阿氏圆问题归纳.docx
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- 阿氏圆 问题 归纳
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1、 1 阿氏圆题型的解题方法和技巧阿氏圆题型的解题方法和技巧 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现, 对于此类问 题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下: 阿氏圆定理(全称:阿波罗尼斯圆定理),具体的描述:一动点 P 到两定点 A、B 的距离 之比等于定比 n m (1),则 P 点的轨迹,是以定比 n m 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连 线为直径的圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简 称阿氏圆 定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB,(k1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+
2、kPB,(kPA+kPB,(k1)P1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法阿氏圆基本解法:构造母子三角形相似母子三角形相似 【问题】在平面直角坐标系 xOy 中,在 x 轴、y 轴分别有点 C(m,0),D(0,n).点 P 是平面 内一动点,且 OP=r,求 PC+kPD 的最小值. 阿氏圆一般解题步骤:阿氏圆一般解题步骤: 第一步:确定动点的运动轨迹(圆),以点 O 为圆心、r 为半径画圆;(若圆已经画出则可省 略这一步) 第二步: 连接动点至圆心 O(将系数不为 1 的线段的固定端点与圆心相连接), 即连接 OP、 OD; 第三步:计算出所连接的
3、这两条线段 OP、OD 长度; 第四步:计算这两条线段长度的比 k; 第五步:在 OD 上取点 M,使得 OM:OP=OP:OD=k; 第六步:连接 CM,与圆 O 交点即为点 P此时 CM 即所求的最小值. 【补充:【补充:若能直接构造相似计算的,直接计算,不能直接构造相似计算的,先把 k 提到 括号外边,将其中一条线段的系数化成 k 1 ,再构造相似进行计算】 2 习题习题 【旋转隐圆旋转隐圆】如图,在 RtABC 中,ACB=90,D 为 AC 的中点,M 为 BD 的中点,将线段 AD 绕 A 点任意旋转(旋转过程中始终保持点 M 为 BD 的中点),若 AC=4,BC=3,那么在旋转
4、 过程中,线段 CM 长度的取值范围是_. 1.RtABC 中,ACB=90,AC=4,BC=3,点 D 为ABC 内一动点,满足 CD=2,则 AD+ 3 2 BD 的最小值为_. 2.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,锐角大小为 60,A 与 BC 相切于点 E,在A 上任取一 点 P,则 PB+ 2 3 PD 的最小值为_. 3.如图,已知菱形 ABCD 的边长为 4,B=60, 圆 B 的半径为 2, P 为圆 B 上一动点, 则 PD+ 2 1 PC 的最小值为_. 4.如图,点 A,B 在O 上,OA=OB=12,OAOB,点 C 是 OA 的中点,点 D 在 OB 上,OD=1
5、0.动 点 P 在O 上,则 PC+ 2 1 PD 的最小值为_. 5.如图,等边ABC 的边长为 6,内切圆记为O,P 是圆上动点,求 2PB+PC 的最小值. 6.如图,边长为 4 的正方形,内切圆记为O,P 是圆上的动点,求2PA+PB 的最小值. 7.如图,边长为 4 的正方形,点 P 是正方形内部任意一点,且 BP=2,则 PD+ 2 1 PC 的最小值 为_;2PD+4PC 的最小值为_. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P 是AOB 外部的第一 象限内一动点,且BPA=135,则 2PD+PC 的最小值是_. 3 9.在A
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