中职数学基础知识汇总.docx

1、职教单招数学总复习中职数学基础知识汇总预备知识：1.完全平方和（差）公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b22.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)3.立方和（差）公式：a3+b 3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2)第一章集合1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、 图像法（文氏图） 。3. 常用数集： N（自然数集） 、 Z （整数集）、 Q（有理数集） 、 R（实数集）、 N +（正整数集）4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：（ 1） 元素与集合是

2、“”与“ ”的关系。（ 2） 集合与集合是“ ” “ ”“ = ”“ /”的关系。注：（ 1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑 是否满足题意）（ 2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有2n-2 个。5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1） AB = x | x 挝A且 xB ： A 与 B 的公共元素组成的集合（2） AB = x | x 挝A或xB ： A 与 B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。（ 3） CU A ： U 中元素去掉 A 中元素剩下的元素组成的集合。注：CU

3、(A B) CUA CUBCU (A B) =CUA CUB6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。7.充分必要条件: p 是 q 的条件p 是条件， q 是结论如果 pq，那么 p 是 q 的充分条件 ;q 是 p 的必要条件 .如果 pq，那么 p 是 q 的充要条件第二章不等式1. 不等式的基本性质： （略）注：（ 1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。（ 2）不等式两边同时乘以负数要变号！（ 3）同向 的不等式可以相 加（不能相减） ，同正的同向 不等式可以相乘。2. 重要 的不等式：（ 1） a 2b22ab ，当且仅当a b 时，

4、等号成立。（ 2） ab2 ab(a, b R) ，当且仅当 ab 时，等号成立。 （ 3）注： ab （算术平均数）ab （几何平均数）23. 一元一次不等式的解法（略）4. 一元二次不等式的解法（ 1） 保证二次项系数为正（ 2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：第 1 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习（ 3）定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。5. 绝对值不等式的解法若 a0 ，则| x | aaxa|或|xax axa分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.第三章函数1. 函数（ 1）定义： 设 A、B 是两个非空数集

5、, 如果按照某种对应法则f , 对 A 内任一个元素x, 在 B 中总有一个且只有一个值y 与它对应 , 则称 f 是集合 A 到 B 的函数 , 可记为 : f :A B, 或 f :x y. 其中 A 叫做函数f 的定义域 . 函数 f 在 xa 的函数值 , 记作 f (a) , 函数值的全体构成的集合C(C? B), 叫做函数的值域.（ 2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。注： 在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。2. 函数的 三要素：定义域、值域、对应法则（ 1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x的取值范围主要依据：分母不能为0，偶

6、次根式的被开方式0，特殊函数定义域： yx0 , x0ya x , (a 0且 a 1), x Rylog ax, (a 0且 a1), x0（ 2）值域的求法：y 的取值范围正比例函数：ykx和 一次函数：y kx b 的值域为 R二次函数： yax 2bx c 的值域求法：配方法。如果x 的取值范围不是R 则还需画图像反比例函数：y10的值域为 y | yx另求值域的方法：换元法 、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。（ 3）解析式求法：在求函数解析式时可用换元法 、构造法、待定系数法等。3. 函数图像的变换（1） 平移向左平移yf (x)向右平移yf ( x a)yf ( x)个单位

7、yf ( xa)个单位aay向上平移yf ( x) ay向下平移yf ( x) af ( x)个单位f ( x)个单位aa（ 2）翻折yf (x)沿 x轴yf (x)保留 x轴上方图像y f (x)y | f (x) |上、下对折下方翻折到上方第 2 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习4. 函数的奇偶性（ 1）定义域关于原点对称（ 2）若 f (x)f (x)奇若 f (x)f ( x)偶注：若奇函数在x0 处有意义，则f (0)0常值函数f ( x)a （ a0 ）为偶函数 f ( x)0 既是奇函数又是偶函数5. 函数的单调性对于x1、 x2a,b 且 x1x2 ，若f (

8、x1 )f ( x2 ), 称f (x)在 a,b上为增函数f (x1 )f ( x2 ), 称f (x)在 a,b上为减函数增函数： x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。减函数： x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。6.二次函数（ 1）二次函数的三种解析式一般式：f (x)ax2bxc （ a 0 ）顶点式： f (x)a(xk )2h （ a0 ），其中 (k, h) 为顶点两根式：f (x)a(xx1 )( xx2 )（ a 0 ），其中 x1、 x2 是 f (x)0 的两根（ 2）图像与性质二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： 开口a0开口向

9、上a0开口向下 对称轴： xb顶点坐标： (b , 4acb 2)2a2a4a0有两交点x1bx2与 x 轴的交点：0有1交点根与系数的关系： （韦达定理）a0x1c无交点x2a f ( x)ax 2bxc 为偶函数的充要条件为b0 二次函数（二次函数恒大（小）于0）f ( x)0a0图像位于 x轴上方f ( x)a000图像位于 x轴下方0 若二次函数对任意x 都有 f (tx) f (tx) ，则其对称轴是 xt 。第四章指数函数与对数函数1. 指数幂的性质与运算第 3 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习（ 1）根式的性质： n 为任意正整数，(na)na当 n 为奇数时，

10、 n a na ；当 n 为偶数时， n an| a |零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。（ 2） 零次幂： a 01(a0)（ 3）负数指数幂：a n1( a0, nN * )a nm（ 4）分数指数幂：a nn am(a0, m, nN且 n1)（ 5）实数指数幂的运算法则：( a0, m, nR) am anam n (am )na mn ( a b)na n bn2.幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n 次方。3.幂函数 yxa当a时，yxa在（ ，）上单调递增当00）上单调递减a时，yxa在（ ，004.指数与对数的互化：ab

11、Nlog a Nb(a0且 a 1)、 ( N0)5.对数基本性质： log aa1 log a 10 a log a NN log a a NN log a b与 log b a互为倒数log a blog ba1log a b1log b a log a m bnn log a bm6.对数的基本运算：log a (MN )log a Mlog aNlog aMlog a Mlog a NN7.换底公式： log a Nlog b N(b0且 b 1)log ba8. 指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定y a x( a 0, a 1的常数 )y log a x(a 0, a

12、1的常数 )义图像第 4 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习(1)xR, y0(1)x0, yR性(0,1)(2)(1,0)(2)图像经过点图像经过点质a1, ya x在 R上为增函数；a1, ylog a x在( 0,)上为增函数；（ 3）a x在R上为减函数。（ 3）0a1, y0a1, ylog a x在(0,)上为减函数9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值 0， 1 来过渡。10. 指数方程和对数方程：指数式和对数式互化同底法换元法 取对数法注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章数

13、列等差数列等比数列每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数定a2a1a3a2anan 1da2a3anq (q0)a1a2义an 1注：当公差d0 时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0；当公比为1 时，数列为常数列通 项ana1(n 1)dana1qn 1公式推（ 1） danam（1） qnmannmam论（ 2） anam( n m)d（2） anam qn m（ 3）若 m np q ，则 amana paq （3）若 m n pq ，则 am an ap aq中 项三个数 a、 b、 c成等差数列，则有三个数 a、b、c 成等比数列，则有公式2bacac

14、b2acbn2前n(a1 an )n(n 1)a1 (1 q n )a1an qSnSn1）项 和2na12d1 q1（ q公式q1. 已知前 n 项和 Sn 的解析式，求通项 ananS1(n1)SnSn 1(n2)2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n 项和公式的证明方法。 （见教材）第六章三角函数1. 弧度和角度的互换第 5 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习180o1o弧度弧度弧度180) o57 o18弧度1800.017451(2. 扇形弧长公式和面积公式L扇 | | rS扇1 Lr1 | | r 2 （记忆法：与 S ABC1 ah 类似）2223. 任意三角函数的

15、定义：对边ycos邻边x对边ysin=tan邻边=斜边r斜边rx4. 特殊三角函数值00030 045 060 09006432sin0123422222cos43210222223tan013不存在35. 三角函数的符号判定（ 1）口诀：一全二正弦，三切四余弦。 （三角函数中为正的，其余的为负）（ 2）图像记忆法6. 三角函数基本公式sintan（可用于化简、证明等）cossin 2cos21（可用于已知sin求 cos；或者反过来运用）7. 诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释：指 k( kZ) ，若 k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。27.已知三角函数值求角:(

16、1)确定角所在的象限 ; (2)求出函数值的绝对值对应的锐角; (3)写出满足条件的 0 2的角 ; (4)加上周期（同终边的角的集合）8. 和角、倍角公式 和角公式： sin()sincoscossincos()coscossinsintan()tantan1tantan注意正负号相同注意正负号相反第 6 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习 二倍角公式：s i n22 si n c o scos 2cos2sin 22 cos21 1 2sin 2tan 22 tan1tan2 半角公式：s i n1c o scos1 cos22229. 三角函数的图像与性质函数图像性质值域

17、同期奇偶性单调性定义域y sin xT 2x R 1,1y cosxT 2x R 1,19.正弦型函数yA sin(x)( A0,0)(1) 定义域 R ，值域 A, A2k,2k22奇,2k3 2k22 2k,2k 偶 2k,2k（ 2）周期： T2（ 3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x 的系数提出来，再看是怎样平移的。（ 4） ya sin xbcos xa 2b 2 sin(x)10. 正弦定理abc（ R 为 ABC 的外接圆半径）sin Asin B2Rsin C其他形式：（ 1） a2Rsin Ab 2Rs i nBc 2Rs i nC （注意理解记忆，可只

18、记一个）（ 2） a : b : c sin A : sin B : sinC11. 余弦定理a2b2c22bc cos Acos Ab 2c2a2（注意理解记忆，可只记一个）2bc12. 三角形面积公式第 7 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B（注意理解记忆，可只记一个）222a bc13. 海伦公式： S ABCP(Pa)( P b)( P c) （其中 P 为 ABC 的半周长，P）2第七章平面向量1. 向量的概念（ 1）定义：既有 大小又有方向的量。（ 2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A

19、，终点为B 的向量表示为AB 。（ 3） 向量的模（长度） ： | AB | 或| a |（ 4） 零向量：长度为 0，方向任意。单位向量：长度为 1 的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。2. 向量的运算（ 1） 图形法则三角形法则平形四边形法则（ 2）计算法则加法： ABBCAC减法： ABACCA（ 3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律3.数乘向量： a（ 1）模为： | a |（ 2）方向：为正与 a 相同；为负与 a 相反。4.AB 的坐标：终点B 的坐标减去起点A 的坐标。 AB( xB xA , yBy

20、A )5.向量共线（平行） ： 唯一实数，使得 ab 。（可证平行、三点共线问题等）6.平面向量分解定理：如果e1 ,e2 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a ，都存在唯一的一对实数 x1 , x2 ，使得 ax1 e1x2 e2 。7. 注意 ABC 中，重心 (三条中线交点 )、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点） 、内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）8. 向量的内积（数量积）（ 1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围0, 。（ 2）内积公式：a b| a | b | cosa, b第 8 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数

21、学总复习9.向量内积的性质：（ 1） cosa,ba b（夹角公式）（ 2） a ba b0| a | b |（ 3） a a| a |2或 | a |aa（长度公式）10. 向量的直角坐标运算：（1） AB( xB xA , yBy A )（ 2）设 a( x1 , y1), b( x2 , y2 ) ，则 a b (x1x2 , y1y2 )a ( x1 , y1 )a b x1 x2 y1 y211. 中点坐标公式： 若 A(x1, y1 ) ,B ( x2 , y2 ) , 点 M(x,y)是线段 AB的中点 , 则 xx1x2 , yy1 y22212. 向量平行、垂直的充要条件：设

22、a( x1 , y1), b( x2 , y2 ) ，则a bx1y1（相对应坐标比值相等）x2y2a ba b0x1 x2y1 y20（两个向量垂直则它们的内积为0）11. 长度公式（ 1）向量长度公式：设 a( x, y ) ，则 | a | x 2y 2（ 2）两点间距离公式：设点A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 | AB | ( x2 x1 ) 2( y2 y1 ) 212. 向量平移（ 1）P(x, y) 平移向量 axxa1平移公式：点( a1 , a2 )到P( x, y ) ，则y记忆法：“新 =旧 + 向量”ya2（ 2）图像平移： yf (x) 的

23、图像平移向量a( a1 , a2 ) 后得到的函数解析式为：y a2 f ( xa1 )第八章平面解析几何1. 曲线 C 上的点与方程 F ( x, y)0之间的关系：（ 1）曲线 C 上点的坐标都是方程F ( x, y)0 的解；（ 2）以方程 F ( x, y)0 的解 (x, y) 为坐标的点都在曲线C 上。则曲线 C 叫做方程 F ( x, y)0 的曲线，方程F ( x, y)0 叫做曲线 C 的方程。2. 求曲线方程的方法及步骤：(1)设动点的坐标为（x，y）；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) 用 x, y 的关系式表示这个条件列出的方程； （ 4） 化简方程（不需要的全

24、部约掉） ；（ 5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。4. 直线：第 9 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习(1) 倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是 0,)(2) 斜率：倾斜角为900 的直线没有斜率；ktan（倾斜角的正切）经过两点 P1(x1, y1 ), P2( x2y2y1( x1x2 ), y2 ) 的直线的斜率 Kx1x2(3) 直线的方程yy1xx1 斜截式： 两点式：y1x2x1y2 点斜式： yy0k(xx0 ) 一般式：

25、ykxbAxByC0注： 1. 若直线 l方程为 3x+4y+5=0 ，则与 l 平行 的直线可设为3x+4y+C=0；与 l 垂直 的直线可设为4X-3Y+C=02. 求直线的方程最后要化成一般式。(4) 两条直线的位置关系l1 : y k1 x b1l 2 : y k2 x b2l1 : A1 x B1 x C10 l 2 : A2 x B2 x C2 0l1 与 l 2 平行k1k2 且 b1b2A1B1C2A2B2C2l1 与 l 2 重合k1k2 且 b1b2A1B1C2A2B2C2l1 与 l 2 相交k1k2A1B1A2 B2l1 l 2k1k21A1 A2B1B20注：系数为0

26、 的情况可画图像来判定。(5)点到直线的距离点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax By C| Ax0By0C |0 的距离： dA2B 25. 圆的方程（ 1）标准方程： ( xa) 2( yb) 2r 2（ r0 ）其中圆心 (a,b) ，半径 r 。（ 2）一般方程： x2y 2DxEyF0（D2E 24F0 ）圆心（D ,E ）半径： rD 2E 24F222（ 4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径 r 比较。d r相交 ； dr相切 ； d r相离6. 椭圆第10 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习动点与两定点（焦点）的距离之和等于

27、常数2a几何定义|PF1| PF2 | 2a标准方程x 2y2x 轴上）x2y 2y 轴上）a 21 （焦点在b21（焦点在b2a 2图像a,b, c 的关系对称轴与对称中心顶点坐标焦点坐标离心率7. 双曲线几何定义标准方程图像a 2b 2c 2注意：通常题目会隐藏这个条件x 轴：长轴长2a； y 轴：短轴长 2b ； O(0,0)(a,0)(0,b)(c,0)焦距 2c注：要特别注意焦点在哪个轴上ec1b21aa2动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2a| PF1 | PF2 | 2ax 2y21 （焦点在x 轴上）y 2x21（焦点在y 轴上）a 2b2a 2b2a,b, c 的关系c2a 2b 2注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心x 轴：实轴长2a ； y 轴：虚轴长 2b ； O(0,0)第11 页 共 17 页慈溪锦堂职业高中职教单招数学总复习顶点坐标( a,0)焦点坐标( c,0) 焦距 2c注：要特别注意焦点在哪个轴上离心率ec1b21aa2渐近线yb x （焦点在 x 轴上）ya x （焦点在 y 轴上）ab注：等轴双曲线： （ 1）实轴长和虚轴长相等ab （ 2）离心率 e2 （ 3）渐近线 yx8. 抛物线几何定义焦点位置图像标准方程焦点坐标准线方程顶点对称轴离心率到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹