（青岛版）八年级数学下册专题讲练：巧解最值问题试题(含答案).doc

1、巧解最值问题 利用函数性质求最值1. 利用图象求最值：如：若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降。当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水。那么政府应开始送水的最合适号数为几号？答案：24号。2. 利用几何图形变化求最值：如：在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，BCE的面积为y，AB4，AD5时，则当x的值在什么范围时，BCE面积最大？答案：。3. 根据实际问题中条件求最值：如：某市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x

2、（x2）千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数关系为。如果李老师有22元，那么他所乘车的最远距离是多少？答案：，12.625千米。4. 利用函数解析式中自变量的求值范围求最值：如：某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元。求y关于x的函数关系式？如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何才能获利最多？（注：利润售价成本）品牌AB进价（元/箱）5535售价（元/箱）6340答案：（1） （2）购进A种饮料125箱，购进B种饮料375箱。总结：从一

3、次函数的基本性质来看，当自变量 取全体实数时，它没有最值，但如果自变量的取值不是全体实数，那么它可能有最值，因此，解决有关一次函数的最值问题时。关键是求出自变量的取值范围，然后用一次函数的性质去处理。例题1 有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（）A. 10厘米B. 13.5厘米C. 14厘米D. 14.5厘米重量（千克）11.522.533.5长度（厘米）4.555.566.57解析：弹簧在一定的称重范围内弹簧的长度与物体重量满足一次函数关系，设出一次函数关系式，根据图中提供的数据求得函数关系式，令x10代

4、入求得y的值即可。答案：由表中关系可以得到，弹簧长度y（厘米）与称重x（千克）的关系是一次函数关系，设弹簧长度y（厘米）与称重x（千克）的关系式为ykxb，根据表格中提供的数据得当x1时，y4.5；当x2时，y5.5；，解得：，解析式为y3.5x，当弹簧最长时就是所挂重物最重时，此时x10，y3.51013.5，故弹簧最长为13.5厘米。故选B。点拨：本题考查了用待定系数法确定函数的解析式及如何求函数值的问题，把实际问题抽象成数学知识解决，是解决此类问题的关键。利用自变量取值范围求最值利用自变量取值范围求解最值问题，关键是正确寻找题目中的不等关系，列不等式组求得最佳方案。例题 为打造“书香校园

5、”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，请你设计一种组建方案，使总费用最低，最低费用是（）A. 22300元B. 22610元C. 22320元D. 22650元解析：设组建中型图书角x个、小型图书角（30x）个，由于组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文

6、类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，因此可以列出不等式组80x30（30x）190050x60（30x）1620，解不等式组然后去整数即可求解。答案：设组建中型图书角x个、小型图书角（30x）个，由题意得，解之得：18x20，而x为整数，x18、19、20，有三种方案，费用y860x570（30x）290x17100，当x18时，费用最少，为290181710022320元。故选C。 生活实践中求最值一次函数在实际生活中的应用，关键是找等量关系列方程，并运用待定系数法求解一次函数解析式。例题 水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经

7、过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克。（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系。求y与x之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）解析：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；（2）设y与x之间的函数关系式为ykxb，将（25，165），（35，55）代入，运用待定系

8、数法即可求出y与x之间的函数关系式；设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，根据利润销售收入进货金额得到w关于x的函数关系式为w11（x30）21100，再根据二次函数的性质即可求解。答案：解：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x2）元，由题意，得80（x2）88x，解得x20。答：现在实际购进这种水果每千克20元；（2）设y与x之间的函数关系式为ykxb，将（25，165），（35，55）代入，得，解得，故y与x之间的函数关系式为y11x440；设这种水果的销售单价为x（元/千克）时，所获利润为w元，则w（x20）y（x20）（11x440）11x266

9、0x880011（x30）21100，所以当x30时，w有最大值1100。答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元。（答题时间：45分钟）一、选择题1. 如图所示，是某航空公司托运行李的费用y（元）与行李重量x（千克）的关系图象，由图中可知，乘客可以免费托运行李的最大重量为（）A. 20千克B. 30千克C. 40千克D. 50千克2. 小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。若累计购物x

10、元，当xa时，在甲商场需付钱数yA0.9x10，当x50时，在乙商场需付钱数为yB。下列说法：yB0.95x2.5；a100；当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些。其中正确的说法是（）A. B. C. D. *3. 如图，在矩形ABCD中，AB5，BC4，E、F分别是AB、AD的中点。动点R从点B出发，沿BCDF方向运动至点F处停止。设点R运动的路程为x，EFR的面积为y，当y取到最大值时，点R应运动到（）A. BC的中点处B. C点处C. CD的中点处D. D点处*4. 某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x

11、（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）。该植物最高长（）厘米。A. 11B. 13C. 15D. 16*5. 已知一列慢车与一列快车相继从武汉开往南京，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，如果二车都配有对讲机，并且二车相距不超过15km时，能相互通话，则二车均在行驶过程中能通话的时间为（）小时。A. 2 B. 4 C. 3 D. 1二、填空题：*6. 国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织360名师生乘车参观。某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆40个座位，租金400元

12、；乙种客车每辆50个座位，租金480元，则租用该公司客车最小需付租金元。*7. 某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘 时可使得每月所付工资最少，最小值是 。*8. 一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶。已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线上的一部分。如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是 km。*9. 某厂工人小王某月工作的部分信息

13、如下：信息一：工作时间：每天上午8001200，下午14001800，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件。生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品件数（件）生产乙产品件数（件）所用总时间（分）10103503020850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元。根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品、每生产一件乙种产品分别需要分。（2）小王该月最多能得_元？此时生产甲、乙两种产品分别_件。三、解答题：*10. 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化。

14、绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩。并且种植草皮面积不少于种植树木面积的。已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元。（1）种植草皮的最小面积是多少？（2）种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？*11. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x2）个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超

15、市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）。请解答下列问题：（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。*12. 已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：A元素含量单价（万元/吨）甲原料5%2.5乙原料8%6已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨，若某厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过1

16、6吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？1. A 解析：设一次函数的解析式为ykxb，由图象过点（40，200）和（50，300）得，解得：，解析式为y10x200，当y0时，x20，即重量不超过20千克可免费。故选A。2. C 解析：、yB0.95x50（195%）0.95x2.5，正确；、根据题意yAa（xa）90%0.9x0.1a0.9x10，所以a100；、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对；、当yAyB时，即0.9x100.95x2.5，解之得x150。所以当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些。故选C。3. B 解析：根据题意，EFR的面积边

17、EF其对应的高，当EFR的面积最大时，边EF对应的高最大，从而将问题转化为求点R运动到何处时，到线段EF的距离最大。由所给图形可以看出当点R运动到C点时，点R到线段EF的距离最大。故选B。4. D 解析：CDx轴，从第50天开始植物的高度不变，设直线AC的解析式为ykxb（k0），经过点A（0，6），B（30，12），解得。所以，直线AC的解析式为yx6（0x50），当x50时，y50616cm。故选D。5. D 解析：设慢车每小时行驶km，快车每小时行驶km，由题意和图意得，解得：，则慢车每小时行驶60km，快车每小时行驶90km，设快车行驶m小时后，两车之间的距离不超过15km，由题意得，

18、解得：1.5m2.5。2.51.51小时。则二车均在行驶过程中能通话的时间为1小时。故答案为D。6. 3520 解析：只租甲种客车的费用为：360404003600元；360507.2，需要乙种客车的辆数为718，只租乙种客车的费用为84803840；若两种客车都租，设租甲种客车x辆，乙种客车y辆，则40x50y360，4x5y36，4x365y，x9y，解得：，需要资金为：440048043520元，租用该公司客车最小需付租金3520元。故答案为3520元。7. 甲50人，乙100人，130000元 解析：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人（150x）人，每月所付的工资为y元，则y600x1

19、000（150x）400x150000，（150x）2x，x50，而4000，当x50时，y最小40050150000130000元。招聘甲50人，乙100人时，可使得每月所付的工资最少；最少工资130000元。故答案为：甲50人，乙100人，130000元。8. 250 解析：设直线的解析式是ykxb，由题意可知（3，42），（1，54）在函数图象上，代入得：kb543kb42，解得：k6 b60，故直线l的解析式是：y6x60，由题意得：y6x6010，解得：x，故警车最远的距离可以到：60250千米，故答案为：2509. （1）15，20；（2）1644，60和555 解析：（1）设生产

20、一件甲种产品需分钟，生产一件乙种产品需分钟，由题意得：，即 解这个方程组得：即生产一件甲产品需要15分钟，生产一件乙产品需要20分钟。（2）设生产甲种产品共用了分钟，生产乙种产品需用分钟，则生产甲种产品件，生产乙种产品件。，又，得由一次函数的增减性，当取最小值，即时取得最大值，此时（元）这时甲生产了（件），乙生产了（件）即小王该月最多能得到1644元，此时生产甲、乙两种产品分别为60件和555件。10. 解：（1）设种植草皮面积为亩，则种植树木面积为（30）亩，由，解得18，即种植草皮的最小面积为18亩。答：种植草皮的最小面积为18亩。（2）因为种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩。所以的取

21、值范围为10x20.所以当取最大值20时，函数（元）。即当种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低，最低费用为280000元。答：种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低，为280000元。11. 解：（1）由题意，得yA（10303x）0.92.7x270，yB10303（x20）3x240，（2）当yAyB时，2.7x2703x240，得x100；当yAyB时，2.7x2703x240，得x100；当yAyB时，2.7x2703x240，得x100，当2x100时，到B超市购买划算，当x100时，两家超市一样划算，当x100时在A超市购买划算。（3）由题意知x1510150100，选择A超市，yA2.7150270675元，先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球（101520）30.9351元，共需要费用1030351651（元）。651675，最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球12. 解：设需要甲原料x吨，乙原料y吨。由题意，得由，得y。把代入，得x。设这两种原料的费用为W万元，由题意，得W2.5x6y1.25x1.5。k1.250，W随x的增大而减小。x时，W最小1.2。答：该厂购买这两种原料的费用最少为1.2万元。答：该厂购买这两种原料的费用最小是1.2万元。