微积分D第一章课件.ppt

1、第一章第一章华中农业大学理学院2023-5-202 一、逻辑符号一、逻辑符号 (sign of logic)华中农业大学理学院 (neighbourhood).)(axaxaU2023-5-2030,.2121 innnanaaaaaa),.,2,1(ni 1：华中农业大学理学院nnnnnnnnbabcbacaba 1111.)2：（2023-5-204xxx sin ,3：4：xxxtan2 有有时,时,当当 华中农业大学理学院xxx sin ,xxxtan2 有有时,时,当当 2023-5-205华中农业大学理学院 注意：注意：是是任任意意的的又又是是给给定定的的。）（1。）（有关有关它与

2、它与找出来的,找出来的,是根据给定的是根据给定的N 22023-5-206 axnnlim数列极限定义：数列极限定义：.,0,0 axNnNn恒有恒有时,时,使使要记住，要记住，要理解。要理解。华中农业大学理学院2023-5-207、例例1 .1,1lim aann其中其中证明”语言；”语言；方法一：“方法一：“N 2023-5-208证明：证明：)1(11)1(.0,111nnnanbbabba由由二二项项不不等等式式推推得得则则令令naan11 1或或得证！得证！成立成立时，有时，有当当，取，取故故.11 ,111 nnaaNnaN2023-5-2093 3 数列极限的四则运算法则数列极限

3、的四则运算法则nnnnnnnyxyx limlim)lim1（）（则则都存在,都存在,定理若定理若nnnnyx lim,lim）（）（为常数为常数CxCxCyxyxnnnnnnnnnnn(lim)lim ;limlim)lim2 华中农业大学理学院2023-5-2010；（）（knnknnxx)lim()lim4 ）（nnknnknnxkxxlim ,limlim5要求要求为偶数时,为偶数时,华中农业大学理学院）；）；（）（nnnnnnnnnyyxyxlimlimlimlim32023-5-2011缺缺条条件件？；（）（nnnynnynnxx lim)lim()lim6；（）（nnnyynaa

4、 lim)lim7；（）（nnnynnynnxx lim)lim()lim6；（）（nnnyynaa lim)lim72023-5-2012的极限的极限例题：求以下三个数列例题：求以下三个数列);1.13(lim 1nnnnn、1 1lim 2aaannn，、);1(lim 3nnnn、特点：特点：型型”“型型”“0型型”“-02023-5-20134 4 性质性质 1 1）华中农业大学理学院3 3）两边夹法则）两边夹法则2023-5-2014、例例2.1,1lim aann其中其中证明.方法二：两边加法则方法二：两边加法则2023-5-20150)1cos1(,00,021.2121sin0

5、21sin21cos12nnnnnnnn由两边夹法则得：由两边夹法则得：时，时，故当故当证明：因为证明：因为11coslim nn故故利用两边夹法则证明：利用两边夹法则证明：、例例311coslimnn2023-5-2016是单调增加数列.是单调增加数列.nnnx)11()1(是是单单调调减减少少数数列列.1)11(2(）nnny 2 2）单调数列）单调数列华中农业大学理学院2023-5-2017。例：例：knnn)11(lim:求极限求极限nnnn)111(lim2求极限：求极限：例：例：3 3）单调有界定理单调有界定理 ennn )11(lim华中农业大学理学院2023-5-2018两边夹

6、法则及公式两边夹法则及公式数列极限运算法则数列极限运算法则、计算数列极限；借助、计算数列极限；借助、数列极限理解；、数列极限理解；第二节重点：第二节重点：微商微商 21 ennn )11(lim学学函函数数应应用用部部分分；请请提提前前预预习习第第三三节节。自自2023-5-2019和和两两边边夹夹法法则则的的证证明明。运运算算法法则则极极限限象象数数列列的的极极限限。如如数数列列、会会证证明明一一些些简简单单的的抽抽；、中中的的例例的的证证明明，如如课课本本、会会一一些些简简单单数数列列极极限限”语语言言应应用用要要求求：数数列列极极限限“1 2211-7PN.1 .-3.2.1-的的正正数

7、数是是远远远远小小于于都都是是默默认认故故一一般般情情况况距距离离可可以以任任意意小小指指、因因为为确确定定的的而而找找到到的的，但但不不是是唯唯一一的的任任意意给给定定的的求求解解是是随随着着，以以及及正正数数任任意意给给定定、请请理理解解无无限限逼逼近近时时，数数列列无无限限增增大大、当当自自变变量量”语语言言数数列列极极限限“aaaaNaanNnnn2023-5-2020ennn )11(lim）（其中（其中.1,0,1lim 1aaann：记记住住以以下下三三个个数数列列极极限限1）2）3）.1lim 1nnn2023-5-20210,.12121innnanaaaaaa：nnnnnn

8、nnbabcbacaba 1111.)2：（xxxxtansin ,203：当：当式式：灵灵活活应应用用以以下下三三个个不不等等学学会会在在数数列列极极限限求求解解中中2023-5-2022 1,0 aaayx 指指数数函函数数axy 幂幂函函数数cscx,sec,cot ,tan,cos,sin xxxxxy 三角函数三角函数xarcxxxycot,arctan ,arccos,arcsin 反三角函数反三角函数)1,0(log aaxya 对对数数函函数数2023-5-2023)(是常数axyaoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 2023-5-2024)1,0(aaayxxay

9、 xay)1()1(a)1,0(xey 2023-5-2025)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(2023-5-2026正弦函数正弦函数xysin xysin 2023-5-2027xycos xycos 余弦函数余弦函数2023-5-2028正切函数正切函数xytan xytan 2023-5-2029xycot 余切函数余切函数xycot 2023-5-2030正割函数正割函数xysec xysec 2023-5-2031xycsc 余割函数余割函数xycsc 2023-5-2032xyarcsinxyarcsin 反反正正弦弦函函数数202

10、3-5-2033xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数2023-5-2034xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数2023-5-2035 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc2023-5-2036)12111(lim2)321(lim12221nnnnnnnnn ）（）（极限极限例：利用两边夹法则求例：利用两边夹法则求华中农业大学理学院2023-5-20370)12111(lim0lim1lim12111123)

11、321(lim 333lim3lim333213 333213 12222222222111 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn根根据据两两边边夹夹法法则则，）（根根据据两两边边夹夹法法则则，）解解：（华中农业大学理学院2023-5-2038 单调增加单调增加例：证明数列例：证明数列 nnnx11华中农业大学理学院 故故，证证：nnnnnnnxxnnnnnnx1111111111111112023-5-2039 单调增加单调增加例：证明数列例：证明数列 nnny11华中农业大学理学院 故故，证：证：nnnnnnnyynnnnnny11111111111111

12、12023-5-2040 单单调调减减少少例例：证证明明数数列列 111nnnz华中农业大学理学院 故故，即，即，由于由于，同理，同理证：证：nnnnnnnnnnnnnnnnzzzyyyyyyzynnnnnnz12121211111111111111111112023-5-2041(function)一、函数的概念一、函数的概念(function notation)二、函数的运算二、函数的运算(operate of function)三、函数的改变量三、函数的改变量(increment of function)四、复合函数四、复合函数 初等函数初等函数五、函数的基本性质五、函数的基本性质202

13、3-5-2042注意注意1.1.不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy2.2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2023-5-2043 一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外，例如但有个别分段函数例外，例如 0 ,0 ,xxxxy因为它可以改写为初等函数因为它可以改写为初等函数2xy 的形式的形式.2023-5-2044xxxexyln11 0,1 xxyx幂指函数幂

14、指函数是否为初等函数？是否为初等函数？它是由它是由uey 与与xxuln构成的复合函数构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数故该幂指函数是一个初等函数.例例4、2023-5-2045单调性单调性有界性有界性奇偶性奇偶性周期性周期性五、函数的基本性质五、函数的基本性质六、六、函数模型函数模型 指数增长模型指数增长模型 N(t)=N0ert tONN0 经济管理中的函数模型经济管理中的函数模型Opp0需求函数需求函数D(p)供给函数供给函数S(p)均衡价格均衡价格Oxx0C0成本函数成本函数C(x)收益函数收益函数R(x)保本点保本点 收益函数收益函数R(x)=xp(x)=pD(p)利润利润函

15、数函数P(x)=R(x)C(x)2023-5-2048的的极极限限时时函函数数一一、)(0 xfxx 三、函数极限的运算与性质三、函数极限的运算与性质二、函数的单侧极限二、函数的单侧极限四、无穷大量与垂直渐近线四、无穷大量与垂直渐近线五、第一个重要极限五、第一个重要极限2023-5-20493)12(lim1xx定义证明：定义证明：用用 证明：证明：要使要使,0 12223)12xxx（.21即可即可只要只要 x.2便可便可取取 ,0 所以，所以，时，有时，有，当，当 102x 3)12x（3)12(lim 1xx所以所以2023-5-2050在极限定义中：在极限定义中：1)与与 和和x0 有

16、关有关,即即 =(,x0).).一般一般说来说来,值越小值越小,相应的相应的 值也越小值也越小.2)不等式不等式|f(x)a|0,0,同时也要对同时也要对 x x0 以任何方式进行都成立以任何方式进行都成立.3)函数函数 f(x)以以 a 为极限为极限,但函数但函数 f(x)本本身身 可以不取其极限值可以不取其极限值 a.2023-5-2051 axfxx)(lim0axfxfxxxx )(lim)(lim00 利用|x x0|x x0 和极限的定义,即可证得.2023-5-2052 111211)(2xxxxxxf求求)(lim1xfx)(lim1xfxy=f(x)xOy1121在在 x=1

17、 处的左、右极限处的左、右极限.1lim21xx0)1(lim1xx解解2023-5-2053。求求设设)(lim ,1,11,1)(12xfxxxxxfx 2)1(lim)(lim 211xxfxx2)1(lim)(lim11xxfxx2)(lim 1xfx解解2023-5-2054 .|lim 0 xxx求求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx .|lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1)1(lim0 x解解2023-5-2055?lim?lim?lim?lim1010 xxxxxxxxeeee求求2023-5-2056

18、213lim121 xxxxx）求极限（求极限（华中农业大学理学院 3111211lim2xxxx）（131lim30 xxx）（2023-5-2057).0()(),0(,1)0()(lim20fxfUxfxfx有有证证明明，若若2023-5-2058，则，则，且，且）设）设（0)(lim0)(lim)()(lim1xfxgCxgxf，则，则，且，且）设）设（0)(lim0)(lim0)()(lim2xgxfCxgxf2023-5-205901 ba代代入入原原式式得得,1ab .011 xx时时，而而已已知知极极限限存存在在，0)(lim21 baxxx一一定定有有解解.,31lim21b

19、axbaxxx求求已已知知 2023-5-2060 1lim21xbaxxx11lim21 xaaxxx11)1(lim21 xxaxx1)1)(1(lim1 xaxxx)1(lim1axx a 11,32 a即即1 a.2 b2023-5-2061利用两边夹法则证明：利用两边夹法则证明：1coslim0 xx证明：证明：0cos-1lim1coslim00）（证明证明要证要证xxxxxcos-102sin22x22x2)2(2x因为因为02lim20 xx00lim0 x所以由两边夹法则得：所以由两边夹法则得：0cos-1lim0）（xx1coslim 0 xx即即2023-5-2062xx

20、x3sinlim10）（xxxtanlim20）（xxxarctanlim30）（求求极极限限20cos1lim4xxx）（2023-5-2063)sin12(lim6410 xxeexxx ）（30sintanlim5xxxx）（2023-5-2064第五节第五节 函数的连续性函数的连续性(contiunity of function)一、连续与间断的定义一、连续与间断的定义二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质2023-5-2065)内内任任一一点点连连续续.(在在区区间间函函数数证证明明 ,xysin),(x任取任取xxxysin)s

21、in()2cos(2sin2xxx ,1)2cos(xx.2sin2xy 则则,0时时当当,对对任任意意的的 a sin有有,2sin2xxy 故故.0,0 yx时时当当.sin)都是连续的)都是连续的(对任意对任意函数函数 ,xxy即即证证2023-5-2066.0,0,0,0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf2023-5-2067思思考考题题存存在在，有有定定义义，且且在在点点函函数数)(lim)()1(00 xfxxfxx是是否否连连续续？在在点点问问0)(xxf不不一一定定）()(lim)()2(00 xfxxfxx连连续续，极极限限在在点点函函数数是是否否

22、存存在在？是是）(2023-5-2068的的值值。求求上上处处处处连连续续函函数数在在aR，1,121,)(xaxxInxaxf2023-5-2069.1,1,11,10,1,2)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论xxxxxxxf2023-5-2070函数间断点的分类 函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它2023-5-2071一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间：指包含在定义域内的区间定义区间：指包含在定义域内的区间.基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.2023-5-20721.初等函数仅在其初等函数仅

23、在其定义区间定义区间内连续内连续,在其在其定定义域义域内不一定连续内不一定连续;)()()(lim000定义区间定义区间即：即：xxfxfxx 2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法-代入法代入法.注意注意2023-5-2073,)1(32 xxy函数函数及及1,0 xxxD 定义域为定义域为因为函数因为函数y 在在0点邻域内没有定义点邻域内没有定义.上上连连续续.在在区区间间所所以以函函数数),y12023-5-2074 连续性给极限运算连续性给极限运算带来很大方便带来很大方便.求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan)12ln

24、(12解2023-5-2075证明方程 x5 3x=1,在 x=1 与 x=2 之间令 f(x)=x5 3x 1,x1,2,则 f(x)C(1,2),又 f(1)=3,f(2)=25,f(1)f(2)0,即 方程在 x=1 与 x=2 之间至少有一根.故 至少存在一个(1,2),使得 f()=0,至少有一根.证2023-5-2076.)(),(.)(,)(,)(fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而,0 由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)()(fFbbfbF )()(,0.)(f即即2023-5-2077.)()()()(21nxfxfxffn设 f(x)C(a,b),证明:至少存在一点 （a,b）,使得a x1 x2 xn 1 时,xxyxx limlim00故 n 1时,函数在 x=0 处可导.其导数为 .00 xyxx1sinlim001sinlim10 xxnxxx1sinxxn1sin