瞬时速度与导数1介绍课件.ppt

1、瞬时速度与导数1介绍平均变化率的概念：平均变化率的概念：一般地，已知函数一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定是其定义域内不同的两点义域内不同的两点 则当则当x0时，商时，商称作函数称作函数y=f(x)在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率。的平均变化率。00()()f xxf xyxx记记x=x1x0=f(x0+x)f(x0).则则y=y1y0=f(x1)f(x0)1.式子中式子中x、y的值可正、可负，的值可正、可负，但但x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为0；1010()()f xf xxx00()()f xxf xyxx2 变式变式00()()f

2、xxf xyxx平均变化率平均变化率O1xxyxyy=f(x)1yB0 x0yA 已知物体运动位移和时间关系为 sf t00ttt从 到这段时间内函数的平均变化率为v 00f ttf ttst引例s sf ttst0t0tt0t 当时，slt常数0l则 叫做物体在t 时刻的瞬时速度（读作“趋近于”）即为物体运动的平均速度。问题情境问题情境:跳水运动员从跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动秒后运动员相对于水面的高度为员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确试确定定t=2s

3、时运动员的速度。时运动员的速度。(1)计算运动员在计算运动员在2s到到2.1s(t2,2.1)内的平内的平均速度。均速度。(2.1)(2)13.59(/)2.1 2HHvm s(2)计算运动员在计算运动员在2s到到2+t s(t2,2+t)内的平均速度。内的平均速度。时间区间时间区间 t 平均速度平均速度2，2.10.1-13.592,2.010.01-13.1492,2.0010.001-13.10492,2.00010.0001-13.100492,2.000010.00001-13.1000492,2.0000010.000001-13.10000490,?tv观察当趋近于 时 平均速度

4、 有什么样的变化趋势时间区间时间区间 t 平均速度平均速度1.9，2 0.1 -12.611.99,2 0.01 -13.0511.999,2 0.001 -13.09511.9999,2 0.0001 -13.099511.99999,2 0.00001-13.099951.,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt该常数可作为运动员在该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。时的瞬时速度。度：，也可以计算出瞬时速一般地，对任一时刻0tt9.45.6t 8.9tt5.6t9.4tt9.42tt 5.6t9.410tt5.6tt9.

5、410tthtth02002002000）（）（）（）（）（5.6t 8.90t0时，上式右边趋近于趋近于当s/m5.6t 8.9t00），运动员的速度是（这就是说，在时刻之间的平均变化率到）在（以上分析表明，函数tttth00tthtth00）（）（5.6t 8.90t0时，趋于常数趋近于当时刻的瞬时速度我们把它称为0t 设物体作直线运动所经过的路程为设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。以以t0为起始时刻，物体在为起始时刻，物体在 t时间内的平均速度为时间内的平均速度为 vttfttfts)()(00就是物体在就是物体在t0时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度，即，即 所以当所以当 t0时，

6、比值时，比值ttfttfts)()(00。瞬时速度瞬时速度 st趋近于一个常数l00()()0f ttf ttlt 当时,一个常数函数的瞬时变化率：函数的瞬时变化率：函数函数y=f(x)，在，在x0及其附近有意义及其附近有意义，自变量自变量在在x=x0附近改变量为附近改变量为x 平均变化率为平均变化率为00()()f xxf xyxxf(x0+x)f(x0).则函数值相应的改变则函数值相应的改变y=00()()f xxf xyxx 当当x 0 时，时，常数常数 l 常数常数 称为函数称为函数f(x)在点在点x0的瞬时变化率的瞬时变化率l000()()limxf xxf xlx 上述过程记作上述

7、过程记作000000|lim.x xxf xxf xfxyfxx 记作或即 处的在我们称它为函数处的瞬时变化率是在函数一般地00000,lim,xxxfyxxfxxfxxxfyx导数 00.fxfxx表示函数点y在处的导数=()()xfxyy或或即即00()()()limlimxxyf xxf xyfxxx 如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值 x，都对应着一个确定的导数 这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数导函数，简称为导数导数，记

8、作 fx例1.求y=x2在点x=1处的导数解：解：222(1)1(1)12()yfxfxxx 22()2yxxxxx 001limlim(2)212xxyfxxf 由定义求导数（三步法由定义求导数（三步法）步骤步骤:变式变式1.求求y=x2+2在点在点x=1处的导数处的导数解：解：xxxxxyxxxy2)(22)()21(2)1(22222|201xyxyx时，当);()()1(00 xfxxfy求函数的增量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均变变化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取极极限限，得得导导数数（求极限时，若经整理后分母不含求极限时，若经整理后分母不含 ，

9、则令其为，则令其为0即可）即可）x 练习：练习：(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数;(2)求函数求函数 在在x=2处的导数处的导数.222(1)(1)12(),yxxx 解解：,2)(22xxxxxy .2|,201xyxyx时，当,)2(2)212(21)2()2(xxxxxy,)2(211)2(2xxxxxxy .43|,43,02xyxyx时当xxy12122211100()()100221100()2ttg tttgtttgt ttgtt 1210010010.2()9.8tsg0001,|,2.:x xyxxxyx已已知知函函数数在在处处附附近近有有定定义义 且且求求 的的值值例例,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211,0000 xxxxxyx时当.1,2121,21|000 xxyxx得得由由yxyxstyx练习题xfxfx3)1()1(lim031Cxxf1)(axafxfax)()(lima1a221a21aC33C12mxxy11|0 xy