电磁场与电磁波(恒定磁场)课件.ppt

1、第四章 恒定磁场 4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度恒定磁场的实验定律与磁感应强度4.2 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程4.3矢量磁位矢量磁位4.4磁偶极子磁偶极子4.5磁介质中的安培环路定律磁介质中的安培环路定律4.6恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件4.7电感电感4.8磁场能量和能量密度磁场能量和能量密度4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度恒定磁场的实验定律与磁感应强度图4.1.1 回路 与回路 间的安培力1l2l1820年法国物理学年法国物理学家家A.M.安培通过实安培通过实验总结出：两个通验总结出：两个通有恒定电流的回路有恒定电流的回路之间有相互作用力。之间有相互作用力。

2、1.安培力定律安培力定律 安培定律指出安培定律指出：在真空中载有电流在真空中载有电流I1的回路的回路 上的上的电流元电流元 对载流回路对载流回路 的电流元的电流元 的作用力表示的作用力表示为为 11l dI22l dI1ll2 21122012)(4RaldIldIfdRmH/10470真空中的磁导率dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1整个载流回路整个载流回路 对电流元对电流元 的作用的作用力力1l22l dI)4(121102212lRRaldIldIFd载流回路载流回路 对载流回路对载流回路 的作用力的作用力2l1l1222211021)(4l lRRaldIldIF2.

3、磁感应强度磁感应强度载流回路之间的相互作用是通过磁场来进行的。载流回路之间的相互作用是通过磁场来进行的。载流回路载流回路 对电流元对电流元 的作用力，可以认为是载流的作用力，可以认为是载流回路回路 上的电流在空间激励的磁场上的电流在空间激励的磁场 ，而磁场，而磁场 对电流对电流元元 施加作用力施加作用力将载流回路将载流回路 在空间中激励的磁场表示为在空间中激励的磁场表示为 1l22l dI1lBB22l dI12Fd1l1131102110|)(44llRrrrrl dIRal dIBBl dIFd2212Bl dIFl22122运动电荷在磁场中受的力为：运动电荷在磁场中受的力为：BvqF空间

4、电流空间电流I在在R处激励的磁场的大小描述：处激励的磁场的大小描述：llRrrrrlIdRalIdB3020|)(44毕奥-萨伐尔定律 理论上可将电流回路的磁感应强度，视为电流回路上理论上可将电流回路的磁感应强度，视为电流回路上各电流元激励的磁感应强度的叠加，则电流元各电流元激励的磁感应强度的叠加，则电流元 的磁感的磁感应强度为：应强度为：lId204RalIdBdR对于体电流和面电流分布，分别用体电流元对于体电流和面电流分布，分别用体电流元 和面电和面电流元流元 代替上式中，积分得代替上式中，积分得dJdSJS3020|)(44drrrrJdRaJBR3020|)(44dSrrrrJdSRa

5、JBSsSRS体电流：体电流：面电流：面电流：图4.1.2 空间线电流的磁场磁感应强度在空间以磁感应线（磁力线）的形式来描磁感应强度在空间以磁感应线（磁力线）的形式来描述，磁感应线的方程与电力线的方程相似，即述，磁感应线的方程与电力线的方程相似，即zyxBdzBdyBdx 例例 4.1.1 求载流求载流I的有限长直导线的有限长直导线(参见图参见图 4.1.3)外任一外任一点的磁场。点的磁场。图 4.1.3 直导线的磁感应强度 解：解：取直导线的中心取直导线的中心为坐标原点，导线和为坐标原点，导线和z轴重轴重合，在圆柱坐标中计算。合，在圆柱坐标中计算。CRRlIdrB304)(从对称关系能够看出

6、磁场与坐从对称关系能够看出磁场与坐标标无关。不失一般性，将场无关。不失一般性，将场点取在点取在=0，即场点坐标为即场点坐标为(r,0,z)，源点坐标为源点坐标为(0，0，z)。dradzalddrdzrzzRrzzaraRzzzr22seccos,tancos),(22sec)(rardzazzaradzaRldzrz所以)sin(sin4cos4421002/2/3021rrIadrIaRRldIBll式中：222221)2/(2/sin)2/(2/sinlzzlzlzzlz对于无限长直导线对于无限长直导线(l)，1=/2,2=-/2，其产生的磁，其产生的磁场为场为 rIaB20例例4.1.

7、2 计算图计算图4.4所示真空中一圆形载流回路轴线上的磁感所示真空中一圆形载流回路轴线上的磁感应强度。回路半径为应强度。回路半径为a，电流为，电流为I。rzRa aa z 解：在圆柱坐标系中，原点位于圆形回路中心，场点解：在圆柱坐标系中，原点位于圆形回路中心，场点P P在在Z Z轴上，则：轴上，则：03222()4()rzIada aa zdBaz 03222()4()zrIada aa zaz220322204()zIa dBadaz 2032222()zIaaaz由对称性得：在z=0处，02zIBaa 4.2 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 1.磁通连续性原理磁通连续性原理 磁感应强

8、度在有向曲面上的通量简称为磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量磁通量(或磁通或磁通)，单位是单位是Wb(韦伯韦伯)，用，用表示：表示：sBdS 如如S是一个闭曲面，是一个闭曲面，则则 SB dS 就是磁通量的面密度，又称为磁通密度B图4.2.1 磁通量计算 对于在区域对于在区域 中连续分布的体电流密度中连续分布的体电流密度 ，在空间中，在空间中激励的磁感应强度为激励的磁感应强度为J30|)()(4)(drrrrrJrB30|)(4drrrrrJB两端对场点坐标取散度由于)|1(|3rrrrrr所以0)()|1(4drJrrB 对于在区域对于在区域 中连续分布的体电流密度中连续分布的体电流密

9、度 ，在空间中，在空间中激励的磁感应强度为激励的磁感应强度为 对于在区域对于在区域 中连续分布的体电流密度中连续分布的体电流密度 ，在空间中，在空间中激励的磁感应强度为激励的磁感应强度为 对于在区域对于在区域 中连续分布的体电流密度中连续分布的体电流密度 ，在空间中，在空间中激励的磁感应强度为激励的磁感应强度为 对于在区域对于在区域 中连续分布的体电流密度中连续分布的体电流密度 ，在空间中，在空间中激励的磁感应强度为激励的磁感应强度为应用矢量恒等式：应用矢量恒等式：baabba)(则有：则有：)()|1()|1()()()|1(rJrrrrrJrJrr因为因为 ，第二项中，第二项中 不是场点坐

10、标不是场点坐标的函数，则的函数，则于是有于是有0)|1(rr)(rJ0)(rJ0)()|1()|1()()()|1(rJrrrrrJrJrr0)()|1(4drJrrB0 B恒定磁场中没有发散源，恒定磁场是一种旋涡场。恒定磁场中没有发散源，恒定磁场是一种旋涡场。应用高斯散度定理，可得：应用高斯散度定理，可得：0sSdBdB磁通连续性定理的微分形式和积分形式：磁通连续性定理的微分形式和积分形式：0 BsSdB0恒定磁场中通过任意闭合曲面恒定磁场中通过任意闭合曲面S的磁通量恒等于零的磁通量恒等于零图4.2.2 磁通的连续性2.真空中的安培环路定律真空中的安培环路定律 真空中一无限长载流导线在周围激

11、励磁场，磁感应真空中一无限长载流导线在周围激励磁场，磁感应强度为强度为arIB20 线在垂直于线在垂直于I的平面内，呈同心圆状。的平面内，呈同心圆状。B图4.2.3 无限长载流导线周围的磁场若在垂直于若在垂直于I的平面上以的平面上以I穿过平面的点穿过平面的点o为圆心，以为圆心，以R为半么作一圆，则为半么作一圆，则 在这个在这个圆上的线积分为：圆上的线积分为：20000222IRRIRdRIl dBB若在平面上取任意围绕若在平面上取任意围绕I的闭合环路的闭合环路C，设环路，设环路C上的线元上的线元 到到I点点的距离为的距离为r，对对I 点的张角为点的张角为 ，与与 的夹角是的夹角是 如图如图4.

12、2.4(a)，则有，则有l dl dl ddBdrdlcosIdIdrrIdlrIl dBcc0200200022cos2图4.2.4 任意闭合环路与电流的关系若积分的闭合环路不绕过若积分的闭合环路不绕过I，如图，如图4.2.4(b)所示，则上式的积分变成所示，则上式的积分变成BAdIl dBc20AB020BAdIldBc安培提出：磁感应强度在空间任意闭合环路上的积分（即环流）安培提出：磁感应强度在空间任意闭合环路上的积分（即环流）等于与此闭合环路交链的所有电流之和与等于与此闭合环路交链的所有电流之和与 的乘积。即的乘积。即0IldBc0安培环路定律I I为为C C围成的面上穿过的总电流强度

13、，且电流围成的面上穿过的总电流强度，且电流的方向与回路的方向与回路C C的环绕方向符合右手螺旋法则。的环绕方向符合右手螺旋法则。闭合回路，当绕行一周后，闭合回路，当绕行一周后，因此因此AB例例4.2.1 计算图计算图4.2.9所示真空中半径为所示真空中半径为R的长直圆柱形载流铜的长直圆柱形载流铜导线的磁场。导线的磁场。解：在圆柱坐标系中，令导线的轴线与解：在圆柱坐标系中，令导线的轴线与z轴重合。轴重合。由真空中安培环路定律，在由真空中安培环路定律，在rRrR处有：处有：02cB dlrBI 02IBr得：得：例例4.2.2 在无限长柱形区域在无限长柱形区域1mr3m中，沿纵向流动的电中，沿纵向

14、流动的电流，其电流密度为：流，其电流密度为：其他地方电流密度为其他地方电流密度为0，求，求各区域中的磁感应强度。各区域中的磁感应强度。25rzJae 解：在圆柱坐标系中，若将圆柱的轴线与解：在圆柱坐标系中，若将圆柱的轴线与z z轴重合，则电轴重合，则电流关于流关于z z轴对称，若选圆形路径作为积分回路，利用安培轴对称，若选圆形路径作为积分回路，利用安培环路定律有：环路定律有：02cB dlrBI 其中其中I I为回路为回路c c围成的面积上穿过的电流强度围成的面积上穿过的电流强度10B当r1m时，I=0，当1mr=3m时，23262013515522rIJ dSderdree A 620003

15、3515244BIee Trrr 4.3 矢矢 量量 磁磁 位位 可以令可以令 BA :矢量磁位矢量磁位(简称磁矢位简称磁矢位)，单位，单位:Tm(特斯拉特斯拉米米)或或Wb/m(韦韦伯伯/米米),是一个辅助量。上式仅仅规定了磁矢位是一个辅助量。上式仅仅规定了磁矢位 的旋度，而的旋度，而 的散的散度可以任意假定。因为若度可以任意假定。因为若 ，另一矢量，另一矢量 ，其中，其中是一个任意标量函数，则是一个任意标量函数，则 AAABAA 0AAAABAAA0AJ使用矢量恒等式使用矢量恒等式 2AAA 20AJ 上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁

16、矢位的泊松方程。对无源区源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即 20A2222xxyyzzAaAaAaAzzyyxxJAJAJA020202000444xxyyzzJAdrJAdrJAdr4.4 磁磁 偶偶 极极 子子真空中的磁偶极子，即一个真空中的磁偶极子，即一个任意形状的小平面载流回路任意形状的小平面载流回路的磁场。的磁场。mpIS 下面通过矢量磁位下面通过矢量磁位 ,来求磁感应强度来求磁感应强度 ：AB现在取两个电流元，它们与现在取两个电流元，它们与 平面成的角分别平面成的角分别为为 和和 ，则它们在场点的矢，则它们在场点的矢量磁位量磁位 相加后得

17、到的相加后得到的 只有只有 分量，分量，且且 ，故有，故有0AdAcos22dAdA 00cos42RadIA212221222)cossin2()cos()cossin()sin(raarraraR因为因为 ，故得，故得ar)cossin1(1)cossin21(112122rarrararR（4.4.1）（4.4.2）将式（将式（4.4.2）代入式（）代入式（4.4.1）得：）得：sin4cos)cossin1(22000rSIdrarIaA即即sin420rSIaA（4.4.3）上式中上式中S S是圆环的面积，然后代入球坐系中的旋度公式求是圆环的面积，然后代入球坐系中的旋度公式求 ：Bs

18、in4cos423030rparpaBmmr结论：磁偶极子的磁感应强度与距离的三次方成反比。结论：磁偶极子的磁感应强度与距离的三次方成反比。磁偶极子场的另外表示式：磁偶极子场的另外表示式：)(4)(4)(4cos4)sincos2(4020202030dIraSIraaSIrSIaarSIBrrzr结论：磁偶极子的电流回路形状不同时，只要面结论：磁偶极子的电流回路形状不同时，只要面积积S对场点所张的的立体角相同，则在同一点的对场点所张的的立体角相同，则在同一点的 是相同的。是相同的。B图4.4.3 磁偶极子的场图矢量磁位又可写成：矢量磁位又可写成：)1(44020rprapAmrm磁偶极子的磁

19、感应强度为：磁偶极子的磁感应强度为：)1(4)1(400mmmprrprpB 是常矢量，是常矢量，0mpmprpBm40考虑到考虑到 时有时有 ，故有，故有0r012r02rpm30004144rrprprpBmmm令令 ，则磁感应强度可表示为，则磁感应强度可表示为34 rrpmmmB0 可表示为一标量函数的梯度，将可表示为一标量函数的梯度，将标量函数标量函数 称为恒定磁场的称为恒定磁场的标量磁标量磁位位Bm在无源区域：在无源区域：0B02m标量函数满足的边界条件：标量函数满足的边界条件：21mmnnmm22114.5 磁介质中的安培环路定律磁介质中的安培环路定律 磁化现象：磁化现象：磁介质材

20、料中电子的自旋和电子绕原子核的磁介质材料中电子的自旋和电子绕原子核的旋转形成围观电流，称为分子电流或束缚电流，旋转形成围观电流，称为分子电流或束缚电流，每个分子电流可以视为一个磁偶极子。每个分子电流可以视为一个磁偶极子。束缚电流：束缚电流：在外磁场作用下，材料中各单元磁矩的取向在外磁场作用下，材料中各单元磁矩的取向趋于一致，对外呈现宏观的磁效应，影响磁场分趋于一致，对外呈现宏观的磁效应，影响磁场分布，这种现象称为磁化现象。布，这种现象称为磁化现象。4.5 磁介质中的安培环路定律磁介质中的安培环路定律 1、磁化强度矢量磁化强度矢量 为包围点为包围点P的一小体积元，的一小体积元，为体积内分子电流为

21、体积内分子电流磁偶极矩的矢量和，磁偶极矩的矢量和，为点为点P单位体积中的磁矩矢量和，单位体积中的磁矩矢量和，单位为安单位为安/米（米（A/m）kimip1M10limkmiipM 由：由：2、磁化电流磁化电流 10limkmiipM 设单位体积内分子数为设单位体积内分子数为N N，则：，则：10limkmiimpMNP dshdl ndsdl ds mdIiNd又因为又因为注：注：所以所以mmdIiNdiNdl dsNPdlM dl 又因为又因为mmcsIdIM dlM dS mmssIJdSM dS 所以所以MJm束缚体电流密度束缚体电流密度mmsllIJdlMn dl nMJms所以所以磁

22、介质中的束缚体电流密度为：磁介质中的束缚体电流密度为：MJm磁介质中的束缚面电流密度为：磁介质中的束缚面电流密度为：nMJms 例例 半径为半径为a、高为、高为L的磁化介质柱的磁化介质柱(如图如图 所示所示)，磁化强度为，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流，求磁化电流 和磁化和磁化面电流面电流 。图 3 15 例 3-7用图 msJ mJ 解：取圆柱坐标系的解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的轴和磁介质柱的中轴线重合中轴线重合,磁介质的下底面位于磁介质的下底面位于z=0处，上处，上底面位于底面位于z=L处。此时处。此时 ，磁化电流为，磁化电

23、流为 0MM0)(0MMJm在界面在界面z=0上，上，,azn00azmSMnMJ在界面在界面z=L上，上，azn0)(0azmSMnMJ在界面在界面r=a上，上，,arn00MMnMJaarmS3、磁场强度、磁场强度 在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流Im。磁化电流磁化电流Im和外加的电流和外加的电流I都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：为下面的形式：SdJJIIl dBSmCm)()(00l dMIl dBCC00CIl dMB0令令 MBH0其中其中 称为磁场强度矢量，单位是称为磁

24、场强度矢量，单位是A/m(安培安培/米米)。于是有。于是有 CIl dH相应的微分形式是相应的微分形式是 JHH这就是这就是磁介质中的安培环路定律磁介质中的安培环路定律 4、磁导率、磁导率 HHHxMHBrm000)1()(式中式中m是一个无量纲常数，称为磁化率。是一个无量纲常数，称为磁化率。式中，式中，r=1+m，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；=0r，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨亨/米米)。铁磁材料的铁磁材料的 和和 的关系是非线性的，并且的关系是非线性的，并且 不是不是 的单值的单值

25、函数，函数，会出现磁滞现象，其磁化率会出现磁滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以的变化范围很大，可以达到达到106量级。量级。B B H H 5、磁介质中恒定磁场基本方程、磁介质中恒定磁场基本方程0BJHSCSSdJl dHSdB0HB 微分形式微分形式 积分形式积分形式 磁介质的本构方程磁介质的本构方程 例例4.5.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，外半径为外半径为c，如图，如图 所示。设内、外导体分别流过反向的电流所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为两导体之间介质的磁导率为，求各区域的，求各区域的 。图 3-

26、16 同轴线示意图,H B M 解：解：以后如无特别声明，对良导体以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质不包括铁等磁性物质)一一般取其磁导率为般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化.当当ra时，时，电流电流I在导体内均匀分布，且流向在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培方向。由安培环路定律得环路定律得 22 aIraH)(ar 考虑这一区域的磁导率为考虑这一区域的磁导率为0，可得，可得 0220MaIraB(r a)(r a)当当arb时，与积分回路交链的电流为时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，该区磁导率为，可得可得

27、 rIaBrIaH22rIaM200(arb)当当bc时，这一区域的时，这一区域的 为零。为零。,H B M 例例4.5.2无限长铁质圆管中通过电流无限长铁质圆管中通过电流I,管的内外半径分别为管的内外半径分别为a和和b,已知铁的磁导率为已知铁的磁导率为u,求管内、外空气中的磁感应强度求管内、外空气中的磁感应强度，并计算铁中的磁化强度和磁化电流的分布。并计算铁中的磁化强度和磁化电流的分布。解：采用柱坐标系，磁场只解：采用柱坐标系，磁场只有有 分量，故：分量，故：0BH arb2222()2()lraH dlHrIba 0lH dl ra22222raIHabar 22222raIBabar,r

28、b2HrI,22IIBaHarr 在在 的管壁空间内有磁化强度为的管壁空间内有磁化强度为,arb22220()(1)()2rBraIMaHabar 管壁内的磁化体电流为：管壁内的磁化体电流为：220(1)()mzIJMaba 在分界面在分界面r=ar=a和和r=br=b处的磁化面电流为：处的磁化面电流为：在在r=ar=a处处在在r=br=b处处()0msrJMa 0(1)2msrzIJMaab 4.6 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 图 4.6.1 恒定磁场的边界条件 在不同磁介质的分界面上，由于磁介质的磁导率存在在不同磁介质的分界面上，由于磁介质的磁导率存在突变，而且在磁介质表面上一般

29、还存在着束缚电流，因此，突变，而且在磁介质表面上一般还存在着束缚电流，因此，B和和H在经过分界面时要发生突变。在经过分界面时要发生突变。B和和H在分界面两侧在分界面两侧的变化关系称为的变化关系称为B和和H在分界面上的边界条件。在分界面上的边界条件。hSB1B2u2u1enB1B21324lhu2u 1BthSB1B2u2u1en120sB dSB n SBn S 即：即：0)(12BBn或：或：nnBB21故：磁感应强度的法向分量连续故：磁感应强度的法向分量连续H1H21324lhu2u 1Ht由安培环路定律可得：由安培环路定律可得：12lH dlHlHlI H1H21324lhu2u 1Bt

30、 若分界面上分布有表面电若分界面上分布有表面电流，取垂直于小矩形面积的单流，取垂直于小矩形面积的单位矢量为位矢量为 ，则穿过小矩形面，则穿过小矩形面积的电流为积的电流为 ，如图所示。，如图所示。slsJs另外，另外，又可以成又可以成 ，所以：所以：llsn l lsJlnsHHs)()(21即：即：lsJlsHHns)(21故有：故有：sJHHn)(21如果分界面无源电流，则如果分界面无源电流，则：或或：0)(21HHnttHH21或或：2211sinsinHH分界面无源时，磁场强度的切向分量连续分界面无源时，磁场强度的切向分量连续 2121tantan磁力线折射定律：磁力线折射定律：如果介质

31、如果介质1是空气，介质是空气，介质2是铁磁物质，则由于是铁磁物质，则由于 ，在，在空气中空气中磁感应线几乎与铁磁感应线几乎与铁表面垂直表面垂直。在。在铁磁铁磁物质中物质中磁感应线几乎与铁磁感应线几乎与铁表面平行表面平行。2121证明：证明：nnBB21知知由由10110111cosnnBHH 20220222cosnnBHH 所以：所以：111222coscosHH与与2211sinsinHH作比值得：作比值得：2121tantan例例4.6.1如图所示，铁心磁环的内半径为如图所示，铁心磁环的内半径为a，轴线半径，轴线半径 r0，环的横截面为矩形，且尺寸为环的横截面为矩形，且尺寸为dh。已知。

32、已知ah和铁心的磁和铁心的磁导率导率 0，磁环上绕有，磁环上绕有N匝线圈，通以电流为匝线圈，通以电流为I。试计。试计算环中的算环中的B、H和和。解：在忽略环外漏磁的条件下，解：在忽略环外漏磁的条件下，由安培环路定律有：由安培环路定律有：NIrHl dHl0202 rNIH02 rNIHBSlNIdhrNI02解得：解得：BH00BH 当磁环上开一很小的切口，即在磁路上有一个小空当磁环上开一很小的切口，即在磁路上有一个小空气隙时，根据磁通连续方程，近似认为磁感线穿过空气气隙时，根据磁通连续方程，近似认为磁感线穿过空气隙仍均匀分布在截面上，由边界条件知：隙仍均匀分布在截面上，由边界条件知：0BB

33、当当2 2个区域磁场强度不同时有：个区域磁场强度不同时有：由边界条件得由边界条件得:00(2)lH dlHrtH tNI 1002()rttBNI10000100000(2()(2()BHNIrtBHNIrt 1002()rttBSdhNI 4.7 4.7 电感电感电感定义电感定义:电感是一种储存磁场能量的元件，通常由电感是一种储存磁场能量的元件，通常由N匝导线绕制而成。匝导线绕制而成。当线圈通电时，将在空间中激励磁场，穿过一匝线圈的磁通当线圈通电时，将在空间中激励磁场，穿过一匝线圈的磁通为为，穿过线圈的总磁通称为磁链，用，穿过线圈的总磁通称为磁链，用表示。表示。N假定假定N匝导线紧密绕制，可

34、以近似认为处于同一位置，则：匝导线紧密绕制，可以近似认为处于同一位置，则：在线性介质中，磁感应强度与电流成正比，在线性介质中，磁感应强度与电流成正比，故故：IL L称为电感的称为电感的自感系数自感系数，简称，简称自感自感，单位为，单位为H（亨利）。（亨利）。自感取决于线圈的大小、形状、匝数和填充的媒质。自感取决于线圈的大小、形状、匝数和填充的媒质。对于两个线圈构成的互感系统，若回路对于两个线圈构成的互感系统，若回路1载有电流载有电流I1，在，在空间产生磁感应强度空间产生磁感应强度B1，回路，回路2面积为面积为S2，则，则B1穿过回路穿过回路2的的磁通量为磁通量为 1、12称为回路称为回路1产生

35、的磁场在回路产生的磁场在回路2上的互磁通。若回路上的互磁通。若回路2有有n圈圈，则互，则互感磁链为感磁链为12=n212。2、同理、同理 21=n121。3、在线性媒质中，互磁链正比于在线性媒质中，互磁链正比于 电流即：电流即：12=M12I1 同理，同理，21=M21I2 22221212112lSSl dASdASdBdl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1即互感：即互感：线圈间的互感取决于回路的线圈间的互感取决于回路的形状、大小、匝数、形状、大小、匝数、两线圈两线圈的的相对位置和磁介质的磁导率相对位置和磁介质的磁导率。互感可正可负，其值正负互感可正可负，其值正负取决于两个线

36、圈的电流方向，但电感始终应为正值取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值。11212IM22121IM 与回路电流与回路电流 I1交链的交链的磁通链磁通链是是由两部分磁通形成的，其一是由两部分磁通形成的，其一是 I1本本身身产生的磁通形成的磁通链产生的磁通形成的磁通链 11，另一是电流另一是电流 I2 在回路在回路 l1 中产生的中产生的磁通形成的磁通链磁通形成的磁通链 21。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r111121 那么，与电流那么，与电流 l1 交链的磁通链交链的磁通链1为为电感计算电感计算:由于实际导线的截面积不能忽略。因此，磁链将分由于实际导线的截面积不能忽

37、略。因此，磁链将分为内外两部分。穿过导线内部的磁链称为内磁链为内外两部分。穿过导线内部的磁链称为内磁链i，对应的自感称为对应的自感称为内自感内自感Li，导线外部的磁链称为外磁，导线外部的磁链称为外磁链链o,对应的自感称为对应的自感称为外自感外自感Lo。040lRl dIA由于由于穿过以穿过以l为边界的面积上的磁链为：为边界的面积上的磁链为：Rl dl dIl dAll l00004所以，线圈的外自感为（所以，线圈的外自感为（自感的诺伊曼公式自感的诺伊曼公式）l lRl dl dIL000004n匝密绕时，则乘以匝数匝密绕时，则乘以匝数n 对于内自感的计算，设回路的尺寸比导线截面尺寸大得对于内自

38、感的计算，设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且导线横截面为圆形，则导线内部的磁场可近似地认为多且导线横截面为圆形，则导线内部的磁场可近似地认为同无限长直圆柱导体内部的场相同。若导线截面半径为同无限长直圆柱导体内部的场相同。若导线截面半径为a，磁导率为磁导率为，如图所示。则导线内的磁场为，如图所示。则导线内的磁场为 穿过导线中长为穿过导线中长为l，宽为，宽为dr的截面的磁通为的截面的磁通为raIaJraB)(222BldrBdSddrraIllrdraIardard34222222)2(aIldrraIl03482故长度为故长度为l的一段圆截面导线的的一段圆截面导线的内自感内自感为为8lL d仅与

39、电流的一部分（即半径为仅与电流的一部分（即半径为r的圆截面内的电流）的圆截面内的电流）相交链，因而在计算与相交链，因而在计算与I相交链的磁链时要乘以一个比相交链的磁链时要乘以一个比值值 ，即它交链的电流占总电流的百分比，即，即它交链的电流占总电流的百分比，即 22ar故故内磁链内磁链为：为：对于两单匝互感线圈，回路对于两单匝互感线圈，回路1通过的电流在回路通过的电流在回路2上的磁链上的磁链为为 同理有：同理有：21211012124llRl dl dI11212IM 212104llRl dl d 12122021214llRl dl dI 12120221214llRl dl dIMMMM2

40、112可见：可见：上式为上式为互感的诺伊曼公式互感的诺伊曼公式 例例 如图所示，求无限长平行双导线单位长度外自感。如图所示，求无限长平行双导线单位长度外自感。解：设导线中电流为解：设导线中电流为I，由无限长导，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为线所在的平面上的磁感应强度为)(2200 xdIxIB磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为 aadnIBdxada10所以单位长外自感为所以单位长外自感为 aadnL104.8 磁场的能量和能量密度磁场的能量和能量密度 磁场系统

41、所具有的磁场能量是在建立此恒定磁场系统过程中，磁场系统所具有的磁场能量是在建立此恒定磁场系统过程中，由其它形式的能量转换成磁能的。如磁场系统是由一个或几个恒由其它形式的能量转换成磁能的。如磁场系统是由一个或几个恒定电流回路所产生的，那么磁场的能量就一定是在这些恒定电流定电流回路所产生的，那么磁场的能量就一定是在这些恒定电流的建立过程中，由外电源提供的。的建立过程中，由外电源提供的。假定回路的形状、位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁假定回路的形状、位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，回路的电流分别为场的过程中，回路的电流分别为i1(t)、i2(t)in(t)，最初，最初，i1=

42、0，i2=0in=0，最终，最终，i1=I1,i2=I2，in=In。在这一过程中，电源作在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。的功转变成磁场能量。根据电路理论可知，回路根据电路理论可知，回路j有：有：tujjjdt时间内与回路时间内与回路 j 相连的电源所做的功为：相连的电源所做的功为：jjjjjjdidqdtddqudW因此，整个系统在因此，整个系统在dt时间内增加的磁能为：时间内增加的磁能为：NjjjmdidW1回路回路 j 的磁链为的磁链为：NkkkjjiM1将此式代入上式可得将此式代入上式可得：NjNkkkjjmdiMidW11系统的建立过程对应于系统的建立过程对应于从从0到到1的

43、变化过程，即的变化过程，即 jjItti)()(kkItti)()(dIdikk则：则：于是：于是：NjNkkkjjmdIMIdW11整个磁场系统的总磁场能为整个磁场系统的总磁场能为：NjNkkjkjNjNkkkjjmIIMdIMIW11111021若若N=1时，即时，即单一回路单一回路组成的电感，组成的电感，M11=L，则：则：221LIWm若若N=2，即，即双线圈双线圈时，时，M11=L1，M22=L2，M12=M21=M，则：则：212222112121IMIILILWm NjNjljjjjmjl dAIIW112121同时同时故，对于故，对于分布电流分布电流 dAJl dAIWNjlj

44、jmj21211SSdHAdBHdHAdAHdHA)(2121)(21)(21)(21RSdHA1|若将式中积分体积扩大到无穷大，此时闭合面可视为一无若将式中积分体积扩大到无穷大，此时闭合面可视为一无穷大的球面，因此，穷大的球面，因此，R，RA121RH 故第二项面积分为零。于是磁场的总储能为：故第二项面积分为零。于是磁场的总储能为：dBHWm21磁场的磁场的能量密度能量密度为：为：BHwm21在各向同性，线性磁介质中：在各向同性，线性磁介质中：dHWm221221HwmHB故：故：例例 1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a，外导体内半径为，外导体内半径为b，外导体的厚度忽略不，外导

45、体的厚度忽略不 计。设同轴线所用材料的磁导率都等于计。设同轴线所用材料的磁导率都等于0，今将同轴线内、外导体在两端，今将同轴线内、外导体在两端闭合形成回路，并通有恒定电流闭合形成回路，并通有恒定电流I，试计算同轴线单位长度储存的磁场能。，试计算同轴线单位长度储存的磁场能。解：同轴线内、外导体在两端短路后可视为一闭合解：同轴线内、外导体在两端短路后可视为一闭合回路，而同轴线的单位长度的电感为回路，而同轴线的单位长度的电感为 8ln20000abLLL因此，同轴线的单位长度储存的磁场能量为因此，同轴线的单位长度储存的磁场能量为202ln41421IabLIWm在回路的电流从零到在回路的电流从零到I

46、1的过程中，电源作功为的过程中，电源作功为 211011111211ILdiiLdWWI 计算当回路计算当回路1的电流的电流I1保持不变时，使回路保持不变时，使回路2的电流从零增到的电流从零增到I2，电源作，电源作的功的功W2。若在。若在dt时间内，电流时间内，电流i2有增量有增量di2，这时回路，这时回路1中感应电势为中感应电势为E1=-d21/dt，回路，回路 2 中的感应电势为中的感应电势为E2=-d22/dt。为克服感应电势，必须在两为克服感应电势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在个回路上加上与感应电势反向的电压。在dt时间内，电源作功为时间内，电源作功为dW2=M21I1

47、di2+L2i2di2积分得回路积分得回路 1 电流保持不变时，电流保持不变时，电源作功总量为电源作功总量为 22222102221212221)(2ILIMdiiLIMdWWI电源对整个电流回路系统所作的总功为电源对整个电流回路系统所作的总功为 22221212112122121ILILMILWWW221122212121112221121221112121)(21)(21)(21)(21IIIIIILIMIIMILWm推广到推广到N个电流回路系统，个电流回路系统，其磁能为其磁能为 NiiimIW121式中：式中：jjiNjNjjiiIMZ11112iNmiiCiWIA dl 代入后得：代入

48、后得：对于分布电流，用对于分布电流，用Iidli=JdV代入上式，得代入上式，得 12mVWJ AdV 注意，上式中当积分区域注意，上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零趋于无穷时，面积分项为零(理由同静理由同静电场能量里的类似电场能量里的类似)。于是得到。于是得到 12mVWH BdV 磁场能量密度为磁场能量密度为 12mwB H 类似于静电场的能量可以用电场矢量类似于静电场的能量可以用电场矢量D和和E表示，磁场能量表示，磁场能量也可用磁场矢量也可用磁场矢量B和和H表示，并由此得出磁通密度的概念。将表示，并由此得出磁通密度的概念。将H=J代入上式，得代入上式，得 11()()()2211()22mVVVSWAH dVHAH dVH BdVHdS 例例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。求无限长圆柱导体单位长度的内自感。解：设导体半径为解：设导体半径为a，通过的电流为，通过的电流为I，则距离轴心，则距离轴心r处的磁感应强度为处的磁感应强度为 202 aIrB单位长度的磁场能量为单位长度的磁场能量为 162212121201002020IdzrdrBdVBBHdVWami单位长度的内自感为单位长度的内自感为 8202IWLmii