倒数和微分求导法则课件.ppt

1、 一、导数的四则运算2 求导法则 导数很有用，但全凭定义来计算导 四、基本求导法则与公式 三、复合函数的导数 二、反函数的导数求导法则,使导数运算变得较为简便.数是不方便的.为此要建立一些有效的一、导数的四则运算000()()()().(1)x xu xv xu xv x 在点在点 x0 也可导也可导,且且()()()f xu xv x00000()()()()()().(2)x xu x v xu x v xu x v x 推论推论 若若 u(x)在点在点 x0 可导可导,c 是常数是常数，则则 在点在点 x0 也可导也可导,且且()()()f xu x v x 定理定理 5.6 若函数若函

2、数 在点在点 x0 可导可导,则函数则函数(),()u x v x定理定理 5.5 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导,则函数则函数(),()u x v x()().()003xxcu xcux ().uvwu vwuv wuvw定理定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形可推广到任意有限个函数相乘的情形,如如 下面证明乘积公式下面证明乘积公式(2),请读者自行证明公式请读者自行证明公式(1).()()()()()lim000000 xu xx v xxu xv xfxx 00000()()()()limxu xx v xxu xv xxx 证证(2)按定义可得按定义可得 0000(

3、)()()()u xv xxu xv xx 0000()()lim()xu xxu xv xxx 注意注意:,:,千万不要把导数乘积公式千万不要把导数乘积公式(2)()uvu v 记错了记错了.0000()()()().u xv xu xv x0000()()lim()xv xxv xu xx 例例1 1011().nnnnf xa xa xaxa 求的导数求的导数1011()()()()()nnnnfxa xa xaxa解解 因此因此,对于多项式对于多项式 f 而言而言,总是比总是比 f 低一低一个幂次个幂次.f 例例2 sinln.yxxx求求在在处处的的导导数数解解 由公式由公式 (2)

4、，得，得 12011(1).nnnna xna xaln.xy 1(sin)lnsin(ln)coslnsin,yxxxxxxxx0000020()()()()().(4)()()x xu x v xu x v xu xv xvx 在点在点 x0 也可导也可导，且且()()()u xf xv x 则则定理定理5.7 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导,(),()u x v x0()0,v x 证证1()()()().(),()g xf xu x g xg xv x设，则对有设，则对有000011()()()()v xxv xg xxg xxx 0000()()1.()()v xxv xxv

5、 xxv x 由于由于 在点在点 x0 可导可导,因此因此0()0,v x()v x对对 应用公式应用公式(2)和和(5),得得()()()f xu x g x 0000200()()()()lim,()xg xxg xv xg xxvx 0020()1.()()x xv xv xvx 亦即亦即(5)00000()()()()(),fxu xg xu xg x0000020()()()()().()()x xu xv xu xv xu xv xvx 即即例例3 求下列函数的导数：求下列函数的导数：22222cossin1sec.coscosxxxxx(i),;nxn 是正整数是正整数(ii)t

6、an,cot;xx(iii)sec,csc.xx解解1121(i)().nnnnnnxxnxxx 2sin(sin)cossin(cos)(ii)(tan)coscosxxxxxxxx 同理可得同理可得 sectan.xx 221(cos)sin(iii)(sec)coscoscosxxxxxx (csc)csccot.xxx 221(cot)csc.sinxxx 同理可得同理可得001().(6)()fxy 证证00,xxxyyy设设则则00()(),xyyy00()().yf xxf x 定理定理 5.8 设设 为为 的反函数，的反函数，在在()yf x()xy 由由假设假设,在点在点1f

7、 0 x的某邻域内连续的某邻域内连续,且严格且严格二、反函数的导数f00()xy 则则 在点在点 可导可导,且且0y0()0,y 点点 的某邻域内连续，严格单调的某邻域内连续，严格单调,且且00;00.xyxy 000011lim.()limxyyfxxxyy 例例4 求下列函数的导数：求下列函数的导数：,0)(0 y 便可证得便可证得注意到注意到单调单调,从而有从而有(i)arcsinarccos;xx和和(ii)arctanarccot.xx和和解解(i)arcsin,(1,1)sinyxxxy 是在是在2111(arcsin),(1,1).(sin)cos1xxyyx 21,(arcco

8、s),(1,1).1xxx 同理同理上的反函数，故上的反函数，故()22，yyyx22tan11sec1)(tan1)(arctan ).,(,112 xx同理有同理有21(arccot),1xx (,).x 的反函数，故的反函数，故(ii)arctantanyxxy是在是在上上()22，定理定理 5.90()()uxxyf u 设在点可导，在点设在点可导，在点00()uxf 可可导导，则则复复合合函函数数在点在点 x0 可可这个定理一般用有限增量公式来证明这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与但为了与 00000()()()()()().(7)fxfuxfxx 导，导，且且三、复合函数的

9、导数证法证法,为此需要先证明一个引理为此需要先证明一个引理.今后学习向量函数相联系今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的这里采用另一种新的引理引理 f 在点在点 x0 可导的充要条件是可导的充要条件是:在在 x0 的的某邻某邻00()(),U xxH x域上存在一个在连续的函数使域上存在一个在连续的函数使证证 设设 f(x)在点在点 x0 可导可导,且令且令00000()(),()()(),.f xf xxUxxxH xxxfx 00()().fxH x 且且),)()()(00 xxxHxfxf 000000()()lim()lim()(),xxxxf xf xH xfxH xxx 因因

10、0()H xx故在连续，且故在连续，且00,()(),H xxU xx 反之设存在在点连续且反之设存在在点连续且000()()()(),().f xf xH xxxxU x ),()(limlim00000 xHxHxxxfxfxxxx 得得 f(x)在点在点 x0 可导可导,).()(00 xHxf 且且下面证明定理下面证明定理 5.9(公式公式(7).).(),)()()(000 xUxxxxHxfxf 根据极限根据极限),(0uFu 连续的函数连续的函数个在点个在点且且使使)()(00uFuf 同理，同理，,)(0可可导导在在点点 xxu 则存在一个在点则存在一个在点 x0).(),)(

11、)()(000uUxuuuFufuf 0000()()()(),().uuxxxxxxU x 于是当于是当 有有),(0 xUx 由引理的必要性由引理的必要性,)(0可可导导在在点点及及uuf知存在一知存在一(),x 00()(),xx 使使且且连续的函连续的函数数00()()()()().fxfxFxxx x公式公式(7)改写为改写为00000()()()()().H xFxxfux ddd,dddxyuyux 0,x 由由于于在在点点连连续续)(00 xuF 在点在点连续，连续，0()()().H xFxxx 所所以以在在点点连连续续根据引根据引 理的充分性理的充分性,0,fx 在在点点可

12、可导导 且且)()(0 xf (),(),yf u ux 其中其中这样就容易理解这样就容易理解“链链”的的复合函数求导公式复合函数求导公式(7)又称为又称为“链式法链式法则则”.若将若将()()().fxfxx 与的不同含义与的不同含义例例5.sin2yxy 的导数的导数求函数求函数在链式法则中一定要区分在链式法则中一定要区分()()()|uxfxfu 22dd d(sin)()cos22 cos.dddyyuuxuxxxxux意义了意义了.解解分解成分解成 这两个这两个2sinyx 将将2sinyuux与与于是由链式法则于是由链式法则,有有基本初等函数的复合，基本初等函数的复合，例例6(,0

13、).yxx 求幂函数是实数的导数求幂函数是实数的导数解解lneelnxuyxyux 由与由与复合而成复合而成,ln1()(e)e.xuxxx 故故例例7求下列函数的导数求下列函数的导数:2(i)1;x 21(ii);1x 2(iii)ln(1).xx解解 运用复合求导法则运用复合求导法则,分别计算如下分别计算如下:122221(i)()(1)(1)12xxx 2.1xx 23 22211(ii)(1)(1)21xxx 2 3.(1)xx 2(iii)ln(1)xx 221(1)11xxxx221(1)1xxxx 21.1x 例例8 8 求下列函数的导数求下列函数的导数:21(i)()arcta

14、n(tan);332xf x 1,0,1e(ii)()0,0.xxxg xx 解解222111(i)()sec133221tan92xfxx 2211.54cos9cossin22xxx (ii)0 x 当时,当时,111211ee().(1e)xxxxg x 0 x 当时,因为当时,因为101(0)lim00,1exxxgx 所以所以 在在 处不可导处不可导.g0 x 101(0)lim01,1exxxgx 化某些连乘、连除式的求导化某些连乘、连除式的求导.()()ln()()ln()()(e)e()ln()v xv xu xv xu xu xv xu x()()()()ln()().()v

15、 xu xu xv xu xv xu x 例例923142 5(1)(2),.(59)xxyyx 设求设求对数求导法对数求导法()0,()u xu x 设设 均可导均可导,则则()v x与与()()v xu x对数求导法不仅对幂指函数对数求导法不仅对幂指函数有效有效,也能简也能简解解 先对函数两边取对数先对函数两边取对数,得得再对上式两边求导再对上式两边求导,又得又得于是得到于是得到).95ln(52)2ln(41)1ln(3ln2 xxxy26125.4(2)5591yxyxxx 2314225(1)(2)612.4(2)59(59)1xxxyxxxx 求导法则：求导法则：);()(,)()

16、2(为常数为常数cuccuvuvuuv d1(4);dddyxxy 反函数的导数反函数的导数;1,)3(22vvvvvuvuvu ;)()1(vuvu 四、基本求导法则与公式基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：(1)()0();cc 为为常常数数);()()2(1为任意实数为任意实数 xx;sin)(cos,cos)(sin)3(xxxx ;cotcsc)(csc,tansec)(secxxxxxx ;csc)(cot,sec)(tan)4(22xxxx ddd(5).dddyyuxux 复合函数的导数复合函数的导数11(6)(log),(ln);lnaxxxax(5)()ln,(

17、e)e;xxxxaaa,20200?2211(7)(arcsin),(arccos),11xxxx 21(arccot).1xx 21(arctan),1xx 事故案例为救一人，七人丧命为救一人，七人丧命 1999年7月30日，西宁铁二中小学部夏令营的60名师生到青岛一家著名企业的工业园参观。小学生霍鹏在碧波荡漾的如意湖边照相，不慎落水。为救小学生，霍鹏的同学、老师、导游、公司员工等19人纷纷跳下湖 结果，有七个大人被夺去了生命。孩子都获救了。医生诊断结果：触电溺水身亡 原因：如意湖内有三台潜水泵和7个水下射灯，事故是由其中一个潜水泵漏电所致。Q&A Q：为什么身亡的七人都是大人？Q：潜水泵虽

18、漏电，但通过湖水与大地相连，接了地，为什么还能电人？A：罪魁祸首是跨步电压跨步电压跨步电压（跨步电压（UN）ba20 mUNUE 可见，从漏电点到20m外的大地，电压是逐渐降低的。大人身高体长，在水中所承受的电压也就大。二、二、触电事故及其对策触电事故及其对策 触电事故的种类电击电击 直接接触直接接触电击：触及正常状态下带电的带电体。间接接触间接接触电击：触及正常状态下不带电、而在故障下意外带电的带电体。单线单线电击：人占在地面上，与一线接触。（可以是直接或间接）两线两线电击：人与地面隔离，两手各触一线。（可以是直接或间接；可以是两相，也可以是单相）跨步电压跨步电压电击：（前面已经介绍）电伤：

19、电伤：电弧烧伤、电流灼伤、皮肤金属化、电气机械性伤害等。电流对人体的作用电流对人体的作用 人本身就是一种电气设备，人本身就是一种电气设备，这是因为：人的整个神经系统是以电信号和电化学反应为基础人的整个神经系统是以电信号和电化学反应为基础的。的。上述电信号和电化学反应所涉及的能量是非常小的。上述电信号和电化学反应所涉及的能量是非常小的。人只要求正常功能所必要的电能，由于这人只要求正常功能所必要的电能，由于这个能量非常小，因此，系统功能很容易被个能量非常小，因此，系统功能很容易被破坏。破坏。电击致命原因 心室颤动心室颤动 数秒数分钟（分钟）死亡 波前半部（约0.1s）心脏易损（激）区 心室颤动，幅

20、值小，频率高（8001000次/每分钟以上），无规则，发生始于T波的前半部。收缩舒张心室颤动 窒息窒息 窒息缺氧或中枢神经反射室颤.特点:致命时间较长。1020分钟。电休克电休克（昏迷）由于中枢神经反射造成体内功能障碍，昏迷时间长后的死亡。电流效应的影响因素（一）电流值（一）电流值（工频）感知电流感知电流引起感觉的最小电流。如轻微针刺，发麻。平均（概率50%），男：1.1 mA ；女：0.7 mA 摆脱电流摆脱电流能自主摆脱带电体的最大电流。平均（概率50%），男：16mA；女：10.5 mA 最低（概率0.5%），男：9mA；女：6 mA 室颤电流室颤电流引起心室发生心室纤维性颤动的最小电流

21、。I颤 50 mA 适用于当1s t 5s时；I颤 50/t mA 适用于当0.01 s t 1s时。电流效应的影响因素（二）（二）电流持续时间 t 吸收电能 伤害 t 电流重合心脏易损（激）期，危险 t 人体电阻 人体电流 伤害 t 中枢神经反射 危险 电流效应的影响因素（三）电流途径（三）电流途径 不同途径，危险性不同，但没有不危险的途径。最危险的是：左手到前胸。判断危险性，既要看电流值，又要看途径。电流效应的影响因素（四）电流种类 高频电流高频电流烧伤比工频电流严重，但电击的危险性较小。冲击电流冲击电流指作用时间0.110ms的电流。种类：方脉冲、正弦波、电容放电脉冲。影响室颤的主要影响

22、因素影响室颤的主要影响因素是It和I2t的值。（I 有效值）直流电流直流电流持续时间心脏周期时，室颤阈值为交流的数倍；持续时间200 ms时，室颤阈值与交流大致相同。电流效应的影响因素（五）个体特征 因人而异，健康情况、健壮程度、性别、年龄。人体电阻 人体阻抗等值电路 RS1、RS2 皮肤电阻（皮肤外面的电极与真皮之间的电阻）CS1、CS2 皮肤电容（皮肤外面的电极与真皮之间的电容，数PF 数F），Ri 体内电阻CS1RiRS2RS1CS2人体电阻的数值及影响因素 变化范围 皮肤表皮最外层角质层角质层其厚度一般不超过0.05 0.2mm，但其电阻率很大，可达1105 1106 m。但数十V即可

23、击穿角质层，使人体阻抗急剧下降。除去角质层，干燥的情况下，人体电阻：10003000；潮湿的情况下，人体电阻：500 800。影响因素 电气参数：U（接触电压）RP，I RP，f XCP；皮肤表面状态：潮湿、导电污物、伤痕、破损；皮肤表面接触状态：接触压力、面积。直接接触电击防护直接接触电击防护 基本防护原则防护原则应使危险的带电体不会被有意或无意地触及。基本防护措施基本防护措施绝缘、屏护和间距绝缘、屏护和间距间接接触电击防护 防止间接接触电击的技术措施：防止间接接触电击的技术措施：保护接地（基本技术措施）保护接地（基本技术措施）保护接零（基本技术措施）保护接零（基本技术措施）加强绝缘加强绝缘

24、 电气隔离电气隔离 不导电环境不导电环境 等电位联结等电位联结 特低电压特低电压 漏电保护器漏电保护器保护接地（保护接地（IT系统）系统）保护接地是最古老的电气安全措施。保护接地是防止间接接触电击的基本安全技术措施保护接地（保护接地（IT系统）系统）保护原理保护原理（适用于各种不接地网）RE与RP（人体电阻）呈并联关系，且RE/RP RE REZ，UP（人体电压）在安全范围内。L1L2L3REIPZ保护接零（保护接零（TN系统）系统）保护原理保护原理漏电单相短路单相短路电流ISS单相短路保护元件动作迅速切断电源实现保护。ISSL1L2L3RNPENNTN-C系统L3L1L2PEN外露可导电部分

25、电力系统接地点TN-S系统L3L1L2NPE外露可导电部分电力系统接地点TN-C-S系统系统L3L1L2PEN外露可导电部分电力系统接地点PEN应用与类型 适用适用保护接零适用于低压中性点直接接地的三相四线配电网。此系统中，凡因绝缘损坏而可能呈现危险对地电压的金属部分均应接零。三种方式：三种方式：TN-S系统、系统、TN-C-S系统、系统、TN-C系统系统TN-S可用于爆炸、火灾危险性较大或安全要求高的场所，宜用于独立附设变电站的车间。也适用于科研院所、计算机中心、通信局站等。正常工作条件下，外露导电部分和保护导体呈零电位最“干净”的系统。TN-C-S宜用于厂内设有总变电站，厂内低压配电场的所

26、及民用楼房。TN-C可用于爆炸、火灾危险性不大，用电设备较少、用电线路简单且安全条件较好的场所。等电位联结等电位联结 目的目的构成等电位空间 主等电位联结主等电位联结（Main Equipotential Bonding）在建筑物的进线处将PE干线、设备PE干线、进水管、总煤气管、采暖和空调竖管、建筑物构筑物金属构件和其他金属管道、装置外露可导电部分等相连结。辅助等电位联结辅助等电位联结（Supplementery Equipotential Bonding）在某一局部将上述管道构件相连结。（作为补充，进一步提高安全水平）1保护线；2总等电位联结线；3接地线；4辅助等电位联结线；B总等电位联结

27、（接地）端子板；N外露导电部分；C装置外导电部分；P金属水管干线；T接地极建筑物内总等电位联结图建筑物内总等电位联结图双重绝缘和加强绝缘双重绝缘和加强绝缘工作绝缘工作绝缘又称基本绝缘或功能绝缘，是保证电气设备正常工作和防止触电的基本绝缘。位于带电体与不可触及金属件之间。保护绝缘保护绝缘又称附加绝缘，是在工作绝缘因机械破损或击穿等而失效的情况下，可防止触电的独立绝缘。位于不可触及金属件与可触及金属件之间。双重绝缘双重绝缘 是兼有工作绝缘和附加绝缘的绝缘。加强绝缘加强绝缘 是基本绝缘经改进，在绝缘强度和机械性能上具备了与双重绝缘同等防触电能力的单一绝缘。在构成上可以包含一层或多层绝缘材料。识别和选

28、用 具有双重绝缘和加强绝缘的设备属于类设备。类设备无须再采取接地、接零等安全措施。标志标志：“回回”作为类设备技术信息一部分。手持电动工具应优先选用手持电动工具应优先选用类设备。类设备。特低电压特低电压 特低电压特低电压又称安全特低电压安全特低电压，是属于兼有直接接触电击和间接接触电击防护的安全措施。保护原理：保护原理：通过对系统中可能会作用于人体的电压进行限制，从而使触电时流过人体的电流受到抑制，将触电危险性控制在没有危险的范围内。特低电压特低电压 额定值额定值 特低电压额定值（工频有效值）的等级：特低电压额定值（工频有效值）的等级：42V、36V、24V、12V和6V 选用选用：根据使用环

29、境、人员和使用方式等因素确定。特低电压特低电压&安全电源安全电源 根据国际电工委员会相关的导则中有关慎用“安全”一词的原则，上述安全电压的说法仅作为特低电压保护型式的上述安全电压的说法仅作为特低电压保护型式的表示表示，即：不能认为仅采用了“安全”特低电压电源就能防止电击事故的发生！安全特低电压必须由安全电源供电由安全电源供电。可以作为安全电源的主要有：安全隔离变压器 蓄电池及独立供电的柴油发电机 即使在故障时仍能够确保输出端子上的电压不超过特低电压值的电子装置电源等。漏电保护漏电保护 漏电保护漏电保护 利用漏电保护装置来防止电气事故的一种安全技术措施。漏电保护装置漏电保护装置又称为剩余电流保护

30、装置，简称RCD（Residual Current Operated Protective Device）。漏电保护装置是一种低压安全保护电器。漏电保护装置的原理漏电保护装置的原理中间环节检测元件放大元件比较元件执行机构试验装置辅助电源漏电电流 漏电保护装置的工作原理漏电保护装置的工作原理L1L2L3NTLQFTA中间环节M漏电保护装置的选用选用防止人身触电事故防止人身触电事故 用于直接接触电击防护时用于直接接触电击防护时：应选用额定动作电流为30mA及其以下的高灵敏度、快速型。变配电站和变配电设备变配电站和变配电设备 变配电站（室）是工厂生产的动力枢纽，其运行正常与否直接影响着全厂生产系统的运行和安全。变配电站（室）设置有各种变配电设备，如各种高低压开关、变压器、互感器、电力电容器、避雷器，敷设有各种高低压电缆、母线等电气线路。上述电气设备和线路具有电压高、电流强、控制能量大的特点，一旦失控，就容易引发严重事故。