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类型阿氏圆问题归纳.docx

  • 上传人(卖家):四川天地人教育
  • 文档编号:599808
  • 上传时间:2020-06-25
  • 格式:DOCX
  • 页数:6
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    关 键  词:
    阿氏圆 问题 归纳
    资源描述:

    1、 1 阿氏圆题型的解题方法和技巧阿氏圆题型的解题方法和技巧 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现, 对于此类问 题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下: 阿氏圆定理(全称:阿波罗尼斯圆定理),具体的描述:一动点 P 到两定点 A、B 的距离 之比等于定比 n m (1),则 P 点的轨迹,是以定比 n m 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连 线为直径的圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简 称阿氏圆 定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB,(k1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+

    2、kPB,(kPA+kPB,(k1)P1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法阿氏圆基本解法:构造母子三角形相似母子三角形相似 【问题】在平面直角坐标系 xOy 中,在 x 轴、y 轴分别有点 C(m,0),D(0,n).点 P 是平面 内一动点,且 OP=r,求 PC+kPD 的最小值. 阿氏圆一般解题步骤:阿氏圆一般解题步骤: 第一步:确定动点的运动轨迹(圆),以点 O 为圆心、r 为半径画圆;(若圆已经画出则可省 略这一步) 第二步: 连接动点至圆心 O(将系数不为 1 的线段的固定端点与圆心相连接), 即连接 OP、 OD; 第三步:计算出所连接的

    3、这两条线段 OP、OD 长度; 第四步:计算这两条线段长度的比 k; 第五步:在 OD 上取点 M,使得 OM:OP=OP:OD=k; 第六步:连接 CM,与圆 O 交点即为点 P此时 CM 即所求的最小值. 【补充:【补充:若能直接构造相似计算的,直接计算,不能直接构造相似计算的,先把 k 提到 括号外边,将其中一条线段的系数化成 k 1 ,再构造相似进行计算】 2 习题习题 【旋转隐圆旋转隐圆】如图,在 RtABC 中,ACB=90,D 为 AC 的中点,M 为 BD 的中点,将线段 AD 绕 A 点任意旋转(旋转过程中始终保持点 M 为 BD 的中点),若 AC=4,BC=3,那么在旋转

    4、 过程中,线段 CM 长度的取值范围是_. 1.RtABC 中,ACB=90,AC=4,BC=3,点 D 为ABC 内一动点,满足 CD=2,则 AD+ 3 2 BD 的最小值为_. 2.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,锐角大小为 60,A 与 BC 相切于点 E,在A 上任取一 点 P,则 PB+ 2 3 PD 的最小值为_. 3.如图,已知菱形 ABCD 的边长为 4,B=60, 圆 B 的半径为 2, P 为圆 B 上一动点, 则 PD+ 2 1 PC 的最小值为_. 4.如图,点 A,B 在O 上,OA=OB=12,OAOB,点 C 是 OA 的中点,点 D 在 OB 上,OD=1

    5、0.动 点 P 在O 上,则 PC+ 2 1 PD 的最小值为_. 5.如图,等边ABC 的边长为 6,内切圆记为O,P 是圆上动点,求 2PB+PC 的最小值. 6.如图,边长为 4 的正方形,内切圆记为O,P 是圆上的动点,求2PA+PB 的最小值. 7.如图,边长为 4 的正方形,点 P 是正方形内部任意一点,且 BP=2,则 PD+ 2 1 PC 的最小值 为_;2PD+4PC 的最小值为_. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P 是AOB 外部的第一 象限内一动点,且BPA=135,则 2PD+PC 的最小值是_. 3 9.在A

    6、BC 中,AB=9,BC=8,ABC=60,A 的半径为 6,P 是A 上的动点,连接 PB、PC, 则 3PC+2PB 的最小值为_. 10.如图,在 RtABC 中,A=30,AC=8,以 C 为圆心,4 为半径作C (1)试判断C 与 AB 的位置关系,并说明理由; (2)点 F 是C 上一动点,点 D 在 AC 上且 CD=2,试说明FCDACF; (3)点 E 是 AB 上任意一点,在(2)的情况下,试求出 EF+ 2 1 FA 的最小值. 11.(1)如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 4,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个动点, 求 PD+ 2 1 PC 的最

    7、小值和 PD- 2 1 PC 的最大值; (2)如图 2,已知正方形 ABCD 的边长为 9,圆 B 的半径为 6,点 P 是圆 B 上的一个动点,那 么 PD+ 3 2 PC 的最小值为_,PD- 3 2 PC 的最大值为_ (3)如图 3,已知菱形 ABCD 的边长为 4,B=60,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个 动点,那么 PD+ 2 1 PC 的最小值为_,PD- 2 1 PC 的最大值为_. 4 12.问题提出:如图 1,在 RtABC 中,ACB=90,CB=4,CA=6,C 半径为 2,P 为圆上 一动点,连结 AP、BP,求 AP+ 2 1 BP 的最小值 (

    8、1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图 2,连接 CP,在 CB 上取点 D,使 CD=1,则有 2 1 CB CP CP CD ,又PCD=BCP,PCDBCP 2 1 BP PD , PD= 2 1 BP,AP+ 2 1 BP=AP+PD 请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+ 2 1 BP 的最小值为_ (2)自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下, 3 1 AP+BP 的最小值为_ (3)拓展延伸:已知扇形 COD 中,COD=90,OC=6,OA=3,OB=5,点 P 是弧 CD 上一点,求 2PA+PB 的最小值. 【二次函数结合阿氏圆题型二次函数结合阿

    9、氏圆题型】 13.如图 1,抛物线 y=ax+(a+3)x+3(a0)与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 B,在 x 轴上有一动点 E(m,0)(0m4),过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N,交抛物线 于点 P,过点 P 作 PMAB 于点 M (1)求 a 的值和直线 AB 的函数表达式; (2)设PMN 的周长为 C1,AEN 的周长为 C2,若 5 6 2 1 C C ,求 m 的值; (3)如图 2,在(2)条件下,将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE,旋转角为(0 90),连接 EA、EB,求 EA+ 3 2 EB 的最小值 5 问题背景问题背景:

    10、如图 1,在ABC 中,BC=4,AB=2AC 问题初探问题初探:请写出任意一对满足条件的 AB 与 AC 的值:AB=_,AC=_ 问题再探问题再探:如图 2,在 AC 右侧作CAD=B,交 BC 的延长线于点 D,求 CD 的长 问题解决问题解决:求ABC 的面积的最大值 6 1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动 类比定义:类比等腰三角形给出如下定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形 探索理解:探索理解: (1)如图 1,已知 A、B、C 在格点(小正方形的顶点)上,请你协助小明用两种不同的方法 画出格点 D,连接 DA、DC,使四边形 ABCD 为邻等四边形; 尝试体验尝试体验

    11、: (2)如图 2,邻等四边形 ABCD 中,AD=CD,ABC=120,ADC=60,AB=2,BC=1,求四边 形 ABCD 的面积 解决应用解决应用: (3)如图 3,邻等四边形 ABCD 中,AD=CD,ABC=75,ADC=60,BD=4 小明爸爸所在的工厂,需要裁取某种四边形的材料板,这个材料板的形状恰巧是符合如图 3 条件的邻等四边形,要求尽可能节约你能求出这种四边形面积的最小值吗?如果能,请求 出此时四边形 ABCD 面积的最小值;如果不能,请说明理由 2.我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” (1)如图 1,在四边形 ABCD 中,添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”请写 出你添加的一个条件 (2)如图 2,等邻边四边形 ABCD 中,AB=AD,BAD+BCD=90,AC、BD 为对角线,AC=2 AB,试探究 BC,BD 的数量关系 (3)如图 3, 等邻边四边形 ABCD 中, AB=AD, AC=2, BAD=2BCD=60, 求等邻边四边形 ABCD 面积的最小值.

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