2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷二（含附加题）含答案详解.docx

1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二 数学 参考公式： 样本数据 1 x， 2 x， n x的方差 2 2 1 1 n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n 柱体的体积VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高. 锥体的体积 1 3 VSh，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高. 一填空题：本题共 14 小题.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.集合 2 10Ax x ，3 , x By yxR，则AB _. 2.复数1zi （i为虚数单位） ，则共轭复数z的虚部_. 3.已知向量a，b满足1a ，2b ， 3, 2ab，则2ab_. 4.在等差数列 n

2、a中， n S为其前n项的和，已知 813 35aa，且 1 0a ，若 n S取得最大值， 则n _. 5.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.设各局 比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以 3：1 获胜的 概率是_. 6.已知 A，B，P 是双曲线 22 22 10 xy ab ab 上的不同三点，且0OAOB（O点为 坐标原点） ，若直线 PA，PB 的斜率乘积 3 4 ，则该双曲线的离心率等于_. 7.设常数aR，如果 5 2 a x x 的二项展开式中x项的系数为-80，那么a _. 8.奇函数 f x在区间,0上

3、单调递减，且10f ，则不等式 110xf x的解集 是_. 9.已知两点 A（-1，0） ，B（1，0） ，若直线0xya上存在点 P 满足0AP BP ，则实 数a的取值范围是_. 10.如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，中心为O， 1 2 BFBC， 11 1 4 AEA A，则四 面体 OEBF 的体积为_. 11.已知 3 cos 45 x ， 35 44 x ，则 2 sin22sin 1tan xx x _. 12.O是ABC内一点，且220OAOBOC，ABC和OBC的面积分别是 ABC S和 OBC S，则 OBC ABC S S _. 13.函数 f

4、x是定义 R 在上的偶函数，且满足 2 , 0,1 ,1,2 xx f x g xx ， 2f xf x ， 则曲线 yf x与 3 logyx的交点个数为_. 14.A，B 分别为 1 C： 2 10xy 和 2 C： 2 10yx 的点，则AB的最小值为_. 二.解答题：本大题共 6 小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15.ABC中， 内角 A， B， C 的对边分别为a，b，c.已知sinsinsinacACabB. （）求角 C 的大小； （）求sinsinAB的最大值. 16.如图 1，已知菱形 AECD 的对角线 AC，DE 交于点 F，

5、点 E 为 AB 的中点.将ADE沿线 段 DE 折起到 PDE 的位置，如图 2 所示. （）求证：DE平面 PCF； （）求证：平面 PBC平面 PCF； （）在线段 PD、BC 上是否分别存在点 M，N，使得平面 CFM/平面 PEN？若存在，请指 出点 M，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 17.如图，圆 O 是一半径为 20 米的圆形草坪，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图 中虚线部分所示的曲边四边形，其中 A，B 两点在O上，A，B，C，D 恰是一个正方形的 四个顶点.根据规划要求，在 A，B，C，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心 O 点出发，在 地下铺设 4 条到

6、 A，B，C，D 四点线路 OA，OB，OC，OD. （）若正方形边长为 20 米，求广场的面积； （）求铺设的 4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值. 18.已知抛物线 C： 2 4xy，过点（2，3）的直线l交 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在点 A， B 处的切线交于点 P. （）当点 A 的横坐标为 4 时，求点 P 的坐标； （）若 Q 是抛物线 C 上的动点，当PQ取最小值时，求点 Q 的坐标及直线l的方程. 19.已知函数 ln , xax f xaR x . （）若函数 f x只有两个零点，求实数a的取值范围； （）设函数 f x的两个零点为 1 x， 2 x

7、，且 12 xx，求证： 12 2xxe. 20.记无穷数列 n a的前n项中最大值为 n M，最小值为 n m，令 2 nn n Mm b ，则称 n b是 n a的“极差数列”. （）若32 n an，求 n b的前n项和； （）证明： n b的“极差数列”仍是 n b； 数学（附加题） 21【选做题】 ：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-2：矩阵与变换 已知矩阵 25 13 A ， 46 21 B ，求二阶方阵 X，满足 AX=B. B.选修 4-4：坐标系

8、与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l： 3 2cos 4 3 1sin 4 xt yt （t为参数） ，曲线C： 2cos sin x ya （为 参数） ，其中0a .若曲线 C 上所有点均在直线l的右上方，求a的取值范围. C.选修 4-5：不等式选讲 已知正数x，y，z满足1xyz. （）求证： 222 1 2323235 xyz yzzxxy ； （）求 2 161616 xyz 的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22.在如图所示的四棱锥FABCD中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB/CD，D

9、AB=60 ， FC平面 ABCD，CB=CD=CF. （）求直线 DF 与面 BFC 所成角的正弦值； （）求二面角DBFC的余弦值. 23.对于正整数n，如果 k kN个整数 1 a， 2 a， k a满足 12 1 k aaan， 且 12k aaan，则称数组 12 , k a aa为n的一个“正整数分拆”.记 12 , k a aa均 为偶数的“正整数分拆”的个数为 12 , nk fa aa均为奇数的“正整数分拆”的个数为 n g. （）写出整数 4 的所有“正整数分拆”； （）对于给定的整数4n n ，设 12 , k a aa是n的一个“正整数分拆”，且 1 2a ， 求k的最

10、大值. 参考答案： 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二 数学答案 一填空题 1.1, 2.-1 3.2 2 4.20 5.0.2592 6. 7 2 7.-2 8.20x xx或 9.2, 2 10. 1 96 11. 28 75 12. 1 5 13.10 14. 3 2 4 二、解答题 15.解： （）由sinsinsinacACabB 222 222acRaRcabRbabcab. 由 222 1 cos 22 abc C ab ，又0C， 3 C . 即角 C 的大小 3 . （） 211 sinsinsinsinsin 2 3264 ABAAA 2 0 3 A

11、当 3 A 时，sinsinAB的最大值为 3 4 . 16.解： （） 在菱形 AECD 中，由条件，知：DEPF，DEAF，AFPFF DE平面 PCF （）四边形 AECD 为菱形，AE=DC，AE/DC； 又点 E 为 AB 的中点，EB= DC，EB/ DC， 即四边形 DEBC 为平行四边形. 由（）知，DE平面 PCF，BC平面 PCF. 又BC面 PCB 平面 PBC平面 PCF. （）存在满足条件的 M，N，且 M，N 分别是 PD，BC 的中点. 如图，分别取 PD，BC 的中点 M，N，连接 MF，CM，EN，PN. 四边形 DEBC 为平行四边形， EF/CN，EF=

12、1 2 BC=CN，FC/EN 在PDE中，M，F 分别是 PD，DE 的中点，MF/PE 又EN，PE面 PEN，PEENE，ME，CF面 CMF，MFCFF 平面 CFM/平面 PEN. 17.解： （） 连接 AB，显然正方形 ABCD 的面积为400 ABCD S. OA=OB=AB=20，AOB为正三角形，则 3 AOB ， 故扇形 AOB 的面积为 22 11200 20 2233 AOB sr . 又AOB的面积 2 3 20100 3 4 ABC S. 弓形面积为 200 -100 3 3 ABC AOB SSS 弓形 . 故广场面积为 200 400100 3 3 ABCD

13、SS 弓形 平方米. （）过点 O 作 OKCD，垂足为 K，过点 O 作 OHAD（或其延长线） ，垂足为 H. 设0 4 OAD ，则20sinOH，20cosAH. 240sin20cosDHADAHOHAH. 2 222 400sin40sin20cos20 32 2sin 2 4 ODOHDH . 当 8 时， 2021OD 最小值 故铺设的 4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值 220214040 2米. 18.解： （）设 11 ,A x y， 22 ,B xy，当 1 4x 时， 1 4y . 此时直线 AB 的方程为： 431 442 422 yxyx AB 直

14、线方程与抛物线方程联立 2 1 2 2 4 yx xy ，得： 2 280xx 由韦达定理， 2 48x ， 2 2x ， 2 1y . 由 2 4xy，得： 2 x y . 1 2 2 AP x k， 2 1 2 BP x k . AP 直线方程：42424yxyx BP 直线方程：1121yxyx 联立，得1 p x ，2 p y . 故点 P 的坐标（1，-2）. （）设 2 1 1, 4 x A x ， 2 2 2, 4 x B x ，AB 直线方程：23yk x AB 直线方程与抛物线方程联立 2 32 4 ykxk xy ，得： 2 44 320xkxk 由韦达定理， 12 12

15、4 4 23 xxk x xk AP 直线方程： 22 1111 1 4224 xxxx yxxyx BP 直线方程： 22 2222 2 4224 xxxx yxxyx 联立，得 12 2 2 p xx xk ， 2 112112 23 2244 p x xxxxx yk . 所以点 P 的轨迹方程：3yx. 设, QQ Q xy ，则 2 2 3 28 4 3 8 2 224 24 2 Q Q Q QQ x x x xy PQ 当2 Q x 时，PQ取最小值2，此时1 Q y . 2 2 221232PQkk ，得 3 2 k . 此时，AB 直线方程： 33 23 22 yxyx 故点

16、Q 的坐标（2，1） ，直线l的方程 3 2 yx. 19.解： （）出题意知，ln0xax，得 ln x a x ， 令 ln x g x x ， 1ln 0 x gx x ，得xe g x在（0，e）单调递增，在（e，+）单调递减. 1 g xg e e 极大值 . g（1）=0，当 x（e，+） ，g（x）0. 故 1 0,a e . （）由（）知，不妨设 21 1xex， 11 2121 22 ln lnln ln xax xxa xx xax ； 只要证 12211 211 1 2lnlnln xxxxx e xxxa 即可. 令 2 1 x t x ，则1t . 则 2 12212

17、1 2 211 1 1 1 ln2ln20 2lnln1 1 x xxxxxxt t x xxxt x . 令 1 ln21 1 t g ttt t . 2 22 114 0 11 t g t t tt t . g t在（1，+）单调递增， 10g tg，得证. 12 2xxe 20.解： （）因为 n a为递增数列，故32 n Mn，1 n m . 3213 1 22 n n bn n b的前n项和为 2 1333 2244 n n n Snn . （）因为 12121 max,max,1,2,3, nn a aaa aan ， 12121 min,min,1,2,3, nn a aaa a

18、an ， 1211211212 max,min,max,min, nnnn a aaa aaa aaa aa 1 1,2,3, nn bbn . 又因为 111 0baa， 12121 max,min, nnnn b bbb bbbbb， 所以 n b的“极差数列”仍是 n b. 21【选做题】 A.选修 4-2：矩阵与变换 解：由题意，得 25 1 13 A . 1 351 12 AA A . 由AXB，得 1 XA B ，所以 3546223 122108 X . 所求的二阶方阵 223 08 X . B.选修 4-4：坐标系与参数方程 解：直线l的普通方程：30xy. 由题意，2coss

19、in30a， 2 4sin3a 2 43a ，解得05a. C.选修 4-5：不等式选讲 解： （） 222 2 232323 232323 xyz yzzxxyxyz yzzxxy 1xyz 2 222 1 2323232323235 xyzxyz yzzxxyyzzxxy . （） 22 3 1616163 16 xyzx y z 当且仅当 2 xyz时，“=”成立 1xyz 2 21zz， 1 2 z . 当 1 4 xy， 1 2 z 时， 2 3 3 4 1616163 166 xyz 故 2 161616 xyz 的最小值为 6. 【必做题】 22.解： 方法一：定义法 （）过点

20、C 作 CGBC 交 BD 于点 G，过点 G 作 GE/DF 交 BF 于点 E，连接 CE. 故直线 GE 与平面 BFC 所成的角即为直线 DF 与平面 BFC 所成的角. FC平面 ABCD，FC平面 FCB 平面 ABCD平面 FCB 又 ABCDFCBBC CGBCCGFCB CGABCD 平面平面 平面 平面 故CEG直线 GE 与平面 BFC 所成的角. 设 BC=DC=CF=a. 在BCD中，BC=CD，120DCB 30BDCDBC ，2 cos303BDaa . 在Rt GCB中， 3 tan30 3 GCBCa ， 2 3 2 3 BGCGa； 在BDF中， 2 3 2

21、 2 3 2 33 a GEBG GEaa DFBDa . 在Rt GCE中， 3 6 3 sin 42 2 3 a CG CEG GE a . 故直线 DF 与平面 BFC 所成的角的正弦值 6 4 . 方法二：空间向量（略） （）方法一：找平面角 由（）知，CG平面 FCB，过点 C 作 CHBF 交 BF 于点 H， 连接 GH，显然 H 是 BF 的中点. CHBF，GHBF. 即CHG为二面角DBFC的平面角. 在Rt FCB中， 2 2 BCCFaCHa； 在Rt GCB中， 3 3 GCa； 在Rt GCH中， 22 22 3230 326 GHGCCHaaa ； 2 15 2 cos 530 6 a CH CHG GH a . 即二面角DBFC的平面角的余弦值 15 5 . 方法二：空间向量（略） 23.解：解： （） （1，1，1，1） ， （1，1，2） ， （1，3） ， （2，2） ， （4）. （）由题意，知 12 2 k aaan，且 12k aaan， 得 12 +2 k naaak，即 2 n k . 当n是偶数时，k的最大值是 2 n （此时， 2 2,2,2 k共有 个 是n的一个“正整数分拆”） ； 当n是奇数时，k的最大值是 1 2 n （此时， 12 2,2,2,3 k共有个 是n的一个“正整数分拆）.