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1、本篇主要内容本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立：二阶线性偏微分方程的建立和求解和求解重点重点：数学物理方程求解方法中的分离变量：数学物理方程求解方法中的分离变量法和行波法法和行波法.特点特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程数学物理模型建立数学物理方程 数学物理思想数学物理思想数学物理方程（简称数学物理方程（简称数理方程数理方程）是指从物理）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方

2、程和积分方出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程程数学物理方程所研究的内容和所涉及的领数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中自然界中的的许多许多物理现象物理现象和和普遍规律普遍规律.周秀丽声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度热传导是研究热源与温度场之间的关系场之间的关系泊松（泊松（S.D.Poisson S.D.Poisson 1781178118401840，法国数学家），法国数学家）方程表示的是电势（或电场）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系和电荷分布之间的关系定解定解问题问题从物理规律角度来分析，

3、数学物理定解问题表征的从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系是场和产生这种场的源之间的关系周秀丽根据分析问题的不同出发点，根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为把数学物理问题分为正向问题正向问题和和逆向问题逆向问题.不同出发点不同出发点?正向问题，即正向问题，即为已知源求场为已知源求场 逆向问题，即逆向问题，即为已知场求源为已知场求源.前者是经典数学物理所讨前者是经典数学物理所讨论的主要内容论的主要内容.后者是高等数学后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容所讨论的主要内容周秀丽多数为二多数为二阶线性偏阶线性偏

4、微分方程微分方程振动与波（振动波，电磁波）传振动与波（振动波，电磁波）传播满足播满足波动方程波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导问题和扩散问题满足热传导方热传导方程程静电场和引力势满足静电场和引力势满足拉普拉斯方拉普拉斯方程或泊松方程程或泊松方程周秀丽三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表波动方程为代表抛物型方程抛物型方程热传导方程为代表热传导方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程退化为拉普拉斯方程周秀丽分离变量法分离变量法偏微分方程偏微分方程标准的常微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特标准解，即为各类特殊函数殊函数三类数

5、学物理方程的一种最常用解法三类数学物理方程的一种最常用解法9.1 数学建模数学建模-波动方程类型的建立波动方程类型的建立具有波动方具有波动方程的数理方程的数理方程的建立程的建立弦的横振动弦的横振动 杆的纵振动杆的纵振动 讨论讨论定解条定解条件件传输线方程传输线方程 周秀丽9.1.19.1.1波动方程的建立波动方程的建立1.1.弦的微小横振动弦的微小横振动考察一根长为考察一根长为l且两端固定、水平拉紧的弦且两端固定、水平拉紧的弦讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题要讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程，需要明确：确定确定弦的弦的运动运

6、动方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪些）被研究的物理量遵循哪些物理定理？物理定理？牛顿第二定律牛顿第二定律.（3）按物理定理写出数学物）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）理方程（即建立泛定方程）(1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 (,)u x t周秀丽注意：注意：物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化才能使方程简化 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可移所遵循的普遍规

7、律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点以取除端点之外的任何位置作为考察点周秀丽 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律mFau方向运动的方程可以描述为方向运动的方程可以描述为 2211sinsind(d)ttTTg ss u（9.1.1）作用于小段作用于小段ABC的纵向合力应该为零：的纵向合力应该为零：2211coscos0TT (9.1.2)仅考虑仅考虑微小微小的横振动，的横振动，21,2221,夹角夹角为很小的量，忽略为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有 2112cos11,cos12!311111222sin

8、tan,sintan3!222d(d)(d)1()ddxsxuuxx周秀丽注意到:tansinxuux故由图故由图9.11得得1122dtansin,tansinxxxxxuu这样，这样，(9.1.1)(9.1.1)和和(9.1.2)(9.1.2)简化为简化为21d21dd (9.1.3)0 (9.1.4)xxttxxxT uT ug xuxTT周秀丽因此在微小横振动条件下，可得出因此在微小横振动条件下，可得出 12TT，弦中张力不随，弦中张力不随x而变，而变，可记为可记为 21TTT故有 d()ddxxttxxxT uug xux (9.1.5)变化量dx可以取得很小，根据微分知识有下式成立

9、 dddxxxxxxxxuuuxuxx这样，这样，ABC段的运动方程段的运动方程(9.1.5)(9.1.5)就成为就成为 0 ttxxuTug (9.1.6)周秀丽即为即为2ttxxua ug （9.1.7）上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程 其中其中2/aT讨论：讨论：（1 1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)(9.1.7)右端的右端的重力加速度项可以忽略由此得到下列齐次偏微分方程：重力加速度项可以忽略由此得到下列齐次偏微分方程：2ttxxua u （9.1.8）称式（称式（

10、9.1.89.1.8）为弦的自由振动方程）为弦的自由振动方程周秀丽(2)如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t作用，则式(9.1.8)应该改写为 2(,)ttxxua uf x t (9.1.9)式中式中(,)(,)F x tf x t称为力密度称为力密度 t，为，为时刻作用于时刻作用于x处单位质量上的横向外力处单位质量上的横向外力式（式（9.1.99.1.9）称为弦的受迫振动方程）称为弦的受迫振动方程.周秀丽2 2、均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动B段的运动方程为段的运动方程为 dd(d)xxxttxxxuYSuYSuYSxS x ux（9.1.10）可得可得 0 xxttYuu（9.

11、1.11）这就是杆的纵振动方程杆的纵振动方程 周秀丽讨论讨论(1)对于均匀杆，Y和和是常数，(9.11）可以改写成 2ttxxua u（9.12）其中Ya 2这与弦振动方程（9.8）具有完全相同的形式（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（9.9）完全一样，只是其中(,)f x t应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力 周秀丽3.传输线方程（电报方程）传输线方程（电报方程）2222()LCRCGLGRxttvvvv （9.1.13）同理可得：2222()iiLCRCGLGRittix (9.1.14)式（9.1.13）及（9.1.14）即为一般的传输线方程（或电报方程）周秀丽(1)无失真

12、线无失真线 22222212iiiixatat (9.1.15)其中 221,aRGLC(2)无损耗线无损耗线2222L Cxtvv（9.1.16）2222iiL Cxt (9.1.17)具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同周秀丽(3)无漏导，无电感线无漏导，无电感线 22RCxtvv （9.1.18）22iiR Cxt (9.1.19)它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同 周秀丽9.1.2 波动方程的定解条件波动方程的定解条件定解条件：初始条件和边界条件1.初始条件初始条件 波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的加

13、速度要确定振动状态，需知道开始时刻每点的位移和速度 波动方程的初始条件通常是 00(,)|(,)(),(,)|(,0)0)(ttttu x tu xxu x tu xx （9.1.22）周秀丽例例911 一根长为 l的弦，两端固定于 0 x 和xl,在距离坐标原点为 b的位置将弦沿着横向拉开距离的位置将弦沿着横向拉开距离 h，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。x u o b l h 图 9.5【解解】初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有 0(,)|(,0)0tttu x tu x 初始位移如图所示 (0)(,0)()()hxxlbu xhlxbxLlb周秀丽2.

14、边界条件边界条件 常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值 第二类边界条件第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值 000,000(,)|(,)xyzu x y z tf xyz t （9.1.23）000000,(,)xyzuf xyz tn（9.1.24）周秀丽第三类边界条件第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值 000000,()(,)nxyzuHuf xyz t（9.1.25）ftH其中其中是时间是时间的已知函数，为常系数为常系数 周秀丽9.2 数学建模热传导方程类型

15、的建立数学建模热传导方程类型的建立9.2.1数学物理方程数学物理方程热传导类型方程的建立热传导类型方程的建立 1.热传导方程热传导方程 推导固体的热传导方程时，推导固体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：热传导的傅里叶定律傅里叶定律：dt时间内，通过面积元时间内，通过面积元 dS流入小体积元的热量流入小体积元的热量 dQ与沿面积元外法线方向的温度变化与沿面积元外法线方向的温度变化率率 un成正比成正比 dSdt也与也与和和成正比，即：成正比，即：dd duQkS tn （9.2.1）式中式中k是导热系数是导热系数 周秀丽图

16、9.8取直角坐标系取直角坐标系OxyzOxyz,如图如图9.8 9.8),(tzyxu表示表示t t时刻物体内任一点（时刻物体内任一点（x,y,zx,y,z）处的温度）处的温度 在d dt t 时间内通过ABCD面流入的热量为 d|()|d d d()|d d dxxxuuQkt y zkt y znx 同样，在dt时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为()d d d dukt x y zyy()d d d dukt x y zzz周秀丽在在t t到到dtt时间内，小体积元的温度变化是时间内，小体积元的温度变化是 dutt0C如果用和分别表示物体的密度密度和比热比热，则根据能量守恒定律得

17、热平衡方程 0()()()d d d dd d d duuuukkkt x y zCt x y zxxyyzzt或写成或写成 0()()()uuuukkkCxxyyzzt (9.2.2)周秀丽 2.扩散方程扩散方程 2220 (0)uuattx (9.2.3)其中2.aD将一维推广到三维，即得到将一维推广到三维，即得到 22222220 (0)uuuuattxyz(9.2.4)上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式 周秀丽若外界有扩散源，且扩散源的强度为若外界有扩散源，且扩散源的强度为(,)f x y z t这时，扩散方程应为这时，扩散方程应为 2

18、222222(,)uuuuaf x y z ttxyz（9.2.5）从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，但可以用同一类方程来描述但可以用同一类方程来描述.周秀丽9.2.2 9.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件热传导（或扩散）方程的定解条件 1 初始条件初始条件 热传导方程的初始条件一般为热传导方程的初始条件一般为 (,0)(,)u x y zx y z（9.2.6）2 边界条件边界条件(0)t t 第一类第一类:已知任意时刻已知任意时刻边界面上的温度分布 (,)|(,)u x y z tft (9.2.7)直接给出函数u

19、 在边界上的数值,所以是第一类边界条件.周秀丽2.第二类第二类 已知任意时刻已知任意时刻(0)t t 从外部通过边界流入物体内的热量。从外部通过边界流入物体内的热量。设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为(,)t.考虑物体内以边界上面积元考虑物体内以边界上面积元dS为底的一个小圆柱体，为底的一个小圆柱体，如图如图9.109.10所示所示.图9.10dS物体内部通过流入小柱体的热量为 u小柱体内温度升高所需要的热量()cdSu 随着柱高趋于零而趋近于零 周秀丽 所以当0由热平衡方程给出:dd(,)d d0ukSttS tn 0ddSS考虑到时,则得

20、1|(,)Sutnk (9.2.8)周秀丽3.3.第三类第三类 根据牛顿冷却定律:单位时间从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比,即 1d(|)QH uu这里1u是外界媒质的温度.0H 为常数 与推导条件(9.2.11)相似,此时可得边界条件 1uhuhun (9.2.9)其中 Hhk周秀丽9.3 数学建模数学建模稳定场方程类型的建立稳定场方程类型的建立9.3.1 9.3.1 数学建模数学建模稳定场方程类型的建立稳定场方程类型的建立 1 1 静电场的电势方程静电场的电势方程 直角坐标系中泊松方程泊松方程为 2222220UUUxyz (9.3.1)V0若空间中无电荷，即电

21、荷密度，上式成为 2222220UUUxyz (9.3.2)称这个方程为拉普拉斯方程拉普拉斯方程.周秀丽2.稳定温度分布稳定温度分布 导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程（9.2.1)，(9.2.2)即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.2222220uuuxyz(9.3.3)22222221(,)uuuf x y zxyza (9.3.4)周秀丽9.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件,而只有边界条件.边界条件分为三

22、类:1、在边界上直接给定未知函数u,即为第一类边界条件2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合,即第三类边界条件.周秀丽第一、二、三类边界条件可以统一地写成第一、二、三类边界条件可以统一地写成 (,)uutn (9.3.5)其中是边界上的变点；unu表示物理量沿边界外法线方向的方向导数；,为常数，它们不同时为零 周秀丽9.4 9.4 数学物理定解理论数学物理定解理论 9.4.1 定解条件和定解问题的提法定解条件和定解问题的提法 边界条件的类型边界条件的类型 除了前面我们介绍的第一、第二、第三类边界条件第一、第二、第三类边界条件之外，还

23、有其它边界条件，如自然边界条件，衔接条件自然边界条件，衔接条件,周期性条件周期性条件和无边界条件无边界条件 周秀丽9.4.2 数学物理定解问题的适定性数学物理定解问题的适定性(1)解的存在性解的存在性 看所归结出来的定解问题是否有解；(2)解的唯一性解的唯一性 看是否只有一个解(3)解的稳定性解的稳定性 当定解问题的自由项自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量 定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性定解问题的适定性.周秀丽 9.4.3 数学物理定解问题的求解方法数学物理定解问题的求解方法 1.1.行波法；行波法；2.2.分离变量法；分离变量法；3.3.幂级

24、数解法；幂级数解法；4.4.格林函数法；格林函数法；5.5.积分变换法；积分变换法；6.6.保角变换法；保角变换法；7.7.变分法；变分法；8.8.计算机仿真解法；计算机仿真解法；9.9.数值计算法数值计算法周秀丽9.5 本章典型综合实例本章典型综合实例 l0 x xl0t()x lx例例 9.5.1 长为的弦在端固定，另一端自由，且在初始时刻时处于水平状态，初始速度为，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题.【解解】（1）确定泛定方程）确定泛定方程：x0 x 取弦的水平位置为轴，为原点，弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程 20ttxxua u周秀丽(2)(2)确定边界条件确定边界条件 对于弦的固定端，显然有(0,)0ut 另一端自由，意味着其张力为零故由式（9.1.39），则 0 x lux(3)(3)确定初始条件确定初始条件(,0)0u x0t 根据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零 初始速度 0|()tux lxt周秀丽综上讨论，故定解问题为综上讨论，故定解问题为20 (0,0)(0,)0,|0 (0)(,0)0,(,0)()(0)ttxxxx ltua uxl tututu xu xx lxxl周秀丽周秀丽周秀丽