常微分方程(王高雄)第三版-42教学文稿课件.ppt

1、4.2 常系数线性方程的解法常系数线性方程的解法 常微分方程常微分方程 Ordinary Differential Equations第四章第四章一、复值函数与复值解一、复值函数与复值解1 复值函数复值函数.)()()(,)()(复复值值函函数数上的为区间我们称上定义的实函数是区间与如果btatittzbtatt.)(,)()(连续连续上在则称上连续在区间与若btatzbtatt的导数为且上可微在则称上可微在与若)(,)(,)()(tzbtatzbtatt)()()(tittz复函数的求导法则与实函数求导法则相同复函数的求导法则与实函数求导法则相同2 复指数函数复指数函数)sin(cos)()

2、(titeeetzttikt欧拉公式欧拉公式:)(21costitieet)(21sintitieeit性质性质:定义定义,)1(ktktee,)2(2121)(tktktkkeee,)3(ktktkeedtd,)4(ktnktnnekedtd3 复值解复值解)1.4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn(1)定义定义如果的复值解称为方程上的实变量复值函数定义于区间,)1.4(),(tzbta)()()()()()(111tftztadttzdtadttzdnnnnn.恒成立对于bta)2.4(0)()(111xtadtxdtadtxdnnnnn(2)定理定理8.)2.4

3、()()()()()(,)()()(,),2,1)()2.4(的解也都是方程的共轭复数及和虚部的实部则解是方程的复值而都是实值函数的所有系数如果方程tztztttztittzxnitai(3)定理定理9若方程若方程)()()()(111tivtuxtadtxdtadtxdnnnnn()(),()(1,2,)(),(),()()ixU tiV ta t inu tv tU tV t有复值解这里及都是实值函数 则这个解的实部和虚部分别是方程)()()(111tuxtadtxdtadtxdnnnnn和和)()()(111tvxtadtxdtadtxdnnnnn的解的解.二、常系数齐线性方程和欧拉方程

4、二、常系数齐线性方程和欧拉方程1 常系数齐线性方程的求解方法常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法待定系数法)考虑方程考虑方程)19.4(0111xadtxdadtxdxLnnnnn,21为常数其中naaa称称(4.19)为为n阶常系数齐线性方程阶常系数齐线性方程.显然显然,一阶常系数齐线性方程一阶常系数齐线性方程0axdtdx有解有解,atcex对对(4.19)尝试求指数函数形式的解尝试求指数函数形式的解)20.4(,tex,这里 是待定常数 可以是实数也可以是复数。把它代入方程把它代入方程(4.19)得得0)(111tnnnnteaaaeL:)19.4(,的解的充要条件是为因此t

5、e是代数方程)21.4(,0)(111nnnnaaaF的根的根,方程方程(4.21)称为方程称为方程(4.19)的的特征方程特征方程,它的根为它的根为方程方程(4.19)的的特征根特征根.(1)特征根是单根的情形特征根是单根的情形个解有如下则相应方程等的特征根个彼此不相的是特征方程设nnn)19.4(,)21.4(,21)22.4(,21tttneee由于由于,21tttneeeWtnntntntntttttnnneeeeeeeee1121121212121tne)(211121121111nnnnntne)(21nijji1)(0故解组故解组(4.22)线性无关线性无关.,),2,1(均为实

6、数若nii.,21是任常数其中nccc,),2,1(中有复数若nii因方程的系数为实常数因方程的系数为实常数,复根将成对共轭出现复根将成对共轭出现,21也是特征根则是特征根设ii相应方程相应方程(4.19)有两个复值解有两个复值解,),sin(cos)(titeetti);sin(cos)(titeettitnttnececectx2121)(从而的基本解组是方程则,)19.4()22.4(的通解为)19.4(,cos tet;sintet(2)特征根是重根的情形特征根是重根的情形则有重根有设特征方程,)21.4(1k,0)()()(1)1(11kFFF;0)(1)(kF两种情形加以讨论和下面

7、分0011 由定理由定理8知知,它的实部和虚部也是方程的解它的实部和虚部也是方程的解,对方程对方程的一对共轭复根的一对共轭复根:,1i得得(4.19)的的两个实值两个实值解解为为0)(1设a,011knnnaaa;0kna式从而特征方程有如下形,011kknnnaa而对应方程而对应方程(4.19)变为变为0111kkknnnnndtxdadtxdadtxd;,112且它们是线性无关的个解显然它有ktttk;,1)19.4()21.4(:12ktttkk个线性无关的解的方程重零根对应着的特征方程从而可得因此则特征方程有因子,k0)(1设b经整理得并把它代入方程作变换),19.4(1tyexttn

8、nnnnteyLeybdtydbdtydyeL111)(1111于是方程于是方程(4.19)化为化为)23.4(,01111ybdtydbdtydyLnnnnn,21仍为常数其中nbbb方程方程(4.23)相应特征方程为相应特征方程为)24.4(,0)(111nnnnbbbG直接计算易得直接计算易得teF)(11)()(1teLtteeL11,)()(1teG因此因此)(1F),(G,)24.4()21.4(,1重零根的对应着重根的可见kk这样就把问题转化为前面讨论过的情形这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a).;,1)23.4()24.4(:12111ktttkk个线性无关的解的方程重零根

9、对应着的方程从前面的讨论得个解的因而对应着方程1)19.4(k)25.4(;,1111112tktttetettee的相应解为则方程而且依次为的重数的其它根假设方程类似地)19.4(),(,)21.4(,2122jinkkkkkjimmm;,2222212tktttetettee;,12tktttmmmmmetettee)26.4(下面我们证明下面我们证明(4.25)和和(4.26)构成方程构成方程(4.19)的基的基本解组本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可为此只须证明这些函数线性无关即可,对对特征方程有复根特征方程有复根的情况的情况:,ki如有 重复根,重复根也是则ki如同单根时那样如

10、同单根时那样,也可以也可以.2,2)19.4(个实值解换成个复值解的把方程kk;cos,cos,cos1tetttetetktt.sin,sin,sin1tetttetetktt(3)求方程求方程(4.19)通解的步骤通解的步骤第一步第一步:,)19.4(21k特征方程的特征根求第二步第二步:计算方程计算方程(4.19)相应的解相应的解;,)(tkkea方程有解对每一个实单根;,1)(个解方程有重实根对每一个mmbk;,12tmtttkkkketettee两个如下形式的解方程有轭复数对每一个重数是一的共,)(ic;sin,costetett个如下形式的解方程有的共轭复数对每一个重数是mimd2

11、,1)(;sin,sin,sin;cos,cos,cos11tetttetetetttetetmtttmtt第三步第三步:(),(),(),(),(4.19).abcd根据第二步中的情形 写出方程的基本解组及通解例例1.0432233的通解求方程xdtxddtxd例例2.044的通解求方程 xdtxd例例3.033223344的通解求方程dtdxdtxddtxddtxd例例4.022244的通解求方程xdtxddtxd2 欧拉欧拉(Euler)方程方程形如形如)29.4(,011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn的方程的方程,称为称为欧拉方程欧拉方程.,21为常数这里

12、naaa(1)引进变换引进变换)ln(xtextdxdydxdtdtdydtdy,dtdytex122dxyddxdydxddxdtdtdxdyd)(dtdyedtdttete2222221()(),d ydyd ydydtdtxdtdt由归纳法原理可知由归纳法原理可知kkdxyd11111,kkkkkkd ydydyxdtdtdt,21都是常数其中k将上述关系式代入将上述关系式代入(4.29)得常系数齐线性方程得常系数齐线性方程.)30.4(,0111ybdtydbdtydnnnnn.,21为常数其中nbbb)29.4(,011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn)l

13、n(xtext 因而可以用上述方法求出因而可以用上述方法求出(4.30)的通解的通解,再再代回原代回原来的变量来的变量就可得到方程就可得到方程(4.29)的通解的通解.例例5.0222ydxdyxdxydx求解方程解解作变换作变换0222ydtdydtyd把上式代入原方程得把上式代入原方程得故原方程的通解为故原方程的通解为:;)ln()(21xxccxy;,21为任常数这里cc)ln(xtext即则则,1dtdyxdxdy),(122222dtdydtydxdxyd上述方程的通解为上述方程的通解为:;)()(21tetccty注：注：从上述推演过程知从上述推演过程知(4.30),的解有形如kt

14、ey,)29.4(的解有形如从而kxy 因此可直接求欧拉方程的因此可直接求欧拉方程的,的解形如kxy,)29.4(的代数方程得到确定代入以kxyk)31.4()2()1()1()1(1nkkkankkk0na则(4.31)正好是(4.30)的特征方程,重的方程因此m)31.4(,;ln,ln,ln,120000 xxxxxxxmkkkk个解的对应于方程根mkk)29.4(,0;,12tmtttkkkketettee个实值解的对应于方程重复根的而方程mikm2)29.4(,)31.4();lncos(ln,),lncos(ln),lncos(1xxxxxxxxm);lnsin(ln,),lnsi

15、n(ln),lnsin(1xxxxxxxxm例例6.0222ydxdyxdxydx求解方程解解上面代数方程的根为上面代数方程的根为故方程的通解为故方程的通解为:;)ln()(21xxccxy;,21为任常数这里cc,代入方程设kxy 的代数方程得到确定k1)1(kkk2)1(k0121 kk例例7222350.d ydyxxydxdx求解方程 解解上面代数方程的根为上面代数方程的根为故方程的通解为故方程的通解为:);ln2sin()ln2cos(1)(21xcxcxxy;,21为任常数这里cc,代入方程设kxy 的代数方程得到确定k53)1(kkk522kk0,212,1ik三、常系数非齐线性

16、方程的解法三、常系数非齐线性方程的解法(一一)比较系数法比较系数法)32.4()(111tfxadtxdadtxdxLnnnnn1 类型类型I:110)32.4(mmmbtbtbxL即方程为,)(110mmmbtbtbtf.),2,1(为实常数其中mibi有形如因此方程次多项式右端是一个且方程仍为多项式一个多项式的各阶导数注意到)32.4(,)32.4(,m)33.4(,)(110mmmBtBtBtx.),2,1(,为待定常数特解miBi110)32.4(mmmbtbtbxL,)32.4()(比较两端同次幂的系数代入把tx应满足的方程得mBBB,1000baBn1101bamBaBnnmnmb

17、aB)34.4(因此方程有形如(4.33)的解.,)34.4(),2,1(逐个确定下来唯一地可从方程这些待定常数miBi,)32.4(0)2(重特征根时相应齐次方程的是方程当k即即(1)(0)(0)(0)0,kFFF()(0)0;kF而也即也即,0,11knknnnaaaa这时相应地方程这时相应地方程(4.32)将为将为)35.4()(111tfdtxdadtxdadtxdkkknnnnn,0)32.4(0)1(时对应齐次方程特征根即不是当na化为则令)35.4(,zdtxdkk)35.4()(111tfdtxdadtxdadtxdkkknnnnn)36.4()(111tfzadtzdadtz

18、dknknknknkn对上面方程对上面方程,因而方程因而方程(4.36)有形如有形如,)(110mmmBtBtBtz特解特解,110mmmBtBtB)(tzdtxdkk,0,0 已不是它的特征根已不是它的特征根由于由于 kna满足有特解因此),()32.4(tx,次得积分k),()(110mmmkttttx(4.32)方程形如特解特解,.,10是已确定的实数这里m例例8.133222的通解求方程txdtdxdtxd2 类型类型II:即方程为,)()(110tmmmebtbtbtf 110)32.4()(tmmmebtbtbxL变为则作变换)32.4(),()(tyetxt111nnnnnd y

19、dydd ydtdtmmmbtbtb110)37.4(.0,),2,1(,为实常数其中mibi有如下形式的特解我们获得的有关结果由方程)32.4(,)32.4(101101(),(4.21)()(),(4.21)mmtmkmmtmB tBtBex ttB tBtBek不是的特征根是的 重特征根例例9.3222的通解求方程texdtdxdtxd解解 对应齐次方程特征根为对应齐次方程特征根为.1,321故该方程的特解形式为故该方程的特解形式为,)(tAtetx,)(代入方程得将tAtetx,4tteAe从而从而于是于是,41A1(),4tx tte 因此原方程的通解为因此原方程的通解为.41)(2

20、31tttteecectx是特征方程的单根12解解对应齐次方程特征方程为对应齐次方程特征方程为,1故该方程有形状为故该方程有形状为,)()(3的特解teBtAttx,)()(3代入方程得将teBtAttx)5()246(teeBtAtt比较系数得比较系数得;241,65BA,)20(241)(3tetttx从而因此原方程的通解为因此原方程的通解为.)20(241)()(32321ttettetctcctx例例10323233(5).td xd xdxxetdtdtdt求方程的通解有三重特征根有三重特征根0)1(1333233 类型类型III:)32.4()sin)(cos)(tettBttAx

21、L设;,)(),(,mmtBtA过另一个多项式次数不超多项式次数为其中一个为实系数多项式为常数其中,公式由EulertettBttAsin)(cos)(titietiBtAetiBtA)()(2)()(2)()(根据非齐次方程的叠加原理可知根据非齐次方程的叠加原理可知,方程方程欧拉公式欧拉公式:)(21costitieet)(21sintitieeittietiBtAtfxL)(22)()()(tietiBtAtfxL)(12)()()(与与,)32.4(的解的解之和必为),()(21tftf注意到,)(,)(2111的解必为则的解为若tfxLxtfxLx因此因此,直接应用类型直接应用类型II

22、的结果可知的结果可知,方程有如下形式的特方程有如下形式的特解解tiktiketDtetDtt)()()()()()cos()sinkttP ttQ tt e).(Im2)(tDtQ),(Re2)(,)(tDtPmtD而次多项式为其中。mtQtP的多项式都是次数不超过显然)(),(解解对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为,2,121故该方程有形状为故该方程有形状为,)sincos()(的特解tBtAetxt,代入方程得tttABtABsin7cossin)3(cos)3(;1,2BA:从而原方程有特解故原方程的通解为故原方程的通解为).sincos2()(221tteecectxtt

23、t例例11.)sin7(cos222的通解求方程ttexdtdxdtxdt有二个根有二个根022,1不是特征根因ii,sin,cos的系数得比较上式两端tt),sincos2()(ttetxt注注:类型类型III的特殊情形的特殊情形,cos)()(tetAtft,sin)()(tetBtft或可用更简便的方法可用更简便的方法-复数法求解复数法求解例例12.2cos4422的通解求方程txdtdxdtxd解解 对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为0)2(4422特征根特征根,221为了求非齐线性方程的一个特解为了求非齐线性方程的一个特解,先求方程先求方程itexdtdxdtxd222

24、44的特解的特解,属类型属类型II,定理定理9(P136)若方程若方程)()()()(111tivtuxtadtxdtadtxdnnnnn()(),()(1,2,)(),(),()()ixU tiV ta t inu tv tU tV t有复值解这里及都是实值函数 则这个解的实部和虚部分别是方程)()()(111tuxtadtxdtadtxdnnnnn和和)()()(111tvxtadtxdtadtxdnnnnn的解的解.方程有形状为方程有形状为,)(2的特解itAetx,18iA,8iA9,由由定定理理 它它就就是是原原方方程程的的特特解解故原方程的通解为故原方程的通解为2121()()si

25、n2.8tx tcc t et,2 不是特征根因 i从而从而分出它的实部分出它的实部故故iteitx28)(,2sin812cos8tti,2sin81)(Rettx代入方程得代入方程得（二）拉普拉斯变换法 由积分0()()e()dstF sf tf ttL定义的复平面(Re s)上的复变数s的函数F(s)称为函数 f(t)的拉普拉斯变换拉普拉斯变换,其中f(t)对t 0有定义,且满足不等式|()|,tf tMe这里M,为两个正常数.我们称 f(t)为原函数原函数,而F(s)称为像函数像函数.由像函数求原函数称为拉普拉斯反演拉普拉斯反演.可由如下积分表示i1i1()()e()d.2 icstc

26、f tF sF ss L在已知像函数的情况下,一般采用查表的方法求原函数.给定微分方程及初始条件1111ddd()(4.32)dddnnnnnnxxxaaa xf tttt其中a1,a2,an是常数,而 f(t)连续且满足原函数的条件.由于常系数微分方程的任何解及其各阶导数都满足原函数的条件,设x(t)为(4.32)的解,记)1(0)1()1(00)0(,)0(,)0(nnxxxxxx0()()e()d,stF sf tf ttL则由拉普拉斯变换的定义易知0()()e()d.stX sx tx ttL0()(),x tsX sxL()12(1)000 ()(),nnnnnxts X ssxsx

27、x L对方程(4.32)两端实施拉普拉斯变换可得12(1)000123(2)100010()()()()(),nnnnnnnnnns X ssxsxxa sX ssxsxxasX sxa X sF s1111211023(1)1200()(),nnnnnnnnnnnX ssa sasaF ssa saxsa saxx1111ddd()(4.32)dddnnnnnnxxxaaa xf tttt即这就是满足初值条件的解x(t)的像函数,然后直接查拉普拉斯变换表或者用反变换公式计算得到或或),()()()(sBsFsXsA由此有都是已知的多项式和其中,)()(),(sFsBsA,)()()()(sA

28、sBsFsX从而解为从而解为:)()(1sXLtx-拉普拉斯变换的反变换拉普拉斯变换的反变换例例15.0)1()1(,2xxexxxt求解方程解解问题变为令,1 t.0)0()0(,2)1(xxexxx对上式两端作拉普拉斯变换对上式两端作拉普拉斯变换,得得,111)()(2)(2sesXssXsXs因此因此,)1(11)(3sesX查拉普拉斯变换表得查拉普拉斯变换表得,21)(12ex从而从而,)1(21)(2tettx这就是所求的解这就是所求的解.例例16.2)0(,1)0(,2sin5cos4xxttxx求解方程解解对方程两端作拉普拉斯变换对方程两端作拉普拉斯变换,得得,4514)(2)(

29、222ssssXssXs因此因此查拉普拉斯变换表得查拉普拉斯变换表得,2cossin2)(tttx这就是所求的解这就是所求的解.,cos(22sstL这里)sin22stL,412)(22ssssX 质点振动质点振动 设有一弹簧，上端固定，下端挂一质量设有一弹簧，上端固定，下端挂一质量m m的的物体物体,当物体处于静态的时候，重力与弹力大小当物体处于静态的时候，重力与弹力大小相等相等,方向相反，这个位置就是平衡位置方向相反，这个位置就是平衡位置.高阶微分方程的应用高阶微分方程的应用当物体处于平衡位置时，受到向下的重力当物体处于平衡位置时，受到向下的重力mg,弹簧向上的弹力弹簧向上的弹力lk，其

30、中，其中k是弹簧的弹性系数，是弹簧的弹性系数，l是弹簧受重力作用后向下拉伸的长度，即有是弹簧受重力作用后向下拉伸的长度，即有mxmgR=kllk lmg 当物体开始运动时，受到以下四个力的作用：当物体开始运动时，受到以下四个力的作用：为研究物体的运动规律，选取平衡位置为为研究物体的运动规律，选取平衡位置为坐标原点，取坐标原点，取x轴垂直向下轴垂直向下.故当物体处于平衡故当物体处于平衡0 x位置时，有位置时，有，但物体受到外力，但物体受到外力F(t)F(t)作用时，作用时，从平衡位置开始运动，从平衡位置开始运动，)(tx代表物体在代表物体在t t时的位置，时的位置，（1）重力重力 mg方向向下，

31、与坐标轴方向一致方向向下，与坐标轴方向一致.（2 2）弹力）弹力 R相同，即相同，即()Rklx ，因此弹簧的弹力，因此弹簧的弹力R R总有总有()Rklx 当当0 xl时，弹力与时，弹力与轴方向相反，取轴方向相反，取xx，当，当0 xl弹力与弹力与()Rklx 轴方向轴方向dtdx方向与运动方向相反方向与运动方向相反 dxDcdt(3)空气阻力空气阻力 阻力的大小与物体的运动速度成正比阻力的大小与物体的运动速度成正比 D其中其中c为阻力系数，为阻力系数，为为t 时刻物体运动的速度时刻物体运动的速度(4)外力外力()F t方向依赖于方向依赖于F(t)F(t)的正负的正负由牛顿第由牛顿第二二定理

32、定理 得：得：22()()d xdxmWRDFmgklxcF tdtdt()dxkxcF tdt 因此物体运动满足二阶线性微分方程因此物体运动满足二阶线性微分方程 22()d xdxmckxF tdtdt（1）220d xmkxdt或或 （2 2）02022xdtxd（3 3）tctctx0201sincos)(1 1、无阻尼自由运动无阻尼自由运动无空气阻力和外力作用无空气阻力和外力作用方程（方程（1）变为）变为 方程（方程（2 2）的通解为）的通解为 其中其中mk20这里这里 为常数，为了使物理意义明确为常数，为了使物理意义明确,令：令：21,cc若若 2212Acc12arctancc则则

33、(3)(3)可以写成可以写成 12212sinccc22212cosccctccctccccctx0222120222112221sincos)()sincoscos(sin00ttA从（从（3.5.43.5.4）可以看出，物体的运动是周期运动）可以看出，物体的运动是周期运动,)(sin0tA（3.5.43.5.4）周期为周期为02T为初相位，如为初相位，如这种运动称为这种运动称为简谐简谐A振动振动，振幅为，振幅为 AA0图图:2 2、有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动有空气阻力而无外力作用有空气阻力而无外力作用 将方程（将方程（1 1）变为）变为 221244,22cckmcckmmm 220

34、d xdxmckxdtdt（5 5）方程（方程（5 5）的特征方程为）的特征方程为02kcm特征根为：特征根为：下面分三种情形考虑方程（下面分三种情形考虑方程（5 5）的解）的解 1212()ttx tc ec e（1 1）240ckm12,，在这种情况下，在这种情况下是是两个不同的负实数，因此，方程（两个不同的负实数，因此，方程（3.5.53.5.5）的通）的通解为解为（2 2）240ckm，在这种情况下方程通解为，在这种情况下方程通解为)2exp()()(21tmctcctx240ckm（3 3），在这种情况下方程通解为，在这种情况下方程通解为tctcmcttxsincos)2exp()(

35、21其中其中 mckm242情形（情形（1 1）称为）称为大阻尼情形大阻尼情形，情形（，情形（2 2）称为）称为临临 界阻尼情形界阻尼情形，情形（，情形（3 3）称为）称为小阻尼情形小阻尼情形.对情形（对情形（3 3），类似于无阻尼自由振动，可把），类似于无阻尼自由振动，可把方程（方程（5 5）的通解写成为）的通解写成为)sin()2exp()(tmctAtx,A这里这里为任意常数为任意常数.弹簧的振动已不是周期的，振动的最大偏离弹簧的振动已不是周期的，振动的最大偏离随着时间增加不断减小，最后随着时间增加不断减小，最后)2exp(mctA趋于平衡位置趋于平衡位置0 x，如下图所示：，如下图所示

36、：0)2exp(mctAx)2exp(mctAx可求得方程可求得方程（3.5.63.5.6）的一个特解为的一个特解为 3 3 有阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动既有空气阻力又有外力既有空气阻力又有外力设周期外力设周期外力tFtFcos)(0，则弹簧振动，则弹簧振动方程为方程为tFkxdtdxcdtxdmcos022（6 6）tctmkcmkFtsincos)()()(222220)sin()()(2122222220tcmkcmkF2122220)()sin(cmktF这里这里cmk2tan，因此方程，因此方程（6 6）的的通解为通解为)()()(tttx2122220)()sin()(cmkt

37、Ft（7 7）()t这里这里是方程（是方程（6 6）对应的齐次方程）对应的齐次方程 220d xdxmckxdtdt（8 8）的通解，的通解，由（由（7 7）可以看出，弹簧的振动）可以看出，弹簧的振动由两部分叠加而成，第一部分是有阻尼的自由由两部分叠加而成，第一部分是有阻尼的自由振动，它是系统本身的固有振动，它随时间的振动，它是系统本身的固有振动，它随时间的延续而衰减，最后等于零；第二部分是由外力延续而衰减，最后等于零；第二部分是由外力而引起的强迫振动项，它的振幅不随时间的延而引起的强迫振动项，它的振幅不随时间的延续而衰减，当时间充分大时，（续而衰减，当时间充分大时，（6 6）的解）的解)(t

38、x)(t最终趋向于解最终趋向于解.4 4 无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动没有空气阻力而有周期外力没有空气阻力而有周期外力设周期外力设周期外力tFFcos0，此时物体运动满，此时物体运动满足方程足方程mktmFxdtxd2002022,cos（9 9）当当0时方程（时方程（9 9）有通解）有通解tmFtctctxcos)(sincos)(220002012当当0时，外力的频率时，外力的频率与弹簧振动的与弹簧振动的固有频率固有频率20是相等的，这种现象称为是相等的，这种现象称为共振共振现象现象，此时，弹簧的振动满足的方程为：，此时，弹簧的振动满足的方程为：tmFxdtxd002022cos（1010）方程（方程（1010）有通解）有通解tmtFtctctx0000201sin2sincos)(（1111）其中其中21,cc是任意常数是任意常数.（1111）前面两项和是一个周期函数，第三）前面两项和是一个周期函数，第三项代表振幅在随时间增大而增大的一种振动，这就项代表振幅在随时间增大而增大的一种振动，这就是共振现象。如图：是共振现象。如图：0