四川省自贡市富顺县赵化中学2015-2016上学期九年级数学《圆》单元专题复习资料（Word版.无答案）.doc

1、 九数上期圆单元专题复习、 、 第 1 页（共 12 页） 第 2 页 （共 12 页） 九年级数学上期圆单元专题复习资料 圆的基本性质部分圆的基本性质部分 知识点：知识点： 1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；五个条件“二推三”: .过圆心；.垂直于弦；.平分弦；.平分弦所对的劣弧；.平分弦所对的优弧. 2.“等对等”定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中 有一组量相等，那么其余各组量相等. 3.圆周角定理：.一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角得一半；.在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等；.半圆或直径所对的圆周角是

2、直角；90的圆周角所对的弦是 圆的直径. 4.4.其它：其它： .同圆或等圆的半径相等；.在同一个圆中，直径是半径的 2 倍；.圆的内接四边形的对角 互补，外角等于内对角. 例题解析及课堂练习：例题解析及课堂练习： 例例 1.如图，P是O的直径AB延长线的一点，PD交O于 点C,若PCCD2 3,P30,求O的直径？ 例例 2.2.如图，已知OAOB、是O的半径，C为ACB的中 点，MN、分别为OAOB、的中点. 求证：MCNC 例例 3.3.如图，C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B,点A 的坐标为, 0 2， D为C在第一象限内的一点,且ODB60 o . 解答下列各题： .求C的半径

3、； .求B点坐标及圆心C的坐标 例例 4.4.如图，O的直径AB长为6,弦AC长为2，ACB的平分线交O于点D.求四边形 ADBC的面积？ 追踪练习：追踪练习： 1.下列说法正确的是 （ ） A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴 C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 2. 如图，O的直径为10cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP 不可能为 （ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 3.如图，AB为O的直径，CD、分别为OAOB、的半径，C为AB的中 点，,CFAB DEAB,下列结论： .CFDE;.AFFEEB;.AE2

4、CF;.四边形CDEF为正方形. 其中正确的是 （ ） A. B. C. D. 4.如图所示，在O中，ABAC,A30 ,B= （ ） A.150 B.75 C.60 D.15 5. 如图所示，ABC内接于O，ODBC于D,A50 ,则OCD 的度数为 （ ） A.40 B.45 C.50 D.60 6.如图，ABCD、 、 、四个点均在O上，AOD70,AODC,则B 的度数为 （ ） A.40 B.45 C.50 D.55 7.在ABC中，C90AB10AC8，,以AC为直径的圆交斜边AB于P，则BP = . 8.在O中，AB2CD,那么弦AB2CD（填或或）. 9.O的半径径5cm，弦A

5、BCD，,AB6cm CD8cm，则 AB与CD间的距离为 . 10.如图，点D在以AC为直径的O上，若CDB40,则ACB = . 11.如图，在O中，半径OAOB,CD、为弧AB的三 等分点，AB分别交OCOD、于点EF、，则下列结论： .AOC30;.CEDF;.AEO105;.ACCDBD. 其中正确的结论是 （填序号）. O ABP x y B C A O D NM B O C A E F D CO A B BC O A DBC O A C A O D B B A O D C F E D C A O B D C O AB B C A D P O 九数上期圆单元专题复习、 、 第 3

6、页（共 12 页） 第 4 页 （共 12 页） 12.12. 如图，AB是O 的直径，ODAC于点D,BC6cm，则OD 的长度为 . 13.如图， ABCD是O的内接矩形，边ABy轴，且 :AB BC3 4;已知O的半径为5，圆心的坐标为,10 10， 矩形ABCD、 、 、的四个顶点的坐标分别是 、 、 、 . 14.如图,O的直径AB和弦CD相交于点E,且,AE1cm,BE5cmDEB60求DC的长? 15.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB160cm，则油 的最大深度为多少？ 16.如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30,点B为劣弧

7、AN的中 点P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为多少？ 17.如图，已知在O中，ABCD,BADC、延长后相交于点E. 求证：.OE平分BED;.EAEC. 18. 如图，在ABC中，ABAC,以A为圆心，小于AB的长的线段 为半径作圆交BC于DE、两点（但半径必须大于BC边上的高）. 求证：BDEC 19. 如图，在O中，已知ACBD.求证：.OCOD;.AEBF. 20.如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作 圆，交ADBC、于EF、，延长BA交A于G. 求证：GEEF 21.如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E.连接 ACOCBC、. .求证

8、：ACOBCD ; .若,EB8cm CD24cm，求O的直径 22.22.如图，AB为O的直径，C为O上的一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D,AD 交O于点E. .求证：AC平分DAB; .若B60CD2 3 o， ,求AE的长. 23.如图，O的半径为2，AOB60,M为AB的中点，MCAO 于C,MDOB于D.求CD的长. 24.如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为 60 米，拱桥高为 18 米，当洪水泛滥到水面跨度只有 30 米时，就要采取紧急措施；若拱顶离水面只有 4 米，即 PN=4 米时，是否需要采取紧急措施？ D C E O A B 160 200 BA O 30 B A

9、O MN P ED BC A C A D E O B D C E O A B D E A B C DC F O AB E x y D C A B O E D C O A B E C A G B F D DC AB O M N M B B P O A A 九数上期圆单元专题复习、 、 第 5 页（共 12 页） 第 6 页 （共 12 页） 九年级数学上期圆单元专题复习资料 点和圆、直线与圆有关的位置部分点和圆、直线与圆有关的位置部分 知识点：知识点： 1.1.点与圆的三种位置关系：.点在圆外；.点在圆外；.点在圆外. 2.2.直线与圆的三种位置关系：.相离；.相切；相交. 3 3.切线的性质：

10、连结切点与圆心的半径垂直于切线；切线性质的常用方法：见切点，连半径，见切点，连半径， 得垂直得垂直. . 4.4.切线的判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线的证明方法：.连半连半 径，证垂直，得切线径，证垂直，得切线. . .作垂线，证相等，得切线作垂线，证相等，得切线. . 5.5.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，且圆心和这点连线平分两条 切线的夹角. 6.6. .三角形的外接圆及外心，三角形外接圆的作法及性质； . .三角形的内切圆及内心，三角形内切圆的作法及性质. 7.7.其它：其它： . .反证法的三个步骤. . .拓展研究部分拓展研究部分

11、.圆的的外切四边形的两组对边的和相等. .弦切角，弦切角等于所夹弧所对的圆周角. .圆与圆的五种位置关系：.外离；.外切；.相交；.内切；.内含. .公切线:外公切线、内公切线；公切线长. 例题解析及课堂练习：例题解析及课堂练习： 例例 1.如图，在ABC中，ACB90AB10BC8CDAB，于点D,O为AB的中点. .以C为圆心，6为半径作圆，试判断ADB、 、与C的圆上； .C的半径为多少时，点O在C上； .C的半径为多少时，点D在C上. 例例 2.2. 已知：MAN30,O为边AN上的一点， 以O为圆心，2为半径作O， 交AN于DE、 两点，设ADx. .如图，当x取何值时，O与AM相切

12、？ .如图，当x取何值时，O与AM相交于BC、两点，且BOC90. 例例 3.3.如图在 RtABC中，C90,以AC为直径作，交AB于D,过O作OEAB,交BC于 E. .求证:ED是O的切线； .如果O的半径为 3 2 ,ED2,求AB的长? .在的条件下，延长EO交O 于F，连接DFAF、，求ADF的面积？ 例例 4.如图，RtABC中,AC4 BC3,D是ABC的内切 圆，EFG、 、是切点，求ABC的内切圆D的半径r. 例例 5.如图，点I是ABC的内心，AI的延长线交BC于 点D,交ABC的外接圆于点E.求证：IEBE; 追踪练习：追踪练习： 1. 半径为5的O圆心坐标为 ,0 0

13、 ，点P的坐标为, 4 2，则O与点P的位置关系是（ ） A.点P在O内 B.点P在O上 C.点P在O外 D.点P在O内或O外 2.下列命题中，正确的命题的个数是 （ ） .经过已知三点可以作一个圆；.三角形的外心一定在三角形内部；.等腰三角形的外心必 在底边的中心所在的直线上；.矩形一定有外接圆，圆心是对角线交点；.直角三角形的外 心是斜边的中点. A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知：点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直 线l的距离均为2，则半径r的取值范围是 A.r1 B.r2 C.2x3 D.1x5 4.如图，B的半径为4cm，MBN60,点

14、AC、分别是射线BMBN、上的 动点，且直线ACBN,当AC平移到与B相切时，AB的长度是 （ ） A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm 5.如图，ABAC、是O的两条弦，BAC25,过点C的切线与OB相切 于点D,则D的度数为 （ ） A.25 B.30 C.35 D.40 6.如图，CD是O的直径，弦ABCD于点G,直线EF与O相切于点D，则下列结论不一 定正确的是 （ ） O D A C B ED M A N O C ED B M A N O D E O C A B E G F D B C A D E I B C A A B M NC D C O B A 九数上期圆单元专题复习

15、、 、 第 7 页（共 12 页） 第 8 页 （共 12 页） A.AGBG B.ABEF C.ADBC D.ABCADC 7.如图，从O外一点引O的两条切线PAPB、，切点分别为 AB、，如果APB60,那么弦AB的长是 （ ） A.4 B.8 C.4 3 D.8 3 8.等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R,高为h，则:r R h的值为 （ ） A.:1 2 3 B.:13 2 C.: :2 1 3 D.:123 9.已知命题“两条直线相交只有一个交点” ，用反证法证明的第一步是 . 10.已知 RtABC的斜边,AB8cmAC4cm.以点C为圆心作圆，当半径R= 时，AD 与O相

16、切. . RtABC中，C90BC3AC4CDAB，于D,以C为圆心，以 5 2 为半径的圆 于AB的位置关系是 . 11.已知一个直角三角形的面积为 2 12cm，周长为12 2cm，那么这个直角三角形外接圆的半 径是 cm，内切圆半径是 cm. .等边ABC的边长为10cm， 则它的外接圆的半径是 cm， 内切圆半径是 cm. 12. ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC2 3cm，则A = . 13. 已知I是ABC的内心， ，DE经过I而分别交ABAC、于DE、，且 DEBC；若A，,ABm ACn，则BIC = , ADE的 周长为 . .O为ABC的内切圆,分别切ABC的A

17、BBCAC、的边于点DEF、 、； 若A 6 7 , 则DEF = . 14.如图, PAPBDE、分别切O于ABC、 、点，若O的半径为 6， OP10,则PDE的周长为 . .PAPB、是O外一点P的两条切线，AB、为切点，APB80, 点C是O上不同于AB、的任意一点，则ACB的度数为 . .小刚用一种简易方法测量圆形铁环的半径：先将圆形铁环平放 在桌面上，用一个锐角为 30的三角板和一把刻度尺，按照如图所示 的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径；若测得PA5cm，则 铁环的半径是 . 15. 如图，直线CD与O相切于点，若APD60,则B= . 16.相交两圆的公共弦长为16cm，

18、两圆的半径分别是17cm与10cm， 则两圆的圆心距长为 . 17.如图，某城市公园的雕塑是由 3 个直径为1cm的圆两两相垒立在水平的地 面上，则雕塑的最高点到地面的距离是= . 18.如图， 1 O和 2 O外切于C,直线m同时与 1 O、 2 O相切，切 点分别为AB、，若 1 O和 2 O的半径分别为9cm 4cm、，则线段AB 的长为 . 19. 如图，OA和是O的半径，并且OAOB,P是OA上的任一点，BP的延长线交O于点 Q，过点Q的O的直线交OA延长线于点R,且RPRQ. .求证：直线QR是O的切线； .若OPPA1,试求RQ的长？ 20.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO

19、的面积为15,OA比OC大2,点E为BC的中点， 以OE为直径的O交x轴于点D,过D作DFEA.交AE于点F. .求OAOC、的长及点O的坐标； .求证：DF为O的切线； 、小明在解答本题时，发现AOE是等腰三角形，由此 他断定： “直线BC上一定存在除点E外的点P,使AOP 也是等腰三角形，且点P一定在O外” ； 你同意他的 看法吗？请说明理由. 21.如图， O是ABC的外接圆， 且ABAC,点D在BC上运动， 过点D作DEBC,DE交 AB的延长线于点E,连接ADBD、. .求证:ADBE; .当点D运动到什么位置时，DE是O的切线？请说明理由. .当AB5BC6，时，求O的半径? 22

20、.如图，在梯形ABCD中,ABCD,O为内切圆，E为切点. .求AOD的度数; .若,AO8cm DG6cm，求OE的长. 九年级数学上期圆单元专题复习资料 G B O C D A EF P B A O E D I B C A E D B A OP C AP O A O PCD B m B C O1O2 A R Q PA B O x y F D O EB A C O E C A O B D B C E O D A 九数上期圆单元专题复习、 、 第 9 页（共 12 页） 第 10 页 （共 12 页） 与圆有关的计算部分与圆有关的计算部分 知识点：知识点： 1.1. 圆的相关性质以及点和圆、直

21、线和圆的位置关系等相关知识点（见前面）圆的相关性质以及点和圆、直线和圆的位置关系等相关知识点（见前面） 2.2.正多边形和圆正多边形和圆 .正多边形的定义； .利用圆得到正多边形； .相关概念：.正多边形的中心；.正多边形的半径；.正多边形 的中心角；.正多边形的边心距；. . .与正多边形的相关计算通常化归在一个与正多边形的边、边心距所在线 段和半径的直角三角形中来解决（见图示）.归纳边长、半径、边心距、周 长和面积的计算方法； .拓展部分：拓展部分：正多边形的内切圆与外接圆是同心圆；正多边形的外角等于中心角. 3.3.弧长和扇形的计算：弧长和扇形的计算： .弧长的计算公式: 180 n r

22、 l p = o ; .扇形的面积公式： 2 360 n Srp=? o 或 1 2 Slr=； .圆柱的侧面积：2Sr hp=? 圆柱的全面积： 2 22Sr hrpp=? 全全 ； .圆锥的侧面积：Srmp= 圆锥的全面积： 2 ()Srmrr mrppp=+=+ 全全 注：注：m为母线长。 .求不规则阴影部分的常用技巧：.旋转、平移、翻折；.割补转化；.作差法：叠合剖 析、S阴影=S整体-S空白；.整体代换法；.基本图切割法；.等积变换；. 专题一：与圆有关计算的基本题型例析专题一：与圆有关计算的基本题型例析 例例 1.1.如图，四边形ABCD和六边形AEFCGH都是O的内接正多边形 .

23、求1(即HAD)的度数； .若正方形ABCD的边长为4，试求正六边形AEFCGH的周长和面积. 分析：分析：对于问可以先求出两个正多边形的内角的度数，然后利用角的和差关系来解决；对于 问可以问题化归在三角形来解决； 如图连接ODOHOA、后利用AOD和AOH的特殊性 和它们的联系点来解决.圆与正多边形的相关计算通常化归在三角形来解决圆与正多边形的相关计算通常化归在三角形来解决. 练习：练习： 如图，PQR是O的内接正三角形,四边形ABCD是O 的内接正方形,BCQR,则AOR = . 例例 2.2.如图，RtABC的斜边AB35AC21，,点O在AB边上， OB20,一个以O为圆心的圆分别切两

24、直角边于DE、，求DE的长度？ 分析：分析： “遇切点，连半径，得垂直”“遇切点，连半径，得垂直”.当连接 OE、OD 后（见分析图） ，根据 切线和切线长的性质，容易得出四边形 OECD 是正方形以及圆心角EOD=90 的结论，此时根据弧长公式要求DE只缺半径的条件，利用勾股定理在 RtACB中求出BC28情况下利用勾股定理可以获得解决.在下期还 可以利用相似的相关知识来计算. 练习：练习： 1、求出例 1 中的DE的长度. 2.实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧 所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为 . 3.3. RABC中，BAC90BC6，,点D为BC的中点

25、，将 ABD绕点A按逆时针方向旋转 120得到AB D,则点D 在旋转过程中所经过的路程是多少？（结果保留） 例例 3.3.如图，RtABC中,C90A30,点 O 在斜边AB上，半径 为2，O过点B切AC于D,交BC边于点EE，则由线段CDEC、 及DE围成的阴影部分的面积为 . 分析：分析：由于阴影部分是一个“不规则”的图形，我们可以考虑用“割补法”“割补法” 转化在规则的图形来解决.如果连接OEOD、（见分析图） ， “不规则”阴影 是直角梯形 EOBC 的一部分. 练习：练习： 1.上面例 2 分析图红色数字标示的线段的长度是怎样求出？计算 CD、EC 及DE围成的阴影部分 的面积？

26、2.已知直角扇形AOB的半径OA2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M， 过M引MPAO交AB于P,求AB与半圆弧及MP围成的阴影部分的面积？ 例例 4.4.如图，有一直径是2米的圆形铁皮围成一个圆锥，要从 该圆铁皮中剪出圆心角是 90的最大扇形ABC,求： .被剪掉的阴影部分的面积? .用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面积的半径是多 少？圆锥的高又是多少？（结果可用根号表示） .求圆锥的全面积？ 分析：分析： O A M Q P B x 28x 20 分析图 4 2 1 2 2 分析图 分析图 Rn rn M A1An O F 1 H G E O D A BC Q R P O D A

27、BC A B C D B D 九数上期圆单元专题复习、 、 第 11 页（共 12 页） 第 12 页 （共 12 页） .要求阴影部分的面积，关键是求出扇形 BAC 的面积，涉及到的的半径在 RtBAC中利用勾股定理. S阴影=S圆 - S扇形 BAC . .由于圆锥的侧面展开图就是一个扇形，而圆锥底圆的周长就是扇形的 弧长，通过圆周长公式可以求出圆锥底圆的半径；圆锥的高可以化在如分 析图所示的RtAOC来求. . 圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底圆的面积之和. 练习练习: : 1.计算出例 3 中三个问中的结果. 2.圆锥的底面直径AB2,母线PA4,试求从点A出发沿圆锥表面到母线 PB的最

28、短距离？ 3.如图，ABCD 是围墙，一根 5 米长的绳子，一端栓在围墙一角 的柱子上，另一端栓一只羊. .请在图中画出羊活动的区域; .求出羊活动区域的面积？ 专题二：求含圆图形中不规则阴影部分面积的专题二：求含圆图形中不规则阴影部分面积的几个技巧几个技巧 一、旋转、翻折为特殊图形：一、旋转、翻折为特殊图形： 图图的第一个图是直角扇形 OAB 和直角扇形 OCD 搭建的，其中 OA=9，OB=4，要求阴影部分的 面积，可以将ODB 旋转旋转至OAC 来求扇环 BDCA 的面积更简便（见图图的第二个图）. 图图的第一个图中是直角扇形 OAB 和正方形 OFED 以及矩形 OACD，其中 OF=

29、1，要求阴影部分 的面积，可以将半弓形 ODB 沿正方形对角线翻折翻折至 EFA 来求矩形 ACEF 的面积更简便（见图图的 第二个图） 二、平移到特殊位置：二、平移到特殊位置： 图图的第一个图大圆O 的弦 AB 长为 32cm，并与小圆O相切，要求阴影部分的面积可以将 小圆O向右平移平移至大圆O 使圆心重合（见图图的第二个图） ，这样来求圆环的面积更容易； 图图虽然是半圆也可以采用相同的方法求阴影部分半圆环的面积. 三、割补转化为一个整体：三、割补转化为一个整体： 如图第一个图是以等腰 RtAOB 的直角顶点 O 为圆心画出的直角扇形 OAB 和以 OA、OB 为直径 画出的两个半圆组成的图

30、形，要求第一个图形阴影，可以按如图所示路径割补成一个弓形（见 第二个图中的标示） 更容易求出阴影图形的面积； 如果 OA=10， 求出第一个图形阴影部分的面积？ 略解：略解： S阴影阴影 = = 2 B0A 11 SS AOB1010102550 42 扇形 点评：点评：割补就是要就是要涉及求问的分散的、不规则的图形转化到一个“规则”的整体图形来 解决. 割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用. 四、作差法求叠合图中形的阴影四、作差法求叠合图中形的阴影 例例 1.1.图图是教材 114 页的第 3 题， 可以用四个半圆的面积之和减去正方形 的面积得到阴影部分的面积； 例例 2.2.图（图（自

31、贡市中考题）ABC 中，AB=BC=6，AC=10，分别以 AB，BC 为直 径作半圆，则图中阴影部分的面积为 略解：略解：ABC 的底边 AC 的高为： 2 2 10 6362511 2 ， =. 2 ABC 1161 S2SS2151195 11 2222 影 图中阴影部分的面积为95 11 . 点评：点评：本题的图形结构可以看成是三个图形叠合在一起（两个半圆和一个等腰三角形端点相接 的叠合） ，具有这种图形结构题其实并不是我们想象那么抽象艰深.比如：本题的阴影部分恰好 是两个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合后，两个半圆覆盖等腰三角形后多出来的部分； 那么下面的这个题就的计算也就不那么复杂了.举一反三， “难题”不难！举一反三， “难题”不难！ 练习：练习：见赵化中学 2015-2016 上学期圆单元训练卷的相应部分. A B P B A C 图图 A B O C D A O B C D 图图 图图 A B OO 图图 A B O C C 图图 O AB O O AB C C O B A A B O 图图 F O A B E C D B O A C E D F 羊羊120 4m 5m 6m A B C D