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1、第三节 函数的微分3.2 微分的计算微分的计算3.3 微分的应用微分的应用3.1 微分的概念微分的概念边长由3.1 微分的定义微分的定义引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA 面积的增量为220)(xxxA20)(2xxx0 xxxx 020 xA xx 02)(x关于x 的线性主部的高阶无穷小故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx其0 x时为x定义定义2.3(81 页页):的微分微分,若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy(A 为不依赖于x

2、的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd定理定理2.6:函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy,)(0 xfA且)(xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,1、函数证证:“必要性必要性”已知)(xfy 在点 可微,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)(xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且,)(0 xfA即xxfy)(d0重要结论：证明不作要求证明不作要求“充分性充分

3、性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy)(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则说明说明:0)(0 xf时,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微

4、分自变量的微分,x称为记作xdxxd记3.2 基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式与微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则)(d.1vu)(d.2uC(C 为常数)(d.3vu)0()(d.4vvu分别可微,)(,)(xuufy)(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv例例1、2,1 0.1,0.01,0.001 .yxxxydy 已知函数在点处计算当 时的函数改变量 及微分的值22222 y ,.:1(1)2.2(1)(1)(1)120.1,

5、20.10.2,20.10.10.210.01,0.02,0.02010.001,0.002,0dyyxxydyxyyxyxxxxdyyxdyyxdyy 首先再次指明和的含义 解释题意解在 点的导数是 由定理2.6知时时时.0020013.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式

6、:x1)1()1(x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4()1ln()5(x证明证明:令)1()(xxf得,1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1(微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,aA称为a 的绝对误差绝对误差aaA称为a 的相对误差相对误差若AaAA称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限aA称为测量 A 的相对误差限相对误差限误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为,x按公式)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(xxf)(故 y 的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxfxfy)()(若直接测量某量得 x,内容小结内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:uufufd)()(d(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差