九连环的起源、发展和理论课件.ppt

1、 一、起源与发展一、起源与发展 九连环流传千年而不衰，征服了无数中外爱好者，是中华民族传统文化中的一颗璀璨明珠。与七巧板、华容道、鲁班锁并称为我国古代四大智力玩具。九连环在英语里的名称是The Chinese Rings，或The Chinese Rings Puzzle。其最早可追溯最早可追溯到先秦时代，在战国策到先秦时代，在战国策齐策中有这样一则故事：齐策中有这样一则故事：秦王曾派使者送给齐国王后一个玉连环，并且问：秦王曾派使者送给齐国王后一个玉连环，并且问：“齐国齐国有不少聪明人，能否解开这玉连环？有不少聪明人，能否解开这玉连环？”这当然是在故意刁难齐这当然是在故意刁难齐国君臣，以显示秦

2、国的强大。王后遍示群臣，竟没有人能解开。国君臣，以显示秦国的强大。王后遍示群臣，竟没有人能解开。最后齐国的王后只好最后齐国的王后只好“引椎椎破之引椎椎破之”，当然，这种以毁坏性的，当然，这种以毁坏性的方式只能算是无奈之举，本质上不能算作解开。因关系到两国方式只能算是无奈之举，本质上不能算作解开。因关系到两国外交上的体面，齐国王后虽然不知道解法，也不肯在秦使面前外交上的体面，齐国王后虽然不知道解法，也不肯在秦使面前认输，所以才想出了这么一招。认输，所以才想出了这么一招。在明清时期，上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它。很多著名文学作品都提到过九连环，红楼梦中就有林黛玉巧解九连环的记载。在国外

3、，数学家卡尔达诺在公元 1550 年已经提到了九连环。后来，数学家华利斯对九连环做了精辟 的分析。格罗斯也深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。一、起源与发展一、起源与发展 19世纪的格罗斯经过运算，证明世纪的格罗斯经过运算，证明解开九连环解开九连环共需要三百共需要三百四十一步，到目前为止还没有其它更为便捷的答案。四十一步，到目前为止还没有其它更为便捷的答案。解九连环不但难度大，而且操作相当复杂，即使是熟手，解九连环不但难度大，而且操作相当复杂，即使是熟手，也需也需 68 分钟分钟(目前最快纪录可在目前最快纪录可在3分钟左右分钟左右)。十连环的话，需要十连环的话，需要682步，

4、步，20到到40分钟才能解开；分钟才能解开；假如做成三十三连环，即使你夜以继日，不吃不喝，一假如做成三十三连环，即使你夜以继日，不吃不喝，一步不错，一世也解不开它，因为要走步不错，一世也解不开它，因为要走57亿步，约需亿步，约需180年才能年才能解开。解开。一、起源与发展一、起源与发展1.环与环杆环与环杆2.环杆与环杆板环杆与环杆板二、结构与特点二、结构与特点 九连环主要是由一个框架和九个圆环组成：九连环主要是由一个框架和九个圆环组成：每个圆环上连有一个直杆，而这个直杆则在后每个圆环上连有一个直杆，而这个直杆则在后面一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用一块面一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用一块

5、木板或圆环相对固定，以解开为胜。木板或圆环相对固定，以解开为胜。二、结构与特点二、结构与特点环杆板环杆环手柄二、结构与特点二、结构与特点2023-5-18三、功能与特点三、功能与特点 九连环可以从小就培养青少年对数学的兴趣，寓教其中，让学生理解数学多么奥妙，多么有趣。解九连环还有三大功能：1、培养学生打破思维定势，从多角度多渠道去看事物，容易找出新的解决办法。2、培养学生注意力、耐心、和信心。3、培养学生的好奇、好问、好动、好玩的好习惯。2023-5-18连环类玩具有三大特点：连环类玩具有三大特点：一是挑战性。一是挑战性。任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的难度极高，甚至令人觉得根本不可能

6、解开。因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。二是规律性。二是规律性。智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。三是趣味性。三是趣味性。伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，儿童更是如此。挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。三、功能与特点三、功能与特点1.当作门锁当作门锁法

7、国人早就把九连环用来代替锁，以防盗贼法国人早就把九连环用来代替锁，以防盗贼;英国人则最早于英国人则最早于1818世纪，用于农舍防盗世纪，用于农舍防盗.2.应用于魔术表演应用于魔术表演魔术表演中，经常能看到环环相扣、美轮美奂的表演，。魔术表演中，经常能看到环环相扣、美轮美奂的表演，。3.留客留客 古时候商人们都称古时候商人们都称“九连环九连环”为为“留客计留客计”。因为九连因为九连环游戏过程的长时间性，所以被古人经常用作留住客人的环游戏过程的长时间性，所以被古人经常用作留住客人的手段。手段。九连环的妙用九连环的妙用三、功能与特点三、功能与特点 九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由九连环的每

8、个环互相制约，只有第一环能够自由上下。要想下上下。要想下/上第上第n个环，就必须满足两个条件个环，就必须满足两个条件（第一个环除外）：（第一个环除外）：第第n-1个环在架上；个环在架上；第第n-1个环前面的环全部不在架上。个环前面的环全部不在架上。四、九连环的基本解法四、九连环的基本解法 一句话概括：一句话概括：后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻 的那个环。的那个环。解法的本质：解法的本质：解解n连环，就是先解一个连环，就是先解一个n-2连环，再解最后一个环，连环，再解最后一个环，再上再上n-2连环，再解连环，再解n-1连环。连环。四、九连环的

9、基本解法四、九连环的基本解法 每一个环的上法：从杆的中间上穿并从手柄的顶端套入 每一个环的下法：从杆的顶端解套并从手柄的中间下放四、九连环的基本解法四、九连环的基本解法12环：同上同下 （12上12下）基本练习（一）基本练习（一）第1环：自由上下 （1上1下）2023-5-1813环下法：1下3下1上12下 基本练习（二）基本练习（二）2023-5-18 基本练习（三）基本练习（三）13环上法：12上1下3上12上2023-5-18问题与思考问题与思考思考：12环在上，3能否拿下？12环在下，3能否上去？3在什么情况下可以自由上下？回答：3的前面有且只有2时，才能自由上下。结论：结论：后一个环

10、要上或下，则前面要有且只有与它相邻后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻 的那个环。的那个环。2023-5-1814环下法：12下4下12上1下3下1上12下 基本练习（四）基本练习（四）2023-5-1814环上法：12上1下3上1上12下4上12上 基本练习（五）基本练习（五）2023-5-18归纳与总结归纳与总结过程总结：14环下环全部过程：12环下，4环下。12环上，13环下。14环上环全部过程：13环上，12环下。4环上，12环上。结论：4的前面有且只有3时，才能自由上下。2023-5-1815环下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下 4下12上1下3下1上12下

11、基本练习（六）基本练习（六）2023-5-1815环上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下 1上12下5上12上1下3上12上基本练习（七）基本练习（七）2023-5-18归纳与总结归纳与总结过程总结：15环下环全部过程：13环下，5环下。13环上，14环下。15环上环全部过程：14环上，13环下，5环上。13环上。结论：5的前面有且只有4时，才能自由上下。2023-5-18比一比比一比 赛一赛赛一赛一、看谁先完成15环的下环过程二、看谁先完成15环的上环过程2023-5-18挑 战 1、3、5在下，2、4在上。1、3、5在上，2、4在下。1、2、4在上，3、5在下。1、2、4在下，

12、3、5在上。看谁最快能达到以下状态：看谁最快能达到以下状态：2023-5-1815环下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下 4下12上1下3下1上12下复习与巩固（一）复习与巩固（一）2023-5-1815环上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下 1上12下5上12上1下3上12上复习与巩固（二）复习与巩固（二）2023-5-18复习与巩固（三）复习与巩固（三）过程总结：15环下环全部过程：13环下，5环下。13环上，14环下。15环上环全部过程：14环上，13环下，5环上。13环上。结论：5的前面有且只有4时，才能自由上下。2023-5-18下1-7环过程：15环下

13、，7环下。15环上，16环下。基本练习（一）基本练习（一）2023-5-18上1-7环过程：16环上，15环下，7环上。15环上。基本练习（二）基本练习（二）2023-5-18归纳与总结归纳与总结过程总结：17环下环全部过程：15环下，7环下。15环上，16环下。17环上环全部过程：16环上，15环下，7环上。15环上。结论：7的前面有且只有6时，才能自由上下。2023-5-18比一比比一比 赛一赛赛一赛一、看谁先完成17环的下环过程二、看谁先完成17环的上环过程2023-5-18问题与思考问题与思考思考：当环的总数是奇数时，要全部上下应如何操作？结论：奇数个环时，应依次取下最前面的奇数环。例

14、：要下7连环应先下1、3、5环。思考：当环的总数是偶数时，要全部上下应如何操作？结论：偶数个环时，应依次取下最前面的偶数环。例：要下6连环应先下2、4环。2023-5-18比一比比一比 赛一赛赛一赛一、看谁先完成16环的下环过程二、看谁先完成16环的上环过程2023-5-18挑 战 1、3、5、7在下，2、4、6在上。1、3、5、7在上，2、4、6在下。1、4、7在下，2、3、5、6在上。1、4、7在上，2、3、5、6在下。看谁最快能达到以下状态：看谁最快能达到以下状态：2023-5-1815环下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下 4下12上1下3下1上12下复习与巩固（一）

15、复习与巩固（一）2023-5-1815环上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下 1上12下5上12上1下3上12上复习与巩固（二）复习与巩固（二）2023-5-18复习与巩固（三）复习与巩固（三）过程总结：15环下环全部过程：13环下，5环下。13环上，14环下。15环上环全部过程：14环上，13环下，5环上。13环上。结论：5的前面有且只有4时，才能自由上下。2023-5-18下1-7环过程：15环下，7环下。15环上，16环下。复习与巩固（四）复习与巩固（四）2023-5-18上1-7环过程：16环上，15环下，7环上。15环上。复习与巩固（五）复习与巩固（五）2023-5-18

16、复习与巩固（六）复习与巩固（六）过程总结：17环下环全部过程：15环下，7环下。15环上，16环下。17环上环全部过程：16环上，15环下，7环上。15环上。结论：7的前面有且只有6时，才能自由上下。2023-5-18下1-9环过程：17环下，9环下。17环上，18环下。基本练习（一）基本练习（一）2023-5-18上1-9环过程：18环上，17环下，9环上。17环上。基本练习（二）基本练习（二）2023-5-18归纳与总结归纳与总结过程总结：19环下环全部过程：17环下，9环下。17环上，18环下。19环上环全部过程：18环上，17环下，9环上。17环上。结论：9的前面有且只有8时，才能自由

17、上下。2023-5-18比一比比一比 赛一赛赛一赛一、看谁先完成19环的下环过程二、看谁先完成19环的上环过程2023-5-18问题与思考问题与思考思考：当环的总数是奇数时，要全部上下应如何操作？结论：奇数个环时，应依次取下最前面的奇数环。例：要下7连环应先下1、3、5、7环。思考：当环的总数是偶数时，要全部上下应如何操作？结论：偶数个环时，应依次取下最前面的偶数环。例：要下6连环应先下2、4、6环。2023-5-18比一比比一比 赛一赛赛一赛一、看谁先完成18环的下环过程二、看谁先完成18环的上环过程2023-5-18要全解开或全套上，下一步分别是什么？问题与思考问题与思考2023-5-18

18、要全解开或全套上，下一步分别是什么？问题与思考问题与思考2023-5-18挑 战 2、4、6、8在下，1、3、5、7、9在上。2、4、6、8在上，1、3、5、7、9在下。1、2、3、4、5在上，6、7、8、9在下。2、4、5、7、8在下，1、3、6、9在下。2、4、7在下，1、3、5、6、8、9在上。看谁最快能达到以下状态：看谁最快能达到以下状态：解一连环需要解一连环需要1步，解二连环需要步，解二连环需要2步，由此可步，由此可知，解三连环需要知，解三连环需要5步，解四连环需要步，解四连环需要10步，解五步，解五连环需要连环需要21步，解六连环需要步，解六连环需要42步，解七连环需步，解七连环需

19、要要85步，解八连环需要步，解八连环需要170步，解九连环需要步，解九连环需要341步，解十连环需要步，解十连环需要682步步以此类推。以此类推。九连环中的数学九连环中的数学九连环与九连环与N次方次方九连环中的数学九连环中的数学九连环与九连环与N次方次方 进一步的研究可以发现，传统的算法是进一步的研究可以发现，传统的算法是341步，但如果步，但如果把前两个环同时拆装看做一步，则解下全部九个环需要把前两个环同时拆装看做一步，则解下全部九个环需要256步。一个环的拆装需步。一个环的拆装需1步，三个环需步，三个环需4步，五个环需步，五个环需16步，步，7个环需个环需64步，而九连环恰好达到需步，而九

20、连环恰好达到需256步；即每增步；即每增加两个环步数呈加两个环步数呈4倍增长。倍增长。我们看看奇数个环时对应的规律：我们看看奇数个环时对应的规律：一个环一个环 1步步 20三个环三个环 4步步 22五个环五个环 16步步 24 七个环七个环 64步步 26九个环九个环 256步步 28九连环中的数学九连环中的数学九连环与九连环与N次方次方总结规律：奇数个环时，要想解开必须付出总结规律：奇数个环时，要想解开必须付出2 2n-1n-1步步如果是偶数个环：如果是偶数个环：两个环两个环1步步 21-1四个环四个环 7步步 23-1六个环六个环 31步步 25-1八个环八个环 127步步 27-1总结规

21、律：偶数个环时，要想解开必须付出总结规律：偶数个环时，要想解开必须付出2n-1-1九连环中的数学九连环中的数学九连环与九连环与N次方次方2023-5-18 用数列研究n个圆环完全解（套）的情况中移动总次数 令K(n)表示解下n个圆环所需的移动总次数(在简单解法中，为移动的最少次数）.则K(1)=1，K(2)=1+1=2（先解下2号圆环1次，再解下1号圆环1次）.（注：在简单解法中，1、2号圆环可以同时解下，K(2)=1）按规则：为了解下（套 上）第i号圆环，须先解下（套上）前i-2个圆环；为了解下（套上）第i1号圆环，须先解下（套上）前i3个圆环；为了解下（套上）第i2号圆环，须先解下（套上）

22、前i4个圆环为了解下（套上）第3号圆环，须先解下（套上）前第 1号圆环；解下（套上）第2号圆环，再解下（套上）第1号圆环 （注：在简单解法中，第 2、1号圆环可以同时解下.）九连环中的数学九连环中的数学九连环与数列九连环与数列2023-5-18九连环中的数学九连环中的数学九连环与数列九连环与数列 用H(n)表示前n-1个圆环已解下后，再解第n号圆环所需的 移动次数.则解下n个圆环所需的移动次数K(n)分为三种移动次数：解下前n-2个圆环所需的移动次数K(n-2)；再解下第n号 圆环所需的移动次数1；最后解下第n-1号圆环所需的移动次 数H(n-1)。即K(n)=K(n-2)+1+H(n-1).

23、2023-5-18 在解下圆环的过程中，解下第n号圆环，须套上第n-1号 圆环，移动次数等于解下第n-1号圆环的移动数H(n-1)，再移动1次解下第n号圆环，解下第n-1号圆环的移动次 数又需H(n-1)，故H(n)=H(n-1)+1+H(n-1)，且H(1)=1数列H(n)+1是首项为 2，公比为2的等比数列.所以H(n)+1=2n，可得H(n)=2n-1 则解下n个圆环所需的移动数K(n)=K(n-2)+1+H(n-1)=K(n-2)+1+2n-1-1=K(n-2)+2n-1其中K(1)=1，K(2)=2九连环中的数学九连环中的数学九连环与数列九连环与数列2023-5-18当n是偶数时，K

24、(n)=K(n-2)+2n-1 =K(n-4)+2n-3+2n-1 =K(n-6)+2n-5+2n-3+2n-1=K(2)+23+2n-5+2n-3+2n-1 =2+23+2n-5+2n-3+2n-1 =)22(311n九连环中的数学九连环中的数学九连环与数列九连环与数列2023-5-18当n是奇数时，K(n)=K(n-2)+2n-1 =K(n-4)+2n-3+2n-1 =K(n-6)+2n-5+2n-3+2n-1=K(3)+24+2n-5+2n-3+2n-1 =K(1)+22+24+2n-5+2n-3+2n-1 =1+22+24+2n-5+2n-3+2n-1 =)12(311n九连环中的数学

25、九连环中的数学九连环与数列九连环与数列2023-5-18综上所述，九连环中的数学九连环中的数学九连环与数列九连环与数列nnnK2123231)(1特殊地，K(9)=341注：在简单玩法中，因K(1)=1，K(2)=1，故K(9)=256九连环中的数学九连环中的数学九连环与数列九连环与数列九连环的两种不同的玩法：完全解法和简单解法（把前两个环同时拆装看做一步）。完全解法拆解步数的前九项分别是1,2,5,10,21,42,85,170,341,682,1365,2730,5461,10922,21845,43690,这个数列满足的递推方程可以归纳为：F偶偶=2 Fn-1 F奇奇=2 Fn-1 +1

26、2023-5-18简单解法拆解步数的前九项分别是1,1,4,7,16,31,64,127,256,511,1024,2047,4096,8191,16384,32767,这个数列满足的递推方程可以归纳为：这个数列满足的递推方程可以归纳为：F偶偶=2 Fn-1 -1 F奇奇=2 Fn-1 +2九连环中的数学九连环中的数学九连环与数列九连环与数列 这两个方程与汉诺塔和斐波那契数列导致的这两个方程与汉诺塔和斐波那契数列导致的递推方程都具有丰富的内涵。递推方程都具有丰富的内涵。2023-5-18同构拓展（一）同构拓展（一）连环类玩具连环类玩具2023-5-18连环类玩具连环类玩具同构拓展（一）同构拓展（一）2023-5-18汉诺塔游戏汉诺塔游戏同构拓展（二）同构拓展（二）2023-5-18在数学中，有一个非常著名的数列也是用到了递推的思想斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2同构拓展（三）同构拓展（三）2023-5-18