(甘志国)蒙日圆及其证明.doc
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- 关 键 词:
- 甘志国 日圆 及其 证明
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1、蒙日圆与其证明甘志国(已发表于 某某理科教学研究,2015(5):11-13)高考题 (2014年高考某某卷文科、理科第20题)椭圆的一个焦点为,离心率为(1)求椭圆的标准方程;(2)假如动点为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程答案:(1);(2)这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书数学2必修A版(人民教育,2007年第3版,2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge,1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理1 曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1
2、的两种解析几何证法:定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标是,或.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P的坐标是且,所以可设曲线的过点P的切线方程是.由,得由其判别式的值为0,得因为是这个关于的一元二次方程的两个根,所以 由此,得进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标是,或.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P的坐标是且,所以可设两个切点分别是.得直线,切线.所以: 因为点既在曲线上又在直线上,所以所以 由此,可得进而可得欲证成
3、立.再给出该定理的两种平面几何证法,但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质,见普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1A版(人民教育,2007年第2版,2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示,设为椭圆(其左、右焦点分别是)上任意给定的点,过点作的外角平分线所在的直线.先证明和相切于点,只要证明上异于的点都在椭圆的外部,即证:图2在直线上选取点,使,得,所以,还得再过点作的平分线,易得,入射角等于反射角,这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆(其中心是点O,长半轴长是)的任一焦点F作椭圆的
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