三垂直模型专题训练含解析.docx

1、三垂直模型专题训练一、解答题1（1）如图1，已知中，直线l经过点O，直线l， 直线l，垂足分别为点C，D依题意补全图l，并写出线段BC，AD，CD之间的数量关系为_；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，C，O，D三点都在直线l上，并且有，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在中，点A的坐标为，点C的坐标为，请直接写出点B的坐标2（1）问题：如图，在四边形中，是上一点，求证：；（2）问题：如图，在三角形中，是上一点，且求的值3（1）（问题原型）如图1，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，BC8将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连结CD

2、，过点D作BCD的BC边上的高DE，易证ABCBDE，从而得到BCD的面积为 （2）（初步探究）如图2，在RtABC中，ACB90，BCa，将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD用含a的代数式表示BCD的面积并说明理由（3）（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，ABAC，BCa，将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，连接CD，直接写出BCD的面积（用含a的代数式表示）4如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点（1）当时，求直线的解析式；（2）在（1）的条件下，如图2所示，设线段延长线上一点，作直线，过、两点分别作于点，于点，若，BN=3，求的长；（3）如图3，当取

3、不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，试猜想的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由（4）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边，点为直角顶点，在第二象限作等腰直角，则动点在直线_上运动（直接写出直线的解析式）5已知是等腰直角三角形，直角顶点C在x轴上，锐角顶点B在y轴上，过点A作轴，垂足为点D当点B不动，点C在x轴上滑动的过程中 （1）如图1，当点C的坐标是，点A的坐标是时，请求出点B的坐标；（2）如图2，当点C的坐标是时，请写出点A的坐标；（3）如图3，过点A作直线轴

4、，交y轴于点E，交BC延长线于点FAC与y轴交于点G当y轴恰好平分时，请写出AE与BG的数量关系6已知：如图，等腰三角形ABC中，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），垂足分别为D、E（1）求证：；（2）请判断DE、BE、AD三条线段之间有怎样的数量关系，并证明7问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，ACB90，ACBC，BEMN，ADMN，垂足分别为E、D图中哪条线段与AD相等？并说明理由问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写

5、出这个等量关系，并说明理由8已知：如图，ABC中，BAC90，ABAC，l是过点A的一条直线，BDl，CEl，垂足分别为D、E(1) 如图(1)，求证：DEBDCE；(2) 若直线l绕A点旋转到图(2)位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD、CE与DE之间的数量关系，并证明你的结论9已知RtABC，ACB90，ACBC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AEl，经过点B作BFl，连接DE、DF，猜想DEF的形状并证明10（1）如图，中，是过点的一条直线，且点，在的同侧，于，于求证：；（2）上题中，变成如图，在的异侧时，关系如何？

6、并加以证明11如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处（1）点的坐标是_，点的坐标是_，的长为_；（2）求点的坐标；（3）点是轴上一动点，若，直接写出点的坐标（4）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由12如图，三角形中，于，若，（1）求证：；（2）延长交于点，求证：13如图，已知，是直线上的点，（1）如图1，过点作，并截取，连接，判断的形状并证明；（2）如图2，若是直线上一点，且，直线，相交于点，的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由提示：联

7、想第（1）问的证明过程14如图，等腰中，点，分别在坐标轴上（1）如图1，若点的横坐标为，直接写出点的坐标_；图1（2）如图2，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以，为边在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围图215如图，于点E，于点F，其中（1）求证：； （2）若，求BE的长；（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断的形状，并说明理由参考答案1（1）补全如图所示见解析；（2）成立，证明见解析；（3）点B的坐标为【分析】（1）依题意补全图，易证AODOBC，则有AD=CO，OD=BC，

8、从而可得；（2）利用三角形内角和易证，再证明，同（1）即可证明结论；（3）过B、C两点作y轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B坐标【详解】（1）补全图1如图所示，；证明：，直线l， 直线l，BCO=ODA=90，BOC+OBC=90，又，BOC+AOD=90，OBC=AOD，在AOD和OBC中，AODOBC（AAS）AD=CO，OD=BC，（2）成立证明：如图，在和中（AAS），（3）点B的坐标为过程如下：过B、C两点作y轴垂线，垂足分别为M、N，同理（1）可得，CN=AM，AN=MB，点A的坐标为，点C的坐标为，CN=AM=3，ON=2，OA=1,MB=AN=

9、ON-OA=1，OM=AM-OA=2，点B在第四象限，点B坐标为：【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三角形是解本题的关键2（1）见解析；（2）1【分析】（1）先证明，从而得，进而即可得到结论；（2）过点做于点，易证，是等腰直角三角形，进而即可求解【详解】（1），在与中，；（2）过点做于点，在中， ，在与中，在中，【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键3（1）【问题原型】32；（2）【初步探究】BCD的面积为a2；（3）【简单应用】B

10、CD的面积为a2【分析】问题原型：如图1中，ABCBDE，就有DE=BC=8进而由三角形的面积公式得出结论；初步探究：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出ABCBDE，就有DE=BC=a进而由三角形的面积公式得出结论简单运用：如图3中，过点A作AFBC与F，过点D作DEBC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件可以得出AFBBED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论【详解】解：【问题原型】如图1中，如图1中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点EBED=ACB=90，线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD，A

11、B=BD，ABD=90ABC+DBE=90A+ABC=90A=DBE在ABC和BDE中，ABCBDE（AAS）BC=DE=8SBCD=BCDESBCD=32，故答案为32【初步探究】BCD的面积为a2理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点EBEDACB90线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE，ABBD，ABD90ABC+DBE90A+ABC90ADBE在ABC和BDE中，ABCBDE（AAS）BCDEaSBCDBCDESBCDa2；【简单应用】BCD的面积为a2 如图3中，过点A作AFBC与F，过点D作DEBC的延长线于点E，AFB=E=90，BF=BC=aFAB+ABF

12、=90ABD=90，ABF+DBE=90，FAB=EBD线段BD是由线段AB旋转得到的，AB=BD在AFB和BED中，AFBBED（AAS），BF=DE=aSBCD=BCDE，SBCD=aa=a2BCD的面积为a2【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键4（1）yx5；（2）7；（3）的面积不改变，；（4）y=5-x【分析】（1）令y0可求得x5，从而可求得点A的坐标，令x0得y5m，由OAOB可知点B的纵坐标为5，从而可求得m的值；（2）依据AAS证明AMOONB，由全等三角形的性质可知

13、ONAM，OMBN，最后由MNAMBN可求得MN的长；（3）过点E作EGy轴于G点，先证明ABOEGB，从而得到BG5，然后证明BFPGEP，从而得到BPGPBG，进而求出的面积；（4）由ABOBEG，得BGAO5，OBEG=5m（m0），从而得到点E的坐标，进而即可得到答案【详解】（1）令y=0，代入，得，解得：x=-5，令x=0，代入，得y=5m，A（5，0），B（0，5m），OAOB，5m5，即m1直线的解析式为：yx5；（2）AMOQ，BNOQ，AMOBNO90，AOMMAO90，AOMBON90，MAONOB，在AMO和ONB中，AMOONB，ONAM，OMBNAM4，BN3，MNA

14、MBN7；（3）的面积不改变，理由如下：如图3所示：过点E作EGy轴于G点，连接AP，AEB为等腰直角三角形，ABEB，ABOEBG90，EGBG，GEBEBG90ABOGEB在ABO和EGB中， ABOBEG，BGAO5，OBEG，OBF为等腰直角三角形， OBBF，BFEG在BFP和GEP中，BFPGEP，BPGPBG，的面积=BPOA=5=；（4）由（3）可知：ABOBEG，BGAO5，OBEG=5m（m0）OG=5+5m，点E在第二象限，点E（-5m，5+5m），设x=-5m，y=5+5m，y=5-x，即动点在直线y=5-x上运动，故答案是：y=5-x【点睛】本题主要考查一次函数的图像

15、和性质与几何图形的综合，添加合适的辅助线构造“一线三直角”全等三角形模型，是解题的关键5（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE，理由见详解【分析】（1）先证明RtADC RtCOB，结合条件，即可得到答案；（2）先证明ADC COB，结合点B，C的坐标，求出AD，OD的长，即可得到答案；（3）先证明BGCAFC，再证明ABEFBE，进而即可得到答案【详解】（1）点C的坐标是，点A的坐标是，AD=OC，又AC=BC，RtADC RtCOB（HL），OB=CD=2，点B的坐标是（0，2）；（2）ADx轴，DAC+ACD=90，又OCB+ACD=90，DAC=OCB，又ADC=C

16、OB=90，AC=BC，ADC COB（AAS），点C的坐标是AD=OC=1，点B的坐标是（0，2），CD=OB=2，OD=2-1=1，点A的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE，理由如下：是等腰直角三角形，轴，BCA=ACF=90，AEG=90，GBC+BGC=90，GAE+AGE=90，又BGC=AGE，GBC=FAC，在BGC和 AFC中，GBC=FAC， GBC=FAC，BGCAFC（ASA），BG=AF，BEAF，y轴恰好平分，ABE=FBE，AEB=FEB=90，BE=BE，ABEFBE，AE=FE，AF=2AEBG=2AE【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的

17、判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键6（1）见解析；（2），证明见解析【分析】（1）根据题意找出三角形全等条件证明即可；（2）由（1）中结论等量代换即可得出结果【详解】（1）证明：，在和中，（2）证明： 【点睛】此题考查三角形全等的证明，涉及到角角边及全等三角形的性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键7问题1，ADEC，证明见解析；问题2：DE+BEAD；问题3：DEAD+BE，证明见解析【分析】（1）由已知推出ADC=BEC=90，因为ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，推出DAC=BCE，根据AAS即可得到ADCCEB，即可得出AD=EC；（2）由（1）得到

18、AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）与（1）证法类似可证出ACD=EBC，能推出ADCCEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系【详解】解：（1）ADEC；证明：ADMN，BEMN，ADCBEC90，ACB90，ACD+BCE90，DAC+ACD90，DACBCE，ADCBEC，ACBC，ADCCEB，ADEC；（2）DE+BEAD；由（1）已证ADCCEB，ADEC，CD=EB，CE=ADCE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BEAD；（3）DEAD+BE证明：BEBC，ADCE，ADC90，BEC90，EBC+ECB90，ACB90，ECB+AC

19、D90，ACDCBE，ADCBEC，ACBC，ADCCEB，ADCE，CDBE，CD+CEDC，DEAD+BE【点睛】此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强8（1）详见解析；（2）结论：DECEBD，详见解析【分析】（1）利用已知得出CAE=ABD，进而利用AAS得出则ABDCAE，即可得出DE=BD+CE；（2）利用已知得出CAE=ABD，进而利用AAS得出则ABDCAE，即可得出BD、CE与DE之间的数量关系【详解】解：(1)证明：BDl，CEl，BDAAEC90又 ，BADCAE90，BADABD90

20、，CAEABD 在ABD和CAE中ABD CAE BDAE，ADCE DEADAE，DECEBD (2) 如图所示： 结论：DECEBD 证明：BDl，CEl，BDAAEC 90BADCAE90，BADABD90，CAEABD 在ABD和CAE中ABDCAE(AAS) BDAE，ADCEDEADAEDECEBD【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出ABDCAE是解题关键9DEF为等腰直角三角形，证明见详解【分析】可先证明RtACE与RtCBF全等，再通过边角关系证明AEDCFD，进而可得AE与DE相等，即为等腰三角形【详解】解：DEF为等腰直角三角形；证明：如图，连接

21、CD，AECE，BFCE，AECBFC90，ACE+BCF90，BCF+CBF90，ACECBF，在ACE与CBF中，ACECBF（AAS），AECF，CAEBCF，CABDCB45，FCDDAE，又ADCD，AEDCFD，EDFD，ADECDF，EDFADE+ADFCDF+ADF90，DEF为等腰直角三角形【点睛】本题考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定，能够运用三角形的全等得出线段相等对应角相等，正确作出辅助线是解题的关键10（1）见解析；（2），证明见解析【分析】（1）先证明ADBCEA，得出，从而证明；（2）先证明BADACE，得出BD=AE，AD=E

22、C，从而判定，关系即可【详解】证明：（1），在与中，；（2），理由如下：，在与中，【点睛】本题是对全等三角形知识的综合考查，熟练掌握三角形全等的判定是解决本题的关键.11（1），5；（2）；（3）点M的坐标为或；（4）存在，或或【分析】（1）直接利用直线AB的解析式求A，B的坐标即可，然后利用勾股定理即可求出AB的长度；（2）利用折叠的性质得出AB=AD，然后利用OD=OA+AD求出点D的坐标，最后利用勾股定理即可求解；（3）首先求出，进而得出，然后设出点M的坐标，建立方程求解即可；（4）分三种情况：若；若；，若，分别利用全等三角形的判定及性质讨论即可【详解】（1）令，则；令，则，解得， ，

23、，；（2）由折叠的性质可知， 设，则 ，在中， ，解得 ， ；（3）， ，设点M的坐标为 ， ，解得或，点M的坐标为或；（4）存在，理由如下：若，如图，过点P作交OA于点G， ，在和中， ， ， ，此时点P的坐标为 ；若，如图，过点P作交OB于点H，同理可得，此时点P的坐标为； 若，如图，过点P作交OA于点M，交OB于点N， ，在和中， ， ， 设点P的坐标为， ， 解得 ，此时点P的坐标为综上所述，点P的坐标为或或【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键12（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）求出ADC=BDF=90，根据SAS证ADCB

24、DF，根据全等三角形的性质推出FBD=CAD即可；（2）根据三角形的内角和定理求出FBD+BFD=90，推出AFE+EAF=90，在AFE中，根据三角形的内角和定理求出AEF即可【详解】证明：（1）ADBC，ADC=BDF=90，在ADC和BDF中，ADCBDF（SAS），FBD=CAD；（2）BDF=90，FBD+BFD=90，AFE=BFD，由（1）知：FBD=CAD，CAD+AFE=90，AEF=180-（CAD+AFE）=90，BEAC【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，关键是推出ADCBDF13（1）CDF是等腰直角三角形，见解析；（

25、2）是，45【分析】（1）利用SAS证明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AFAB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，FDC=90，即可得出FCD=APD=45【详解】解：（1）CDF是等腰直角三角形AFAD，ABC=90，FAD=DBC，在FAD与DBC中，FADDBC（SAS），FD=DC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FDA=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF是等腰直角三角形；（2）APD的度数是一个固定值，等于45作AFAB于A，使A

26、F=BD，连结DF，CF，如图，AFAD，ABC=90，FAD=DBC，在FAD与DBC中， ，FADDBC（SAS），FD=DC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FDA=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF是等腰直角三角形，FCD=45，AFCE，且AF=CE，四边形AFCE是平行四边形，AECF，APD=FCD=45【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用解答时证明三角形全等是关键14（1）；（2）不变，PB的值为3【分析】（1）作CDBO，可证ABO全等于BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即

27、可解题；（2）作EGy轴，可证BAO全等于EBG全等于EGP全等于FBP，可得BG=OA和PB=PG,即可求得PB是AO的2倍，即可得到结论【详解】（1）如图，作CDBO于D，CBD+ABO=90，ABO+BAO=90，CBD=BAO,在ABO和BCD中，ABOBCD,CD=BO=5,B点的坐标（0,5）故答案为：（2）不发生改变，理由如下：作轴于，在和中，在和中，不变，PB的值为3【点睛】本题考查三角形全等、等腰直角三角形性质、勾股定理、角平分线性质，熟练掌握添加辅助线证明三角形全等是解题的关键15（1）证明见解析；（2）13；（3）是等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）先根据垂直的定义

28、可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，由此即可得；（3）如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据三角形全等的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等腰直角三角形的判定即可得【详解】（1），在和中，；（2）由（1）已证：，；（3）是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接CQ，是等腰直角三角形，点Q是斜边AB的中点，由（1）已证：，即，在和中，是等腰三角形，又，即，是等腰直角三角形【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键