

21、 n，F F(z)(z)为假分式。为假分式。可用多项式除法将可用多项式除法将F F(z)(z)表示为：表示为：，ci(i=0，1,2,m-n)为实数若若m m 2,|z|2,所以所以()f n为因果序列为因果序列。()F z 的极点全为一阶极点，的极点全为一阶极点，2312()2(1)(2)12KKKF zzzz zzzzz10()1zF zKzz21()(1)3zF zKzz 32()(2)3zF zKzz于是得于是得 ()13312F zzzzz33()112zzF zzz()()3()3(2)()nf nnu nu n2(),2,(2)(3)zF zzzz()f n例例6-3-4已知已知

22、 求求F(z)的原函的原函数数。解：解：F(z)的收的收敛敛域域为为|z|2，所以，所以f(n)为为反因果序列。反因果序列。()32(2)(3)32F zzzzzzz于是得：于是得：32()32zzF zzz(3)(1)33nzunzz (2)(1)22nzunzz 所以：所以：()2(2)3(3)(1)nnf nun 11(3)(2)(1)nnun 6.3.26.3.2部分分式展开法部分分式展开法6.3.26.3.2部分分式展开法部分分式展开法例例6-3-523(),23,(1)(2)(3)zzF zzzzz求求F F(z)(z)的原函数的原函数f f(n n)。解：解：F F(z)(z)的

23、收敛域为的收敛域为2|z|32|z|3，所以，所以f f(n n)为双边序列。为双边序列。()3253(1)(2)(3)123F zzzzzzzzz253()123zzzF zzzz()11zu nzz2()22nzu nzz3(1)33nzunzz 所以：所以：()2()5 2()3 3(1)nnf nu nu nun (2)(2)()F z的极点中含有重极点的极点中含有重极点 ()F z1zp()F zz设设在在处有处有r r阶重极点，其余为互不相同的单极点，则阶重极点，其余为互不相同的单极点，则可以展开为可以展开为0111111()().()()rppKKKF zN zzz zpzzpz

24、p式中各系数确定如下式中各系数确定如下111111()()(1,2,)(1)!iriiz pdF zKzpiridzz6.3.26.3.2部分分式展开法部分分式展开法111011().()rpK zK zF zKzpzp1111011(1)(2)()()u()()u()(1)!n rnrK n nnrpf nKnnKpnr 6.3.26.3.2部分分式展开法部分分式展开法1111011(1)(2)()()u(1)()u(1)(1)!n rnrK n nnrpf nKnnKpnr 反因果序列反因果序列 22(),12,(1)(2)zF zzzz()f n例例6-3-66-3-6已知已知 为双边序

25、列。为双边序列。()f n()F zz解：解：为双边序列，为双边序列，的部分分式展开式为：的部分分式展开式为：2()2(1)(2)F zzzz zz将上展为部分分式之和将上展为部分分式之和1112122()(2)(2)1KKKKF zzzzzz2512322(2)21zzzz6.3.26.3.2部分分式展开法部分分式展开法252312()(2)212zzzF zzzz1|z|2 因因为为122(1)2(2)nznunzz 2(1)22nzunzz()11zu nzz所以所以151()2 2(1)2(1)3()()22nnnf nununu nn 11(52)2(1)3()()2nnunu nn

26、 6.3.26.3.2部分分式展开法部分分式展开法(3)(3)()F zz 有共有共轭复极轭复极点点 例例6-3-56-3-5 22()224zzF zzzz求原函数求原函数f f(n n)。解解:f f(n n)为因果序列，为因果序列，F F(z)(z)的极点为的极点为 1,21j 3z 12()1(1j 3)(1j 3)1j 31j 3KKF zzzzzzz 式中各系数确定如下式中各系数确定如下11 j 3()1(1j 3)2zF zKzz 21 j 3()1(1j 3)2zF zKzz 1122()1j 31j 3zzF zzz 6.3.26.3.2部分分式展开法部分分式展开法1()1j

27、 31j 3u()2nnf nn 对上式取逆变换得对上式取逆变换得 22jj33122u()2nneen22jj3312u()2nnneen22 cosu()3nnn 6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析 首先利用首先利用Z Z变换的线性和移位性质把时间域的差分方程变换的线性和移位性质把时间域的差分方程变换为变换为Z Z域的代数方程，简化求解过程；同时，单边域的代数方程，简化求解过程；同时，单边Z Z变换变换将系统的初始状态自然地包含于象函数方程中。因此，即将系统的初始状态自然地包含于象函数方程中。因此，即可分别求得零输入响应，零状态响应，也可一举求得完全可分别求得零输入响应

28、，零状态响应，也可一举求得完全响应。过程如图响应。过程如图6-26-2所示。所示。()5(1)6(2)(1)y ny ny nf n()2(),(1)1,(2)1nf nu nyy。例例6-4-16-4-1已知二阶离散系统的差分方程为已知二阶离散系统的差分方程为 求系统的完全响应求系统的完全响应y y(n n)、零输入响应、零输入响应y yzizi(n n)、零状态响应、零状态响应y yzszs(n n)。6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析 ()2()22nzF zZu nzz解解:输入输入f f(n n)的单边的单边Z Z变换为变换为 对系统差分方程两端取单边对系统差分方

29、程两端取单边Z Z变换：变换：1221()5()(1)6()(1)(2)()Y zzY zyzzY zyzyzz F z整理方程：整理方程：1211(1 56)()5(1)6(1)6(2)()zzY zyyzyz F z()ziYz(1),(2):yy由于右边第一项与初始条件和系统特性有关，因此对应于零输由于右边第一项与初始条件和系统特性有关，因此对应于零输入响应，记为入响应，记为。而第二项只与输入和系统特性有关，所以对而第二项只与输入和系统特性有关，所以对，代入代入F F(z(z)和初始和初始条条件件 应于零状态响应，记为应于零状态响应，记为211211651)(651)2(6)1(6)1(

30、5)(zzzFzzzyzyyzYy yzszs(n n)y yzizi(n n)y yzszs(n n)12122616()1 5656zizzzYzzzzz2()6895623ziYzzzzzzz 6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析 6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析 89()323zizzYzzzz()8 2()9 3()nnziynu nu n 112()1 562zszzYzzzz2562zzzzz2()(56)(2)zsYzzzzzz1()22()3 2()3 3()nknzsynnu nu nu n 2()3 2()3 3()nnnnu nu

31、 nu n ()()()5 2()2()6 3()nnnzizsy nynynu nnu nu n 6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析 例例6-4-26-4-2设一数字处理系统的差分方程为设一数字处理系统的差分方程为()0.9(1)0.2(2)()(1)y ny ny nf nf n()()f nu n()h n试求试求 时的阶跃响应和单位响应时的阶跃响应和单位响应。解解:系统在零状态条件下，由单位节约序列产生的响应称为阶跃系统在零状态条件下，由单位节约序列产生的响应称为阶跃响应。由于这里响应。由于这里()()f nu n，故，故(1)(2)0ff且起始且起始状态状态(1)

32、(2)0yy对该差分方程两边同时取对该差分方程两边同时取Z Z变换时，与变换时，与(1),(1),(2)fyy有有关关的的项项均均为为零，故有零，故有121()0.9()0.2()(1)()Y zz Y zz Y zzF z 6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析 121(1 0.90.2)()(1)()zz Yzz Fz 从而从而12122()(1)()()()10.90.20.90.2F zzzz F zY zzzzz因为因为()1zF zz代入上式，得代入上式，得222()0.90.2(0.5)(0.4)zzY zzzzz部分分式展开部分分式展开12()(0.5)(0.4

33、)0.50.4KKY zzzzzzz解得系数解得系数 6.4 6.4 离散系统的离散系统的Z Z域分析域分析 10.5()(0.5)|5zY zKzz20.4()(0.4)|4zY zKzz 反变换得到阶跃响应反变换得到阶跃响应()()5(0.5)()4(0.4)()nny ns nu nu n根据单位样值响应与阶跃响应的关系根据单位样值响应与阶跃响应的关系()()(1)h ns ns n故该系统的单位样值为故该系统的单位样值为11()5(0.5)4(0.4)()5(0.5)4(0.4)(1)nnnnh nu nu n6.5.16.5.1系统函数的定义系统函数的定义 6.5 6.5 系统函数与

34、系统特性系统函数与系统特性变换变换激励信号的激励信号的变换变换零状态响应的零状态响应的ZZzFzYzH )()()(MrrNkkMNrnfbknyaMkfbkfbNnyanyanyaN00010)()()()()()1()(即：阶离散系统差分方程为设由差分方程求解系统函数：由差分方程求解系统函数：设输入为因果信号，在零状态下对上式做设输入为因果信号，在零状态下对上式做z z变换：变换：NkkkMrrrzazbzFzYzH00)()()(H H(z z)是是Z Z域分析的纽带，反映系统本身的属性，与系域分析的纽带，反映系统本身的属性，与系统的起始状态无关。统的起始状态无关。离散系统时域与离散系统

35、时域与z z域的关系：域的关系：6.5 6.5 系统函数与系统特性系统函数与系统特性)1(2)()2(16.0)1(6.0)(nfnfnynyny解解 取方程的取方程的Z Z变换变换则则 求系统函数求系统函数H H(z z)；求单位响应求单位响应h h(n n)。若激励若激励f f(n n)=0.4)=0.4n nu u(n n),),求其零状态响应求其零状态响应。)()21()()16.06.01(121zFzzYzz)8.0)(2.0()2(16.06.02)()()(22zzzzzzzzzFzYzH故故 0,)8.0(2.1)2.0(2.2)()(nn1nzHZnh例例6-4-36-4-

36、3求由线性常系数差分方程求由线性常系数差分方程 6.5 6.5 系统函数与系统特性系统函数与系统特性6.5.2 H(z)6.5.2 H(z)的零点和极点与时域的响应关系的零点和极点与时域的响应关系n n阶离散系统的系统函数阶离散系统的系统函数H(z)H(z)通常为有理分式，可以表示为通常为有理分式，可以表示为的有理分式，也可以表示为的有理分式，也可以表示为Z Z的有理分式。即的有理分式。即11101110()()()mmmmnnnnb zbzb zbB zH zA za zaza za11200121()()()()()()()()()mjjmnniizzzzzzzzH zHHzpzpzpzp

37、()H z的零、极点分布有以下几种情况：的零、极点分布有以下几种情况：（1）一）一阶实阶实零、零、极极点，位于点，位于z平面的平面的实轴实轴上；上；（2 2）一阶共轭零、极点，位于虚轴上并对称于实轴；）一阶共轭零、极点，位于虚轴上并对称于实轴；（3 3）一阶共轭复零、极点，对称于实轴；）一阶共轭复零、极点，对称于实轴；6.5.2 H(z)6.5.2 H(z)的零点和极点与时域的响应关系的零点和极点与时域的响应关系4 4）二阶和二阶以上的实、虚、复零点和极点，它们具有和一阶）二阶和二阶以上的实、虚、复零点和极点，它们具有和一阶极点相同的分布类型。离散时间系统的系统函数极点相同的分布类型。离散时间

38、系统的系统函数()H z也可以用零、极点分布图来表示，即将系统函数的零、极点绘在也可以用零、极点分布图来表示，即将系统函数的零、极点绘在z z平面上，零点用平面上，零点用“”表示，极点用表示，极点用“”表示，若是表示，若是n n阶零点阶零点或极点，则在相应的零、极点旁标注（或极点，则在相应的零、极点旁标注（n n）。）。()H z()h n()H z()h n()H z()h n()H z()h n若在单位圆上的实极点，则在单位圆上的实极点，则对应为阶跃对应为阶跃序列；序列；单位圆内的实极点，则单位圆内的实极点，则对应为对应为指指数数衰衰减减序列序列；在单位圆内的共轭极点，在单位圆内的共轭极点

39、，对应为衰减振荡序列；对应为衰减振荡序列；单位圆外的极点，单位圆外的极点，则则对应为增长序列对应为增长序列。()H z若若若若若若6.5.2 H(z)6.5.2 H(z)的零点和极点与时域的响应关系的零点和极点与时域的响应关系6.5.3 6.5.3 系统函数与系统的因果稳定关系系统函数与系统的因果稳定关系 线性时不变离散时间系统稳定的充分必要条件是单位样值线性时不变离散时间系统稳定的充分必要条件是单位样值序列绝对可和，即序列绝对可和，即|()|nh n由由Z Z变换的定义和系统函数的定义，可知变换的定义和系统函数的定义，可知()()nkH zh n z当当|1z（在（在z z平面的单位圆上）时

40、，对于稳定系统，有平面的单位圆上）时，对于稳定系统，有|1|1()|()|()|nzznnH zh nzh n 6.5.3 6.5.3 系统函数与系统的因果稳定关系系统函数与系统的因果稳定关系由系统函数由系统函数 的极点分布可以给出系统稳定的如下结论：的极点分布可以给出系统稳定的如下结论：(1)稳定稳定:若若 的所有极点位于单位圆内部，则系统稳定。的所有极点位于单位圆内部，则系统稳定。(3)(3)不不稳稳定。若定。若 只要有一只要有一个极个极点位于点位于单单位位圆圆外，或在外，或在单单位位圆圆上上有二有二阶阶或二或二阶阶以上的重以上的重极极点，点，则则系系统为统为不不稳稳定。定。(2)(2)临

41、界稳定。若临界稳定。若 的极点是位于单位圆上一阶极点，则系统的极点是位于单位圆上一阶极点，则系统 为临界稳定。为临界稳定。因果系统稳定的充要条件是因果系统稳定的充要条件是()H z的所有极点均位于的所有极点均位于z z平面的平面的单位圆以内。单位圆以内。例例6-5-26-5-2求以下差分方程表示的因果系统的函数，注明收敛域，求以下差分方程表示的因果系统的函数，注明收敛域，说明系统是否稳定。说明系统是否稳定。()0.2(1)0.24(2)()(1)y ny ny nf nf n6.5.3 6.5.3 系统函数与系统的因果稳定关系系统函数与系统的因果稳定关系解解 对方程两边同时进行对方程两边同时进

42、行Z Z变换有变换有121()0.2()0.24()()()Y zz Y zz Y zF zz F z因此因此112()1(1)()()1 0.20.24(0.4)(0.6)Y zzz zH zF zzzzz其极点其极点 由题意，系统为是因果系统，其收敛域由题意，系统为是因果系统，其收敛域为为 ,由于两极点均在单位圆内部，所以系统为稳定系统。由于两极点均在单位圆内部，所以系统为稳定系统。120.4,0.6pp0.6z 6.6 6.6离散时间系统频率响应离散时间系统频率响应6.6.1频频率率响应响应()h n jn Tf ne 设线性时不变系统的单位样值响应为设线性时不变系统的单位样值响应为，则

43、当激励是复指数序列则当激励是复指数序列时，时，T T为取样周期。则其响应（零状态响应）为为取样周期。则其响应（零状态响应）为()()*()y nf nh n()0()j n kTkh k e()()jn Tj Tkneh k e由于由于()()nkH zh n z()()()()jn Tj Tj Ty neH eH ef n 6.6 6.6离散时间系统频率响应离散时间系统频率响应jje(e)()TTzHH zjjj()(e)(e)eTTTHH 6.6 6.6离散时间系统频率响应离散时间系统频率响应)(jjeje)e()()()e(jTzTHTzHHT为取样周期对对于于稳稳定的离散系定的离散系统

44、统，其，其频频率特性率特性幅幅频频 相相频频特点：特点：H H(e(ej j T T)是周期函是周期函数数。因。因e ej j T T是以是以2 2 为为周期的函周期的函数数。6.6 6.6离散时间系统频率响应离散时间系统频率响应()(1)()y nay nf n例例6-6-1 6-6-1 在数字信号处理中，为了有效地传输低频信号，在数字信号处理中，为了有效地传输低频信号，一个常用的简单低通系统是一个常用的简单低通系统是0.5a（1）为何值时系统稳定？为何值时系统稳定？(2）若取若取，试求系统的频率特性，并画出其幅频特性试求系统的频率特性，并画出其幅频特性和相频特性。和相频特性。解解 由系统方

45、程可得系统函数由系统方程可得系统函数11()1zH zazza按稳定性要求，按稳定性要求，H(z)H(z)的极点应在的极点应在单位圆内，故当单位圆内，故当1a 时该系统稳定。这时频率特性时该系统稳定。这时频率特性 6.6 6.6离散时间系统频率响应离散时间系统频率响应jje(e)()TTzHH zjjeea11jae 1(1cos)sinaja 当当0.5a时,有j211(e)1.25 cos12 cosHaasin0.5sin()arctan()arctan()1cos1 0.5cosaa 6.6 6.6离散时间系统频率响应离散时间系统频率响应由此可得系统的频率特性如图由此可得系统的频率特性

46、如图6-46-4所示。它具有低通特性，但周期所示。它具有低通特性，但周期变化。在图变化。在图6-46-4（c c）中，其重复周期为）中，其重复周期为。6.6.2系系统统零零极极点分布点分布与与系系统频统频率率响应响应特性的特性的关关系系若已知线性时不变系统的系统函数为若已知线性时不变系统的系统函数为6.6.2系系统统零零极极点分布点分布与与系系统频统频率率响应响应特性的特性的关关系系6.76.7离散时间系统的离散时间系统的z z域模拟域模拟6.7.16.7.1基本运算单元基本运算单元af(k)aF(z)aF(z)a(a)f1(k)f2(k)f1(k)f2(k)F1(z)F2(z)F1(z)F2

47、(z)(b)DF(z)Y(z)z 1F(z)z1(c)y(k)f(k 1)f(k)f(k)图图6-106-10离散系统模拟的基本运算单元离散系统模拟的基本运算单元6.76.7离散时间系统的离散时间系统的z z域模拟域模拟6.7.16.7.1系统模拟的直接形式系统模拟的直接形式已知二阶离散系统的系统函数为已知二阶离散系统的系统函数为 2210210()b zb zbH zza za，则模拟该系统的框图如图，则模拟该系统的框图如图6.76.7离散时间系统的离散时间系统的z z域模拟域模拟图图6-12二二阶阶系系统统模模拟拟直接形式直接形式6.7.26.7.2系统模拟的组合形式系统模拟的组合形式1.

48、1.离散系统的串联形式离散系统的串联形式12()()()()nH zH z H zH z6.7.26.7.2系统模拟的组合形式系统模拟的组合形式2.2.离散系统的并联形式离散系统的并联形式12()()()()nH zH zHzHz6.7.26.7.2系统模拟的组合形式系统模拟的组合形式3.3.离散系统的反馈连接离散系统的反馈连接 112()()()()1()()H zY zH zF zH z Hz例例6-7-1 6-7-1 图图6-166-16所示离散时间系统，所示离散时间系统，123111(),(),()21H zHzHzzzz。试求总系统的系统函数并写出系统的差分方程。试求总系统的系统函数并写出系统的差分方程。6.7.26.7.2系统模拟的组合形式系统模拟的组合形式解解、13121()()1()()11()1()()112H zY zzH zHzF zH z Hzzz z23321232211zzzzzzzzz12323(1)()(2)()zzzY zzzF z()(1)(2)(3)(2)2(3)y ny ny ny nf nf n