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1、高中数学必修一专题讲解 高中数学必修一专题讲解（集锦）专题一：抽象函数常见题型解法总章抽象函数的考察范围及类型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:特殊

2、模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指数函数 f(x)=ax (a0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx余切函数 f(x)=cotx一.定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f（x）的定义域是2，2，则函数y = f（x+1）+f（x1）的定义域为 。 解：f(x)的定义域是，意思是凡被

3、f作用的对象都在 中。评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域。例2：已知函数的定义域为3，11，求函数f(x)的定义域 。评析： 已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。练习：定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f

4、(1)0,则f(2001)=_.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=,R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .解析：由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5,f(x

5、+1)f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1g(x)+x-1+1即 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x). 所以g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1),故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=

6、2 ，则 （ ）2. 。2000 .( ,原式=16)3、对任意整数函数满足：，若，则 CA.-1 B.1 C. 19 D. 434、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ ）（B） A . 2005 B. 2 C.1 D.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为（ ）（A）A） B） C）8 D）16 三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(

7、0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)0矛盾,所以f(x)0.四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0u2),则f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x+1 (0

8、u2)小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例6、设对满足x0,x1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。解:- （2）-（3）小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象

9、函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:f(n)0,nN; f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2x (xN*) (数学归纳证明 略） 小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9、已知是定义在R上的偶函数，且

10、恒成立，当时，则当时，函数的解析式为（ D ） A B C D 解：易知T=2，当时,; 当时,.故选D。小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。练习：1、解:，2.（2006重庆）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；（）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值； （

11、2）对任意的，都有f(x1)+20时f(x)0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1x2, 则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0,f(x2-x1)0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在R上为增函数。证明：设R上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定) 。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x0,y=0，则f(x)=0与x0时，f(x)1

12、矛盾，所以f(0)=1，x0时，f(x)10,x0，f(-x)1,由，故f(x)0，从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性） 例11、已知偶函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+)上是增函数； （2）解不等式解： （1）设，则，即，在上是增函数（2），是偶函数不等式可化为，又函数在上是增函数，0，解得：练习：已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设x1x2,则x

13、2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是单调递增函数.例12、定义在R+上的函数f(x)满足: 对任意实数m,f(xm)=mf(x); f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范围.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又f(x)+f(y)=f

14、(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)故f(x1)f(x2),即f(x)是R+上的增函数.(3)由f(x)+f(x-3)2及f(x)的性质,得fx(x-3)2f(2)=f(2)，解得 30可得f(a)f(b).）练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,当x1时,f(x)f(x2),故f(x)在R+上为减函数.练习6、. 已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有； (2)(3)若且，则有.(I)求的值； (II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3)

15、,则由对任意，总有 （2分）（II）任意且，则 （6分）(III) (8分)，即。 故即原式成立。 （14分）六、奇偶性问题例13. （1）已知函数f(x)(x0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。（2）已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ）A.x=1B.

16、x=2C.x=D.x=解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)f(x)关于x=1对称。 例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。 证明：设t=x-y,则，所以f(x)为奇函数。例15：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，所以由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区

17、间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）例16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)- 令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3

18、)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，即t-(1+k)t+20对任意t0恒成立故：对任意xR恒成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3-3+9+2得要使对不等式恒成立，只需kun (nN*).解:(1)、令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,

19、得f(1)=0. (2)、令a=b=-1,得f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明:un=f(2n)0 (nN*)(略)2.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；解:（1） 同例16（略）（2）设任意x1，x2R且x1x2，

20、则x2-x10，f（x2-x1）0,而f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）-f（x1）0；f(x1)f(x2),即f(x)在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当 f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a），由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2

21、-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数ax2-a2xn（x-a）.即（x-a）（ax-n）0，a0，（x-a）（x-）0，讨论：（1）当a0，即a-时，原不等式解集为x | x或xa；（2）当a=0即a=-时，原不等式的解集为；（3）当a0时，即-a0时，原不等式的解集为x | xa或x3、已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1,若a,b1,1,a+b0时，有0.(1)判断函数f(x)在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+)f();(3)若f(x)m22pm+1对所有x1,1,p1,1(p是常数）恒成立，求实数m的取值范围.解：（

22、1）设任意x1,x21,1,且x1x2.由于f(x)是定义在1，1上的奇函数，f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1).因为x10f(x2)+f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在1，1上是增函数.（2）由不等式f(x+)f()得,解得1x 0，恒有f (x + T ) = f (x)，则在区间0，2T上，方程f (x) = 0根的个数最小值为（ ）CA. 3个 B.4个 C.5个 D.6个解：f (0) = 0x1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T，x3 = 2T.又因为 令x = 0得,=0.(本题易错选为A)例20 f

23、(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调。求a的值。解： f(x)=-f(6-x) f(x)关于（3，0）对称 又 f(x)= f(2-x) f(x)关于x=1对称 T=8 f(2000)= f(0) 又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6) a =6设y=f(x)是定义在-1,1上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x 2,3时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a为常数且a

24、 R) （1）求f(x); （2）是否存在a 2,6或a (6,+),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：（1）设点M(x,f(x)为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x).y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称.点N(2-x,f(x)在y=g(x)图象上.由此得f(x)=g(2-x)（利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称）设x -1,0，则2-x 2,3.此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3又f(x)为偶函数f(-x)=

25、f(x),x -1,1.当x 0,1时，f(x)=2ax-4 x3 （2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在0,1上的最大值.()当a (2,6时，由0 x 1得a-2x20，f(x)=2x(a-2 x2)= =（当且仅当4 =a2 ,即x= 0,1时等号成立）.由题意知,f(x)的最大值为12,令 =12得 =486 ,a6,这与a (2,6矛盾,故此时满足条件的a不存在.()当a=2且0x1时,f(x)=4x(1 )同理可证 f(x)= (当且仅当2 =1- ,即x= 时等号成立),也与已知矛盾.()当a6时,设0 ,则f( )-f( )=2a(- )-4(- )=2( - )a-

26、2(+ + )，由题设0 + + 6a-2( + + )0又 - 0f( )-f( )0即f( )0)在区间上有四个不同的根,则-8八、综合问题例21. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x0时，0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。例22.设定义在R上的函数f(x),满足当x0时,f(x)1,且对任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2解:(1)先证f(x)0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0时f(x)1,所以f(0)=1.

27、f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故f(x)0,任取x1,x2R且x10,f(x2-x1)1,所以f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10. 所以xR时,f(x)为增函数. 解得:x|1x0.求证:()f(x)是奇函数； （）解:(1)易证f(x)是奇函数。（2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. 抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数

28、，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结

29、构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。一、中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）1、(为常数）2、=（0且1）3、 (0且1)4、(为常数）5、或=(为常数） 6、=二、“原型”解法例析【例1】 设函数满足，且()=0，、R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。分析与简证：由想：=2coscos原型：=，为周期函数且2为它的一个周期。猜测：为周期函数，2为它的一个周期令=+，= 则=0为

30、周期函数且2是它的一个周期。【例2】 已知函数满足，若，试求(2005)。分析与略解：由想：(+)=原型：=为周期函数且周期为4=。猜测：为周期函数且周期为41=4=-(+4)=是以4为周期的周期函数又f(2)=2004=-f(2005)=-【例3】 已知函数对于任意实数、都有，且当0时，0，(-1)=-2，求函数在区间-2，1上的值域。分析与略解：由：想：(+)=+原型：（为常数）为奇函数。0时为减函数，0时为增函数。猜测：为奇函数且为R上的单调增函数，且在2,1上有4,2设0 ()0=0,为R上的单调增函数。令=0,则(0)=0,令=，则()=为R上的奇函数。(-1)=- (1)=-2 (1)=2，(-2)=2(-1)=-4-42(x-2,1)故在-2,1上的值域为-4，2【例4】 已知函数对于一切实数、满足(0)0，且当0时，1（1）当0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性分析与略解：由：想：原型：=（0, 1），=10。当1时为单调增函数，且0时，1，0时，01；01时为单调减函数，且0时，1，0时，01。猜测： 为减函数，且当0时，01。（1）对于一切、R，且(0)0令=0，则(0)=1，现设0，则-0，f(-) 1又(0)=(-)= =1 = 101（2）设，、R，则0，()1且1， f(x)在R上为单调减函数【例5】 已知函数定义域为(0,+)