2020年全国高考新课标Ⅰ卷名师押题信息卷 理科数学（解析版）2020.6.29.docx

1、 20202020 年全国高考年全国高考新课标新课标卷卷名师名师押题押题信息信息卷卷 理科数学理科数学 2020.6.29 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1已知集合 2 |2AxR x，集合2, 1,0,1,2B ，则 R C AB中的元素个数为（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】集合 2 |2 |2AxR xx x厔或2x，集合 2, 1,0,1,2B |22 R C Axx， 1,0,1 R C AB ， R C AB中的元素个数为 3 故选 B 2下列函数中，在其定义域内既是奇函数

2、又是增函数的是（ ） Ay x B3xy C 3 yx D 1 yx x 【答案】C 【解析】对于选项 A，yx是R上的偶函数，不符合题意； 对于选项 B，3xy 是非奇非偶函数，不符合题意； 对于选项 C， 3 yx是奇函数，又是R上增函数，符合题意； 对于选项 D，因为函数 1 yx x 在( ) ,0-?和( ) 0,+?上都单调递减，在其定义域上不是单调函数， 不符合题. 故选 C 3已知复数 z 2 a i 1(i为虚数单位，aR)为纯虚数，则实数 a=（ ） A 5 2 B0 C2 D 5 2 【答案】A 【解析】z 225 11 22255 aiaaa i iii 为纯虚数， 2

3、5 0 5 0 5 a a ，解得 a 5 2 . 故选 A. 4“ 22 loglogab”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】条件“ 22 loglogab”等价于“ 0ab”， 所以“ 22 loglogab” 是“ab”的充分不必要条件. 故选 A 5已知向量a，b满足| 1a ，| 2b ， 2 3ab，则|ab rr （ ） A3 B 7 C3 D7 【答案】B 【解析】由于 2 22 ( )2( )3abaa bb ， 1a b ， 222 |()( )2( )7ababaa bb rrrrrr r

4、r ， 故选 B 6已知圆锥的底面半径为 1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为 120 ，则圆锥的表面积为 A B2 C3 D4 【答案】D 【解析】由扇形的弧长等于底面周长可得， 120 43 180 l l ， 所以扇形面积 1209 3 360 S ， 底面面积 2 1 ， 圆锥的表面积34， 故选 D. 7已知 1 sincos 2 ，则sin2( ) A 3 4 B 3 4 C 1 2 D 1 2 【答案】B 【解析】 1 sincos 2 ， 2 21 sincos 2 ， 22 1 sin2sincoscos 4 ， 1 1 2sincos 4 ， 3 2sincos 4 ， 3

5、sin2 4 ， 故选B 8甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字 记为b，其中,1,2,3,4,5,6,7a b，若| 1ab，就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏，则他 们“心有灵犀”的概率为（ ） A 1 9 B 12 49 C 19 49 D 4 9 【答案】C 【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有 7 种可能，故基本事件是7 749 种， “心有灵犀”的情况包括：0ab，即ab，有 7 种可能； 1ab，若甲说的是 1 和 7 时，“心有灵犀”的情况各有 1 种， 若甲说的数字是 2，3，4，5，6 时，各有 2 种，共

6、有72 1 5 219 种， 故他们“心有灵犀”概率为 19 49 ， 故选C. 9天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴a的三次方 跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即 3 2 a k T ， 2 4 GM k ，其中M为中心天体质量，G为引力常 量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为 1.5 亿千米，地球的公转周期为 1年，距离太 阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为 60亿千米，取103.1，则冥王星的公 转周期约为（ ） A157年 B220年 C248年 D256年 【答案】C 【解析】设地球椭圆轨道的

7、半长轴为 1 a，公转周期 1 T.设冥王星椭圆轨道的半长轴为 1 a，公转周期 1 T. 则 3 1 22 1 3 2 22 2 4 4 aGM T aGM T ，两式相除并化简得 3 3 22 2 21 3 1 60 16400 10 1.5 a TT a ，所以 2 80 1080 3.1248T 年. 故选 C 10 已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ） 的一条渐近线的倾斜角为 140 ， 则C的离心率为 （ ） A2sin40 B2cos40 C 1 sin50 D 1 cos50 【答案】C 【解析】渐近线的倾斜角为 140 ，tan140tan40 b

8、a ， 22 tan40 ca a ， 222 1tan 40sec 40e ， 1 cos40i0 1 s n5 e ，故选 C 11已知函数 2 ,01 ln ,1 xx f x x x ，若存在实数s，t满足0st，且 f sf t，则4ts的最小 值为（ ） A1 B 2 e1 C2ln2 D22ln2 【答案】D 【解析】作出函数 ( )f x的图象，如图所示： 因为 f sf t，结合图象可知2ln,(02)stmm，可得, 2 m m ste， 42( ) m tsemh m，( )2 m h me，令( )20 m h me，解得ln2m， 可以判断函数( )h m在(0,ln

9、2)上单调减，在(ln2,2)上单调增， 所以( )h m在ln2m处取得最小值，且 ln2 (ln2)2ln222ln2he， 故选 D. 12设 , x y满足约束条件 1 10 1 xy x xy ，若目标函数 2 y z x 的取值范围 , m n恰好是2sin2yx (0)的一个单调递增区间，则的一个值为（ ） A 1 2 B 2 C 4 D 8 【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 则 z的几何意义为区域内的点 D（2，0）的斜率， 由图象知 DB 的斜率最小，DA的斜率最大，由 101 02 xx xyy ，即 A（1，2）， 则 DA的斜率 kDA=2，由 10

10、1 12 xx xyy 即 B（1，2），则 DB的斜率 kDB=-2， 则2z2，故 2 y z x 的取值范围是2，2， 故2，2是函数的一个单增区间，故2 ,2,. 2 24 www 故选 C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13曲线 sin0yxx 与直线 1 2 y 围成的封闭图形的面积为_. 【答案】3 3 【解析】做出如图所示： ， 可知交点为 151 , 6 262 ， 因此封闭图形面积为： 55 66 66 11 sin( cos)|3 223 Sxdxxx . 故填3 3 . 14已知 a、b、c分别是ABC的三个内角 A、B、C 所对的边，

11、若 a=1，3b ，角 A、B、C 依次成等 差数列，则sinC . 【答案】1 【解析】因为, ,A B C依次成等差数列，所以 3 B . 1,3aB， 所以由 sinsin ab AB ， 可得 1 sin, 26 AA ， 2 C ，即sin1C . 故填 1 15 已知抛物线C： 2 4yx， 过焦点F作直线l与抛物线C交于P、Q两点， 则PQ的取值范围是_. 【答案】4, 【解析】由题意可得焦点(1,0)F，设 1122 ( ,),(,)P x yQ xy，直线:1l xty， 联立 2 4 1 yx xty 得 2 440yty， 1212 4 ,4yyt y y ， 2 2 1

12、1221 2()41441PyQxxxxt yt ； 因为 2 0t ，所以4PQ . 故填4,. 16已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2 3，其内有 2 个不同的小球，球 1 O与三棱锥 11 ACB D的 四个面都相切，球 2 O与三棱锥 11 ACB D的三个面和球 1 O都相切，则球 1 O的体积等于_，球 2 O的表 面积等于_ 【答案】 4 3 ； 【解析】因为正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2 3， 所以三棱锥 11 ACB D是边长为2 6的正四面体， 11 CB D的高为3 2， 设底面 11 CB D的中心为O，连接CO，则 2 3 22 2 3

13、 CO ， 2484AO ， 则球 1 O是三棱锥 11 ACB D的内切球，设其半径为 1 R， 则有 111111 1 11 4 33 A CB DCB DCB D VSAOSR 所以 1 1 1 4 RAO， 所以球 1 O的体积为 4 3 ， 又球 2 O与三棱锥 11 ACB D的三个面和球 1 O都相切， 则设平面/MNP平面 11 CB D，且球 1 O和球 2 O均与平面MNP相切于点E，如下图所示， 则球 2 O是三棱锥A MNP的内切球，设其半径为 2 R， 故 1 22AEAOR， 因此在正四面体AMNP中， 2 11 42 RAE， 所以球 2 O的表面积为， 故填 4

14、 3 ；. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 12 分） 在数列 n a中， 1 1a ，且 1 ,2 , n nn aa 成等比数列 （1）求 234 ,a a a； （2）求数列 2n a的前 n 项和 n S. 【解析】（1） n a，2n， 1n a 成等比数列， 2 1 24 nn nn a a . 1 1a ， 2 1 4 4a a ，同理得 3 4a ， 4 16a . （2） 2 1 24 nn nn a a ， 122 1 4 nnn nnn aaa a aa ， 则数列 2n a是首项为 4，公比为 4

15、的等比数列， 故 1 4 1 4 44 1 43 n n n S . 18（本小题满分 12 分） 四棱锥-P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ /BCAD，ADDC，1BCCD，2AD ， PAPD，E为PC的中点，平面PAD 平面ABCD，F为AD上一点，/ /PA平面BEF. （1）求证：平面BEF 平面PAD； （2）若PC与底面ABCD所成的角为60，求二面角EBFA的余弦值. 【解析】（1）连AC交BF于G，连EG，如下图所示： 因为/ /PA平面BEF，PA 平面PAC，平面PAC平面BEFEG， 所以/PAEG，又E为PC中点， 所以G为AC中点，由AFGBCG， 1 1

16、 2 AFBCAD F为AD中点， /BCFD，且BCFD，则DCBF为平行四边形， ADDC BFAD，又BF 平面ABCD， 平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 故BF平面PAD，又BF 平面BEF， 所以平面BEF平面PAD.即证. （2）连接PF， PAPD，F为 AD的中点，PFAD， 又PF 平面PAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PF 底面ABCD，又PFAD， 以,FA FB FP分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系. 设(0,0, ),( 1,1,0)Pt C ，取平面ABCD的法向量 1 0,0,1n ， 又( 1,1,)

17、PCt ， (0,1,0)B 1 2 1 3 sin|6 32 | |2 n PCt t nPCt u r uuu r u ruuu r (0,0, 6)P， 1 16 (,) 2 22 E 设平面 EBF 的法向量 2 ( , , )nx y z所以 2 2 0 0 nFE nFB 即可得 116 0 222 0 xyz y 令 2 1,6,( 6,0,1)zxn 设二面角-E BF A的平面角为 12 12 | |7 |cos| 7 | | nn nn u ru u r u ru u r，又为钝角 7 cos 7 ， 所以二面角EBFA的余弦值为 7 7 . 19（本小题满分 12 分）

18、某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单 位：吨）和年利润（单位：万元）的影响对近 6年宣传费 i x和年销量(1,2,3,4,5,6) i y i 的数据做了初步统 计，得到如下数据： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年宣传费x（万元） 38 48 58 68 78 88 年销售量y（吨） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5 经电脑模拟， 发现年宣传费x（万元） 与年销售量y（吨） 之间近似满足关系式(0,0) b ya xab， 两边取对数，即lnlnlnybxa，令ln,ln ii

19、ii ux vy，即 lnvabu对上述数据作了初步处理，得 到相关的值如下表： 6 1 ii i u v 6 1 i i u 6 1 i i v 6 2 1 i i u 75.3 24.6 18.3 101.4 （1）从表中所给出的 6 年年销售量数据中任选 2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销 售量低于 21吨的概率 （2）根据所给数据，求y关于x的回归方程； （3）若生产该产品的固定成本为 200（万元），且每生产 1（吨）产品的生产成本为 20（万元）（总 成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为( )(4020 )500R xxex （万元），假定该产 品产销平衡

20、（即生产的产品都能卖掉），2019 年该公司计划投入 108万元宣传费，你认为该决策合理吗？ 请说明理由（其中e为自然对数的底数，2.71828e ） 附：对于一组数据 1122 , nn u vu vu v，其回归直线vu中的斜率和截距的最小二乘 估计分别为 1 2 1 , n ii i n i i uuvv bvu uu 【解析】 （1）记事件 A表示“至多有一年年销量低于 21 吨”，由表中数据可知 6年中有 3年的年销量低 于 21 吨，故 211 333 2 6 4 ( ) 5 CC C P A C ； （2） 对(0 ,0 ) b y a x ab两边取对数得lnlnlnyabx，

21、 令l n ,l n iiii ux vy得 lnvabu， 由题中数据得： 24.6 4.1 6 u ， 18.3 3.05 6 v ， 66 11 lnln75.3 iiii ii u vxy ， 66 2 2 11 ln101.4 ii ii ux ， 所以 6 1 62 22 1 75.36 4.1 3.051 101.46 (4.1)2 ( ) ii i i i u vnuv b un u ， 由 1 ln3.054.11 2 avbu， 得a e ，故所求回归方程为ye x （3）设该公司的年利润为 ( )f x，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知 2 ( )(4020 )

22、500(20020)2403002(10)500f xxexe xxxxx 当10x 即100x 时，利润 ( )f x取得最大值 500万元， 所以当宣传费100x 时，利润 ( )f x取得最大值. 故 2019年该公司计划投入 108 万元宣传费的决策不合理 20（本小题满分 12 分） 已知函数 lnf xxx （1）求函数 f x的最小值 （2）若1a ,证明： 2350af xx 【解析】（1） 112 22 x fx xxx ，0x . 所以04x时， 0fx ， f x单调递减； 4x 时， 0fx ， f x单调递增， 从而4x 时， f x取得最小值22ln2. （2）由（

23、1）得， 0f x ， 所以当1a 时， 235235af xxf xx， 令 n35l2xxg xx， 则 2 1113232 2323 xxxx gx xxxx x . 令 2 3232h xxxxx，0x ， 则 2 231 2 3 23 x h x x xx ， 因为0x ，所以 1 20 3x ，从而 0h x ， 因此 h x在0,上单调递增，又 10h， 所以01x时， 10h xh，从而 0gx ， g x单调递减； 1x 时， 10h xh，从而 0gx， g x单调递增， 因此 10g xg. 故1a ， 2350af xx. 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22

24、22 :10 xy Cab ab 的焦点为 1 ,0Fc， 2 ,0F c，P是椭圆 C上一点.若椭圆 C的离 心率为 2 2 ，且 112 PFFF， 12 PFF的面积为 2 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2） 已知 O是坐标原点， 向量1,1m ， 过点 （2， 0） 的直线 l与椭圆 C 交于 M， N 两点.若点,Q x y 满足1OQ m，OMONOQ，求的最小值. 【解析】（1）依据题意得 2 2 c a ， 所以 2222 222 1 1 2 cabb aaa ，所以 22 2ab ， 因为 112 PFFF，故设 0 ,Pc y，代入椭圆方程得 2 0 b y a ，

25、 所以 12 PFF的面积为： 2 120 12 22 b FFyc a . 联立 22 2 222 2 2 2 ab b c a cab ，解得1b ， 22ab ， 所以椭圆 C的方程为： 2 2 1 2 x y. （2）由题意可知直线 l的斜率显然存在，故设直线 l 的方程为：2yk x， 联立 2 2 2 1 2 yk x x y ，消去 y并整理得 2222 128820kxk xk， 所以 2 222 84 1 2820kkk ， 设 11 ,M x y， 22 ,N xy， 所以 2 12 2 8 12 k xx k ， 2 12 2 82 12 k xx k ， 因为OMONO

26、Q，所以 1212 ,xxyyx y， 当0k 时，0， 当0时， 2 12 2 8 12 xxk x k ， 12 12 2 14 4 1 2 yyk yk xxk k ， 因为1OQ m，所以1xy，所以 2 22 84 1 1212 kk kk ， 所以 2 22 2 8411 4 14 1 1212 21413 kkkk kk kk 14 4 1426 3 2 64 214 1 k k ， 当且仅当 6 1 2 k 时取等号，且 6 1 2 k 满足 ，所以26， 综上 min 26. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目 计

27、分 22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 13 3 xt yt （t为参数）以O为极点，以x轴正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程 22 1 sin2p （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）设A，B为曲线 2 C上位于x轴上方的两点，且OA OB，射线OA，OB分别与 1 C相交于点D 和点C，当AOB面积取最小值时，求四边形ABCD的面积 【解析】（1）消去 13 3 xt yt 中的参数t得34xy 将cosx，siny代入 1 C得的极坐标方程为sin2 6 （2）不妨设 1, A ， 2,

28、 2 B ， 3, D ， 4, 2 C ， 则 1 2 2 1 sin ， 2 2 2 1 cos AOB面积为 12 2 112 231 2sin 2 4 ， 4 时，AOB面积取最小值为 2 3 此时 3sin 2 46 ， 4cos 2 46 ， 34 55 sincos4 1212 ，可得 34 16 ， COD 面积为 34 1 8 2 ，因此四边形ABCD的面积为 222 8 33 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )2|1|2|f xxx （1）解不等式( ) 6f x ； （2）设函数 ( )f x的最小值为m，已知 0a ，0b 且2abab

29、m，求ab的最小值 【解析】（1）由题意，函数 3 ,1 ( )2124, 12 3 ,2 x x f xxxxx x x ， 所以当1x时，由36x，解得21x ； 当12x 时，由36x，解得12x ； 当2x 时，由36x，解得2x ， 所以不等式( ) 6f x 的解集为 | 22xx . （2）由（1）知 3 ,1 ( )4, 12 3 ,2 x x f xxx x x ， 可得函数 f x在(, 1) 单调递减，在( 1,) 上单调递增， 所以 f x的最小值为13f ，即3m ， 所以5abab，即(1)(1)4ab， 因为0b ，则1 1b ，又由(1)(1)40ab，所以10a ， 所以(1)(1)2 (1)(1)4ababab， 当且仅当112ab ，即3,1ab时，取得等号， 所以ab的最小值为4.