2020年全国I卷 高考考前适应性试卷 理科数学（一）（含答案与解析）.doc

1、 2020 年全国 I 卷高考考前适应性试卷 理理 科科 数数 学学（一一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在

2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1设复数z满足i2iz，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2集合 2 |20Ax xx， |10Bx x ，则AB （ ） A |1x x B | 11xx C |2x x D | 21xx 3向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量ab与c共线，则实数（ ） A2 B1 C1 D2 4若数列 n a是公比不为1的等比数列，且 2 2 20182020 0 4daaxx ，则 2017201920212023 (2)aa

3、aa（ ） A 2 4 B 2 2 C 2 D 2 3 5已知 sin()3cos() 36 ，则tan2（ ） A4 3 B 3 2 C4 3 D 3 2 6在2019年亚洲杯前，某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队，制作了3种不同的精 美海报，每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报，集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚 洲杯上所有比赛的门票现有4个球迷组成的球迷团（每人各买一份球迷礼包） ，则他们能获得该门 票的概率为（ ） A 10 27 B 4 9 C 5 9 D 17 27 7已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为F，过点F作圆 22 xyb的切线

4、，若两条切 线互相垂直，则椭圆C的离心率为（ ） A 1 2 B 2 2 C 2 3 D 6 3 8已知函数 2 2 (1)log 2 x f x x ，若( )f ab，则(4)fa（ ） Ab B2b Cb D4b 9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积 为（ ） A 2 3 B2 C3 D10 3 10在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，| |1ab=，0a b?，点Q满 足 2 ()OQ uuu r ab=+曲线|cossin,02CPOP uuu r abqqq=+，区域 |0|,PrP QR rRW= uuur 若CWI为两段分离

5、的曲线，则（ ） A13rR B13rR? C13rR? D13rR 11已知定义域为R的奇函数( )f x的导函数为( )fx，当0x时，( )( )xfxf x，若 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2 2 ( log 3) log 3 f a ， 4 4 (log 6) log 6 f b ， (sin) 8 sin 8 f c ，则a，b，c的大小关系为（ ） Aabc Bcab Ccba Dbca 12已知定义在R上的奇函数( )f x满足当0x时， 1 2 log (1),0,1) ( ) 1 |3|,1,) xx f x xx +? = - -? ，则关于

6、x的函数( )yf xa=-，( 10)a-的所有零点之和为（ ） A21 a - B21 a- - C12 a- - D12a- 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13在平面上， 1 e， 2 e是方向相反的单位向量，若向量b满足 12 ()()bebe，则|b的值 为 14设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于 222 3 () 4 bca，则内角A的大小为 15 6 (1 2 )(1)xx的展开式中 2 x的系数为 16三棱锥SABC中，点P是ABCRt斜边AB上一点给出下列四个命

7、题： 若SA平面ABC，则三棱锥SABC的四个面都是直角三角形； 若4AC ，4BC ，4SC ，SC 平面ABC，则三棱锥SABC的外接球体积为32 3； 若3AC ，4BC ，3SC ，S在平面ABC上的射影是ABC内心，则三棱锥SABC 的体积为2； 若3AC ，4BC ，3SA，SA平面ABC， 则直线PS与平面SBC所成的最大角为60 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n

8、 a是递增的等差数列， 3 7a ，且 4 a是 1 a与27的等比中项 （1）求 n a； （2）若 1 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC中，平面 11 ACC A 平面ABC， 1 2AAACCB， 90ACB （1）求证：平面 11 ABC 平面 11 ABC； （2）若 1 A A与平面ABC所成的线面角为60，求二面角 11 CABC的余弦值 19 （12 分）为了研究学生的数学核心素养与抽象能力（指标x） 、推理能力（指标y） 、建模能力 （指标z）的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合

9、指标wxyz=+的值评 定学生的数学核心素养，若7w，则数学核心素养为一级；若56w，则数学核心素养为二 级；若34w，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访 问了某校10名学生，得到如下数据： （1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率； （2）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X 的分布列和数学期望 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 经过抛物线 2 16yx 的焦点A，上的点R与 的两个焦点所构成的三角形的周长为8 4 2 （1）求的方

10、程； （2）若点R关于原点O的对称点为Q，过点A作直线l交于另一点B，交y轴于点C，且 BCRQ判断 2 | | | RQ ABAC 是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由 21 （12 分）已知函数 2 ( )8ln ()f xxxax aR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）已知函数( )f x的两个极值点 12121 ,(,1)x x xx x，若1m，证明： 1 02x； 证明： 2 1 11 1 ln (2)(43) 1 ax mxx x 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记

11、分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 13cos 3sin x y （为参数） ，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 5 () 6 R （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求 | | | OMON OMON 的值 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数( )6|32 |f xmmx （1）当1m时，求不等式( )(2)1f xf x的解集； （2）若关于x的不等式( )|1 2 |f xx 的解集不是空集，求实数m的

12、取值范围 2020 年全国 I 卷高考考前适应性试卷 理理 科科 数数 学学（一）答（一）答 案案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】D 【解析】 i 2i 1 2iz ，该复数对应的点为(1, 2)，在第四象限 2 【答案】C 【解析】解得集合 |(2)(1)0 | 12Axxxxx ， |1Bx x， |2ABx x 3 【答案】D 【解析】根据图形代入选项可得2 abc，满足2 ab与c共线，2 4 【答

13、案】C 【解析】 2 2 0 4dxx 表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一， 2 2 0 4dxx ， 20182020 aa 设 2018 aa，公比为q， 2 aaq， 35224222 2017201920212023 (2)(2)(1 2)(1) a aaaaaqaqaqaqqaq q 222 (1)aq 5 【答案】A 【解析】由于 sin()3cos() 36 ， 所以 133 33 sincoscossin 2222 ，整理得3cos2sin ， 所以 3 tan 2 ，则 2 2tan tan24 3 1tan 6 【答案】B 【解析】解法一：设事件M为“4个球迷

14、组成的球迷团能获得该门票”， 则 23 43 4 C A4 () 39 P M 解法二：设事件M为“4个球迷组成的球迷团能获得该门票”， 则 21121 32443 4 CC (C C)C5 () 39 P M ， 54 ()1()1 99 P MP M 7 【答案】D 【解析】如图， 由题意可得2bc，则 22 2bc，即 222 2()acc，则 22 23ac， 2 2 2 3 c a ，即 6 3 c e a ，故选 D 8 【答案】B 【解析】根据题意，函数 2 2 (1)log 2 x f x x ，则 2 22 ( )log 3 x f x x ， 则 22 2 (4)262 (

15、4)loglog 3(4)1 xx fx xx ， 则有 22 2262 ( )(4)loglog2 31 xx f xfx xx ， 又由( )f ab，则(4)2fab，故选 B 9 【答案】D 【解析】由三视图知，该几何体是如图所示的多面体 111 ABCC APB，连接 11 AB， 由题意知，直三棱柱 111 ABCABC的体积 1 1 1 2 22 2 V ， 四棱锥 11 PABB A的体积 2 14 1 2 2 33 V ， 故所求的几何体的体积 12 410 2 33 VVV 10 【答案】A 【解析】设(1,0)a =，(0,1)b=，则( 2, 2)OQ= uuu r ，

16、(cos ,sin )OPxx= uu u r ， 区域W表示的是平面上的点到点( 2, 2)Q的距离从r到R之间， 如下图中的阴影部分圆环，要使CWI为两段分离的曲线，则13rR 11 【答案】C 【解析】设 ( ) ( ) f x g x x ，因为( )f x为奇函数，所以( )g x为偶函数， 又当0x时， 2 ( )( ) ( )0 xfxf x g x x ，所以( )g x在(0,)上单调递增， 因为 422 0sin1log 6log6log 3 8 ， 又 22 22 ( log 3)(log 3) log 3log 3 ff a ，所以 42 (sin)(log 6)( l

17、og 3) 8 ggg， 即cba 12 【答案】B 【解析】作函数( )f x与ya=的图象如图，结合图象可知， 函数( )f x与ya=的图象共有5个交点， 故函数( )( )F xf xa=-有5个零点， 设5个零点分别为bcdef， 2( 3)6bc+=?= -，236ef+=?， 1 2 log (1)xa+=， 故12 a x - = -+，即12 a d - = -+， 故12 a bcdef - += -+ 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】1 【解析】由题意 12 () ()0bebe，即 2 1

18、212 ()0 beebe e， 又 1 e， 2 e是方向相反的单位向量，所以 12 0ee， 12 1 e e， 所以 2 10 b，即 2 1b，所以| 1b 14 【答案】 3 【解析】由已知 222 13 sin() 24 ABC SbcAbca ， 又由余弦定理可得sin3cosAA，所以tan3A， 又0A，所以 3 A 15 【答案】3 【解析】 6 (1 2 )(1)xx的展开式中 2 x的系数为 21 66 C( 2)C3 16 【答案】 【解析】对于，因为SA平面ABCD，所以SCAC，SAAB，SABC， 又BCAC，所以BC 平面SAC，所以BCSC， 故四个面都是直

19、角三角形，正确； 对于，若4AC ，4BC ，4SC ，SC 平面ABC， 三棱锥SABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球， 222 24444 3R ，2 3R ，体积为 3 4 (2 3)32 3 3 V ，正确； 对于，设ABC内心是O，则SO平面ABC，连接OC， 则有 222 SOOCSC， 又内切圆半径 1 (345)1 2 r ，所以 2OC ， 222 321SOSCOC， 故1SO ， 三棱锥SABC的体积为 111 3 4 12 332 ABC VSSO ，正确； 对于，若3SA，SA平面ABC， 则直线PS与平面SBC所成得最大角时，P点与A点重合， 在SCARt

20、中，tan1ASC，45ASC， 即直线PS与平面SBC所成的最大角为45，不正确， 故答案为 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）21 n an； （2） 1 ( 233) 2 n Tn 【解析】 （1）设 n a的公差为d，且0d ， 据题意则有 3 2 41 7 27 a aa ，即 3 2 33 7 ()27(2 ) a adad ， 0d ，解得2d ， 3 (3)21 n aandn （2） 1 111 ( 2321) 22123

21、n nn bnn aann ， 前n项和 1 ( 537521212321) 2 n Tnnnn 1 ( 233) 2 n 18 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 4 【解析】 （1）证明：平面 11 ACC A 平面ABC，且平面 11 ACC A平面ABCAC， BC 平面ABC，90ACB，BC 平面 11 ACC A， 1 AC 平面 11 ACC A， 1 BCAC， 11 BCBC， 111 ACBC， 又 11 ACAC， 1 AC 平面 11 ABC，平面 11 ABC 平面 11 ABC （2）过 1 A作 1 AMAC于点M， 平面 11 ACC A 平面ABC，

22、1 AM 平面ABC， 1 A AM为 1 A A与平面ABC所成的角， 1 60A AC， 1 3 2 AMAC， 令 1 22AAACCB，则 1 3AM 以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，过C且平行于 1 AM的直线为z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系 则(0,0,0)C，(2,0,0)A， 1( 1,0, 3) C ，(0,1,0)B， 1(1,0, 3) A， (2,0,0)CA ， 11111 ( 1,0, 3)(0,1,0)( 1,1, 3)CBCCC BCCCB ， 1 (1,0, 3)CA 设平面 1 CB A的一个法向量为( , , )x y zn，则

23、1 20 30 CAx CBxyz n n ， 令1z ，得(0,3,1)n， 由（1）知， 1 AC 平面 11 ABC， 1 (1,0, 3)CA 是平面 11 ABC的一个法向量， 1 33 cos, 41 33 1 CA n， 二面角 11 CABC的余弦值为 3 4 19 【答案】 （1） 1 4 ； （2）分布列见解析，1.8EX = 【解析】 （1）由题可知：建模能力一级的学生是 9 A；建模能力二级的学生是 4 A， 5 A， 7 A， 10 A； 建模能力三级的学生是 1 A， 2 A， 3 A， 6 A， 8 A 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的两人的

24、综合指标值相同”为事件B 则 22 32 22 45 CC()1 (|) ( )CC4 P AB P B A P A + = + （2）由题可知，数学核心素养一级的学生为 1 A， 2 A， 5 A， 3 A， 6 A， 8 A， 非一级的学生为余下4人， X的所有可能取值为0，1，2，3 03 64 3 10 C C1 (0) C30 P X =， 12 64 3 10 C C3 (1) C10 P X =， 21 64 3 10 C C1 (2) C2 P X =， 3 6 3 10 C1 (3) C6 P X =， 随机变量X的分布列为： 1311 01231.8 301026 EX =

25、? 20 【答案】 （1） 22 1 168 xy ； （2） 2 | | | RQ ABAC 为定值，定值为2，详见解析 【解析】 （1）抛物线 2 16yx 的焦点( 4,0)A ，4a 上的点R与的两个焦点所构成的三角形的周长为8 4 2 ， 2 28 4 2ac ， 2 2c ， 222 8bac， 的方程为 22 1 168 xy （2） 2 | | | RQ ABAC 为定值2理由如下： 由题意可知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为(4)(0)yk xk， 令0x，得4yk，即(0,4 )Ck， 2 | 4 1ACk 由 22 1 16 (4) 8 yk x x y ，得

26、 2 2 2 48 12 8 12 B B k x k k y k ，即 2 22 488 (,) 1212 kk B kk ， 2 2 8 1 | 1 2 k AB k BCRQ，直线RQ的方程为ykx， 由 22 1 168 ykx xy ，得 2 2 2 2 2 16 12 16 12 R R x k k y k ， 2 2 2 16(1) | 12 k OR k 根据椭圆的对称性，知| 2|RQOR，即 2 2 2 64(1) | 1 2 k RQ k ， 2 2 2 2 2 2 64(1) | 1 2 2 | | 8 1 4 1 1 2 k RQ k ABAC k k k ， 故 2

27、 | | | RQ ABAC 为定值2 21 【答案】 （1）见解析； （2）证明见解析；证明见解析 【解析】 （1）由已知 2 28 ( )(0) xxa fxx x ， 当8a时， 2 280xxa，所以( )0fx，所以函数( )f x在(0,)上单调递增； 当08a时， 2 280xxa在(0,)上有两个不相等正实数根， 记 1 4162 2 a x ， 2 4162 2 a x ， 当 1 (0,)xx时，( )0fx，( )f x单调递增， 当 12 ( ,)xx x时，( )0fx，( )f x单调递减， 当 2 (,)xx时，( )0fx，( )f x单调递增； 当0a时， 1

28、 4162 0 2 a x ， 2 4162 0 2 a x ， 所以当 2 (0,)xx时，( )0fx，( )f x单调递减， 当 2 (,)xx时，( )0fx，( )f x单调递增 （2）( )f x定义域为(0,)，有两个极值点 1212 ,()x x xx， 则 2 ( )280t xxxa在(0,)上有两个不等正根， 所以 6480 (0)0 20 a ta x ，所以08a， 12 12 12 4 2 0 xx a x x xx ， 所以 21 1211 12 4 22 (4) 0 xx ax xxx xx ，所以 1 02x 这样原问题即证明当 1 02x且 1 1x ，1m

29、时， 2 1 11 1 ln (2)(43) 1 ax mxx x 成立， 即 111 11 1 2 (4)ln (2)(4)(1) 1 xxx mxx x ，即 11 1 1 2ln (2)(1) 1 xx mx x ， 即 11 1 1 2ln (2)(1)0 1 xx mx x ， 即 2 11 1 11 (2)(1) 2ln0 1 xmx x xx ，且 1 01x时， 1 1 0 1 x x ， 1 12x时， 1 1 0 1 x x 设 2 (2)(1) ( )2ln(02) mx h xxx x ， 2 2 (2)22 ( )(02) mxxm h xx x ， 当1m时，0，可

30、知( )0h x，所以在(0,2)上( )h x为减函数且(1)0h， 当01x时，( )0h x ，12x，( )0h x ，得 2 11 1 11 (2)(1) 2ln0 1 xmx x xx 成立， 从而得证 22 【答案】 （1） 22 (1):3Cxy， 3 : 3 l yx ； （2） 3 2 【解析】 （1）曲线C的参数方程为 13cos 3sin x y （为参数） ， 曲线C的普通方程为 22 (1)3xy， 直线l的斜率 53 tan 63 k ，直线l的直角坐标方程为 3 3 yx （2）解法一：曲线C的极坐标方程为 2 2 cos20， 将 5 6 代入曲线C的极坐标方

31、程，可得 2 320p， 设M，N对应的极径分别为 1 ， 2 ，则 12 3， 12 2 ， 12 | |3OMON， 12 | | | 2OMON ， |3 | |2 OMON OMON 解法二：由（1）知，曲线C的普通方程为 22 220xyx， 直线l的极坐标方程为 5 () 6 R，可设直线l的参数方程为 3 2 1 2 xt yt （t为参数） ， 代入曲线C的普通方程，得 2 320tt ， 设M，N对应的参数分别为 1 t， 2 t，故 12 3tt ， 1 2 2t t ， 12 | |3OMONtt， 1 2 | | | 2OMONt t， |3 | |2 OMON OMO

32、N 23 【答案】 （1） 1 ,) 4 ； （2） 1 (, 9 【解析】 （1）当1m时，( )6 |32 |f xx ， ( )(2)1f xf x，6 |32 | 6 |32(2)|1xx， 3 2 (32 )21 1 x xx 或 31 22 3221 1 x xx 或2 32(21)1 1 x xx ， 得 1 4 x ， 不等式( )(2)1f xf x的解集为 1 ,) 4 （2）关于x的不等式( )|1 2 |f xx 的解集不是空集， 即关于x的不等式|32 |1 2 |6mxxm 的解集不是空集， 则 min (|32 |1 2 |)6mxxm 又|32 |1 2 | |321 2 | |31|mxxmxxm ， 当且仅当(32 )(1 2 )0mxx时等号成立 |31|6mm ， 310 316 m mm 或 310 (31)6 m mm ，得 1 9 m 故实数m的取值范围为 1 (, 9