简单的优化模型参考模板范本.ppt

1、简单的优化模型 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指静态优化问题指最优解最优解是数是数(不是函数不是函数)建立静态优化模型的关键之一是根建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的据建模目的确定恰当的目标函数目标函数 求解静态优化模型一般用求解静态优化模型一般用微分法微分法简单（静态）的优化模型简单（静态）的优化模型1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即

2、所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，

3、无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100=122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最

4、小吗?每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模模 型型 假假 设设1.产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2.每次生产准备费为每次生产准备

5、费为 c1,每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3.T天生产一次（周期）天生产一次（周期）,每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r,c1,c2 已知，求已知，求T,Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q,q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减

6、，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天天),Q=1000(件件),C=1000(元元)回答问题回答问题 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）212rcc

7、T 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次天订货一次(周期周期),每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即到货。件立即到货。允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时原模型假

8、设：贮存量降到零时Q件件立即生产出来立即生产出来(或立即到货或立即到货)现假设：允许缺货现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3,缺货需补足缺货需补足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期贮存费贮存费BcdttqcTT331)(一周期一周期缺货费缺货费周期周期T,t=T1贮存量降到零贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用Min),(Q

9、TC求求 T,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T,Q记作记作Q212rccT 212crcrTQ不允不允许缺许缺货模货模型型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量R每周期的生产量每周期的生产量R（或订货量）（或订货量）33

10、2212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量)QQRDiscussions2 生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80千克重的生猪体重增加千克重的生猪体重增加2公斤。公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是元，但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出售。元，问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时

11、间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw-C估计估计r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研究研究 r,g变化时对模型结果的影响变化时对模

12、型结果的影响 估计估计r=2，g=0.1rggrt2404 设设g=0.1不变不变 5.1,6040rrrtt 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2，g=0.1rggrt2404研究研究 r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15.00,203gggtt 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033)

13、,(ggtS生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。0.060.080.10.120.140.160102030gt强健性分析强健性分析(Robustness)保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 ,再作计算。再作计算。wwpp,研究研究 r,g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w=w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p=p(t)若若 (10%),则则 （30%）2.28.

14、1 w137 t0)(tQ每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()(Discussions3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t

15、).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x),f2(x)之和最小之和最小 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.模型假

16、设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费）1）0 t t1,dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度）2）t1 t t2,降为降为-x(为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度）4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比，dB/dt与与 t成正比成正比.xbtt12

17、202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx结果解释结果解释 /是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3,t1,

18、为已知参数为已知参数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估计可估计,c2 x c1,t1,x c3,x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费,c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻,火火势蔓延速度势蔓延速度,每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么?,可可设置一系列数值设置一系列数值由模型决定队员数量由模型决定队员数量xDiscussionsn模型是否实际？4 最优价格最优价格问题问题根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求

19、，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作 x2）收入与销量）收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本4）销量）销量 x 依赖于价格依赖于价格 p,x(p)是减函数是减函数 建模建模与求解与求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利润利润进一步设进一步设0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大0*ppdpdU使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足*ppppdpd

20、CdpdI最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22*建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出结果结果解释解释baqp22*0,)(babpapx q/2 成本的一半成本的一半 b 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度）a 绝对需求绝对需求(p很小时的需求很小时的需求)b p*a p*思考：如何得到参数思考：如何得到参数a,b?Discussions5 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血

21、液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养给血管壁以营养克服血液流动的阻力克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下，血管分支处研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度粗细血管半径比例和分岔角度问问题题模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的

22、能量随血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚的增加而增加，管壁厚度近似与血管半径成正度近似与血管半径成正比比qq1q1ABB CHLll1rr1 q=2q1r/r1,?考察血管考察血管AC与与CB,CB 粘性流体在刚粘性流体在刚性管道中运动性管道中运动lprq84 pA,C压力差，压力差，粘性系数粘性系数克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量4218dlqpqE提供营养消耗能量提供营养消耗能量21,2lbrE管壁内表面积管壁内表面积 2 rl管壁体积管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比模型假设模型假设qq1q1ABB CHLll1

23、rr1 模型建立模型建立qq1q1ABB CHLll1rr1 4218dlqpqE克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量21,2lbrE提供营养消耗能量提供营养消耗能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEEsin/,/1HltgHLlsin/2)/()tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE机体为血流提供能量机体为血流提供能量模型求解模型求解qq1q1ABB CHLll1rr1 0,01rErE0/40/451211521rkqrbrkqrb4114rr0E412cosrr442cos210014937,32.1/26.1rrsin/2)/()

24、tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE模型模型解释解释生物学家：结果与观察大致吻合生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax,毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21001493732.1/26.1rr观察：狗的血管观察：狗的血管)4(5n3025n血管总条数血管总条数97302510103222n推论推论n=？6.实物交换问问题题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究

25、实物交换方案。商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0,作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0 xoxyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度

26、，即具有同样的满意程度，即p1,p2对甲是无差别的，对甲是无差别的，MN将所有与将所有与p1,p2无差别的点连接无差别的点连接起来，得到一条起来，得到一条无差别曲线无差别曲线MN,线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同,线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度，的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线，在另一条无差别曲线M1N1上。上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。于是形成一族无差别曲线（无数条）。yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减单调减(x增加增加

27、,y减小减小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性质（形状可以不同）性质（形状可以不同）双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2(

28、坐标坐标系系xOy,且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上因为在因为在AB外的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作ABABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩矩形内任一点形内任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换前前x0

29、,y0价值相同，则等价交换原价值相同，则等价交换原则下交换路径为则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a,Y单价单价b,则等价交换下则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0 xo.xDiscussionsq2U(q1,q2)=cq101l2l3l7 消费者均衡消费者均衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为

30、设甲乙数量为q1,q2,消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交），记作交），记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2)效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格 p1,p2,有钱有钱s，试分配，试分配s,购买甲乙数量购买甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq101l2l3l模型模型及及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s,求求q1,q2,或或 p1q1/p2q2,使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121.),(max),(2211qpqpUL)2,1(0iqLi2

31、121ppqUqU122dqdqKl几几何何解解释释sqpqp2211直线直线MN:最优解最优解Q:MN与与 l2切点切点21/ppKMN斜率斜率MQN21/qUqU0,0,0,0,0.B21222221221qqUqUqUqUqU2121ppqUqU结果结果解释解释21,qUqU边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。价格之比时达到。效用函数效用函数U(q1,q2)应满足的条件应满足的条件A.U(q1,q2)=c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸 解释解释 B的实际意义

32、的实际意义AB 0,)(.1121qqU效用函数效用函数U(q1,q2)几种常用几种常用的形式的形式2121ppqUqU212211ppqpqp 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。与二者价格之比的平方根成正比。U(q1,q2)中参数中参数 ,分别表示消费者对甲乙分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。两种商品的偏爱程度。1,0,.221qqU0,)(.3221baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 购买两种商品费用之比与二者价格无关。购买两种商品费用之比与二者价格无关。U(q1,q2)中参数中参数 ,分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度。的偏爱程度。思考：如何推广到思考：如何推广到 m(2)种商品的情况种商品的情况效用函数效用函数U(q1,q2)几种常用几种常用的形式的形式