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类型2022年河北省邯郸市九校高考数学三模试卷含解析.docx

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    关 键  词:
    2022 河北省 邯郸市 高考 数学 试卷 解析
    资源描述:

    1、2021-2022 高考数学模拟试卷含解析注意事项: 1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2. 答题时请按要求用笔。3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1点 A, B, C 是单位圆O 上不同的三点,线段OC 与线段 AB 交于圆

    2、内一点M,若OC = mOA + nOB ,( m 0, n 0), m + n = 2 ,则AOB 的最小值为()A. p6B. p3C pD 2p232. 已知函数 f (x) = memx- ln x ,当 x 0 时, f (x) 0 恒成立,则m 的取值范围为()A 1 , + B 1 ,e C1, +)D (-,e)ee3. 某中学 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.2 倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校 2016 年和 2019 年的高考情况,得到如图柱状图:则下列结论正确的是().A. 与 2016 年相比,2019 年不上线的人数有所

    3、增加B. 与 2016 年相比,2019 年一本达线人数减少C. 与 2016 年相比,2019 年二本达线人数增加了 0.3 倍D2016 年与 2019 年艺体达线人数相同2x - x3 , x 014已知函数 f (x) = ,则 f ( f ( ) = ()ln x, x 0e3AB1C-1D025. 函数 f (x)= sin(x +q )在0, p 上为增函数,则q 的值可以是()pA0B2C pD 3p26. 关于函数 f (x) = -sin x - p 在区间 , 的单调性,下列叙述正确的是()6 2A单调递增B单调递减C先递减后递增D先递增后递减7. 已知函数 f (x)=

    4、 ax +1+ 2x2 + ax -1 ( a R )的最小值为 0,则a = ()A 1B -1C 1D 1228. 如图,设 P 为 DABC 内一点,且 AP = 1 AB + 1 AC ,则 DABP 与DABC 的面积之比为3411AB4321CD369. 设函数 f (x)= sin (wx +j)( w 0 ,0 0,b 0) 的右焦点为 F,过右顶点 A 且与 x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于 Ma2b2点,MF 的中点恰好在双曲线 C 上,则 C 的离心率为()A 5 -1B2C 3D 5p5p 11. 计算log2 sin 4 cos 等于()3 A - 3B 322

    5、C - 2D 23312. 已知函数 f (x)在 R 上都存在导函数 f (x),对于任意的实数都有 f (-x) = e2 x ,当 x 0 ,f (x)若ea f (2a +1) f (a +1) ,则实数a 的取值范围是()A 0, 2 B - 2 ,0 C0, +)D (-,03 3二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13. 在ABC 中,BAC 60 ,AD 为BAC 的角平分线,且 AD = 1 AC + 3 AB ,若 AB2,则 BC .4414. 记 S为数列a 的前n 项和,若 annn= Sn -1,则 S27= .15. 已知向量a = (1,

    6、x + 1), b = (x, 2) ,若满足a b ,且方向相同,则 x = 16. 某校为了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一2400 人、高二 2000 人、高三n 人中,抽取90 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36 ,那么高三被抽取的人数为 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12 分)已知凸n 边形 A A AA 的面积为 1,边长 A A= a (i = 1,2, n - 1) , A A = a,其内部一点 P 到边1 2 3ni i +1i2a2a2an 1nA A= a (i = 1,2, n - 1) 的距离分别为d ,

    7、d , d , d .求证:1 +2 +n (nn a aa )2 .i i +1i123nddd12n1 2n18(12 分)如图,三棱柱 ABC - A B C 中,侧面 BB C C 是菱形,其对角线的交点为O ,且 AB = AC =6, AB BC 1 1 11 111(1) 求证: AO 平面 BB C C ;1 1(2) 设B BC = 60 ,若直线 A B 与平面 BB C C 所成的角为45,求二面角 A - B C - B 的正弦值11 11 11211 12a19(12 分)已知矩阵 M = 的一个特征值为 3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.20(12 分)一年

    8、之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端某种植户对一块地的n(n N *)个坑进行播种,每个坑播 3 粒种子,每粒种子发芽的概率均为 1 ,且每粒种子是否发芽相互独立对每一个坑而言,2如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种(1) 当n 取何值时,有 3 个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?(2) 当n = 4 时,用 X 表示要补播种的坑的个数,求 X 的分布列与数学期望 21(12 分)设 k R ,函数 g(x) = k(x - e) ,其中e 为自然对数的底数.(1) 设函数 f (x) =x.1 - ln x若k = -1 ,试判断函数 f (x

    9、) 与 g(x) 的图像在区间(1, e ) 上是否有交点;求证:对任意的k R ,直线 y = g (x) 都不是 y = f ( x) 的切线;(2) 设函数h(x) = 2x - x ln x + xg(x) - ekx ,试判断函数h(x) 是否存在极小值,若存在,求出k 的取值范围;若不存在,请说明理由.22(10 分)已知椭圆C : x2 + y2 = 1(a b 0) 的左顶点为 A ,左、右焦点分别为F , F1,离心率为, P 是椭圆上a2b2122的一个动点(不与左、右顶点重合),且PF F 的周长为 6,点 P 关于原点的对称点为Q ,直线 AP,QF交于点 M .1 2

    10、2(1) 求椭圆方程;(2) 若直线 PF2与椭圆交于另一点 N ,且 SAF M2= 4SAF N2,求点 P 的坐标.参考答案一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1D【解析】由题意得1 = m2 + n2 + 2mn cos AOB ,再利用基本不等式即可求解【详解】将OC = mOA + nOB 平方得1 = m2 + n2 + 2mn cos AOB ,1- m2 - n21- (m + n)2 + 2mn331cos AOB = -+1 -+1 = -22mn2mn2mn(当且仅当m = n =1时等号成立

    11、),0 AOB 0 ,显然 memx - ln x 0 在(0,1上恒成立,只需讨论 x 1 时的情况即可, f ( x) 0 memx ln x mxemx eln x ln x ,然后构造函数 g (x) = xex (x 0) ,结合 g(x) 的单调性,不等式等价于mx ln x ,进而求得m 的取值范围即可.【详解】由题意,若 m 0 ,显然 f (x) 不是恒大于零,故 m 0 .m 0 ,则 memx - ln x 0 在(0,1上恒成立;当 x 1 时, f (x) 0 等价于memx ln x ,因为 x 1 ,所以 mxemx eln x ln x .设 g (x) = x

    12、ex (x 0) ,由 g ( x ) = e x(1 + x ) ,显然 g(x) 在(0, +) 上单调递增,因为 mx 0,ln x 0 ,所以 mxemx eln x ln x 等价于 g(mx) g(ln x) ,即 mx ln x ,则 m ln x .x设 h(x) =ln x1- ln x(x0) ,则 h (x) =(x 0) .xx2令 h(x) = 0 ,解得 x =e,易得 h(x) 在(0,e) 上单调递增,在(e, + ) 上单调递减,从而 h(x)max= h(e) = 1 ,故m 1 .ee故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的

    13、关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 3A【解析】设 2016 年高考总人数为 x,则 2019 年高考人数为1.2x ,通过简单的计算逐一验证选项 A、B、C、D.【详解】设 2016 年高考总人数为 x,则 2019 年高考人数为1.2x ,2016 年高考不上线人数为0.3x , 2019 年不上线人数为1.2 x 0.28 = 0.336 x 0.3x ,故 A 正确;2016 年高考一本人数0.3x ,2019 年高考一本人数1.2 x 0.26 = 0.312 x 0.3x ,故 B 错误;2019 年二本达线人数1.2 x 0.4 = 0.48x ,2016 年二本达线人数0

    14、.34 x ,增加了0.48x - 0.34 x 0.41 倍,故 C 错误;0.34 x2016 年艺体达线人数0.06x ,2019 年艺体达线人数1.2 x 0.06 = 0.072 x ,故 D 错误.故选:A.【点睛】本题考查柱状图的应用,考查学生识图的能力,是一道较为简单的统计类的题目. 4A【解析】2x - x3 , x 0111由函数 f (x) = ,求得 f ( ) = ln= -1 ,进而求得 f ( f ( ) 的值,得到答案.ln x, x 0eee【详解】2x - x3 , x 0由题意函数 f (x) = ,ln x, x 01则 f ( ) = lne【点睛】=

    15、 -1 ,所以 f ( f ( ) = f (-1) = 2-1 - (-1)3 =,故选 A.113ee2本题主要考查了分段函数的求值问题,其中解答中根据分段函数的解析式,代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5D【解析】依次将选项中的q 代入,结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当q = 0 时, f (x)= sin x 在0,p 上不单调,故 A 不正确;当q = p 时, f (x)= cos x 在0,p 上单调递减,故 B 不正确;2当q = p 时, f (x)= -sin x 在0,p 上不单调,故 C 不正确;当q = 3p 时, f (x)

    16、= -cos x 在0,p 上单调递增,故 D 正确.2故选:D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性,涉及到诱导公式的应用,是一道容易题. 6C【解析】p p 先用诱导公式得 f (x) = -sin x - 6 = cos x + 3 ,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数 f (x) = -sin x - p = cos x + p 的图象可由 y = cos x 向左平移 p 个单位得到,如图所示, f (x) 在 , 上先6 3 3 2递减后递增.故选:C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题. 7C【解析】g (x)+ h (x)= ax +1设 g (

    17、x)- h (x)= 2x2 + ax -1 ,计算可得2g (x), g (x) h (x )f (x)=2h (x), g (x) h (x) ,再结合图像即可求出答案.【详解】g (x)+ h (x)= ax +1g (x)= x2 + ax设 g (x)- h (x)= 2x2 + ax -1 ,则 h (x)= 1- x2,2h (x), g (x) 0 , 0 0,b 0) 的右顶点为 A(a,0) ,右焦点为 F (c,0) ,a2b2M 所在直线为 x = a ,不妨设 M (a, b) ,a + c b a + c 2 b 2MF 的中点坐标为(, ) .代入方程可得 2 2

    18、 ,22- = 1(a + c)25a2b2=, e2 + 2e - 4 = 0 , e =5 -1 (负值舍去).4a24故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造 a, c 的齐次方程.11A【解析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值.【详解】2原式 = log 2 p - p = log cos p = log 1 = log2- 3 = - 3 .2cos 22故选:A2 23 2 2 3 2 22 22【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于基础题. 12B【解

    19、析】先构造函数,再利用函数奇偶性与单调性化简不等式,解得结果.【详解】令 g (x) = ex f (x) ,则当 x 0 ,又 g (-x) = e- x f (-x) = ex f (x) = g (x) ,所以 g(x) 为偶函数,从而ea f (2a +1) f (a +1)等价于e2a+1 f (2a +1) ea+1 f (a +1), g (2a +1) g(a +1),2因此 g(- | 2a +1|) g(- | a +1|), - | 2a +1| - | a +1|,3 a2 + 2a 0-【点睛】 a 0. 选 B.3本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式,考查综合分

    20、析求解能力,属中档题.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。713 2【解析】由 AD = 1 AC + 3 AB ,求出 BD,CD 长度关系,利用角平分线以及面积关系,求出 AC 边,再由余弦定理,即可求解.44【详解】AD = 1 AC + 3 AB , 1 ( AD - AC ) = 3 ( AB - AD ) ,4444CD = 3DB,CD = 3DB,SCD1 AC AD sin CADACAC S ADCADB= 2BD1 AB AD sin BAD2= AB = 2 ,AC= 6,BC2 = AB2 + AC2 -2AB ACcosBAC= 40-26

    21、= 28,7BC = 2.7故答案为: 2.【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题. 14-254【解析】利用 a = S - S(n 2) 代入即可得到 S - 2 = 2(S- 2)(n 2) ,即S - 2是等比数列,再利用等比数列的通项nnn-1nn-1n公式计算即可.【详解】由已知 anS=n -1,得a2 nS=n -1,即 S2n- Sn-1= Sn -1,所以 S2n- 2 = 2(Sn-1- 2)(n 2)S又a = 112-1,即 S1= -2 , S1- 2 = -4 ,所以Sn- 2是以-4 为首项,2 为公比的等比数列

    22、,所以 S - 2 = -4 2n-1 ,即 S = 2 - 2n+1 ,所以 S = 2 - 28 = -254 。nn7故答案为: -254【点睛】本题考查已知 S 与 a 的关系求 S ,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.nnn151【解析】由向量平行坐标表示计算注意验证两向量方向是否相同【详解】 a b , x(x +1)- 2 = 0 ,解得 x = 1 或 x = -2 ,x = 1 时, a = (1,2), b = (1,2) 满足题意,x = -2 时, a = (1,-1),b = (-2, 2) ,方向相反,不合题意,舍去 x = 1 故答案为:1【点睛】本题考查

    23、向量平行的坐标运算,解题时要注意验证方向相同这个条件,否则会出错 16 24【解析】由分层抽样的知识可得2400 90 = 36 ,即n = 1600 ,所以高三被抽取的人数为2400 + 2000 + n1600 90 = 24 ,应填答案 24 2400 + 2000 +1600三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17证明见解析【解析】由已知,易得a d+ a d+ + a d= 2 ,所以2a2a 1 122a2n n aa a () aaa 1 +2 + +n = 2 1 + 2 + + n =a d + a d + a d 1 + 2 + n 利用柯西不

    24、等式和基本不等式即ddddd12n12d1 12 2nn nddd12n可证明.【详解】因为凸n 边形的面积为 1,所以a d + a d + + a d= 2 ,1 12 2n n2a2a2a aaa 所以 d 1 + d 2 + + d n = 2 d1 + d2 + + dn 12n12n = (a d+ a d + a d ) a + an n d12 +da +12d n n1 12 2( a da1 + a da2 + a dan )2 (由柯西不等式得)1 1 d12 2 d2n ndn= (a + a + + a )21 2n(nn a aa )2 (由均值不等式得)1 2n【

    25、点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题,考查学生对不等式灵活运用的能力,是一道容易题.18(1)见解析;(2) 2 5 .5【解析】(1)根据菱形的特征和题中条件得到 B C 平面 ABC ,结合线面垂直的定义和判定定理即可证明;11( 2 ) 建立空间直角坐标系,利用向量知识求解即可【详解】(1)证明:四边形 BB C C 是菱形,1 1B C BC ,11AB BC, AB BC = B,11 B C 平面 ABC11AO 平面 ABC ,1 B C AO1又AB = AC , O 是 BC 的中点,11 AO BC ,1B CBC = O11又 AO 平面 BB C C

    26、1 1AB / / A B1 1(2)直线 A B 与平面 BB C C 所成的角等于直线 AB 与平面 BB C C 所成的角1 11 11 1AO 平面 BB C C ,1 1直线 AB 与平面 BB C C 所成的角为ABO ,即ABO = 45 1 1因为 AB = AC =6 ,则在等腰直角三角形 ABC 中 BC= 2 3 ,111所以 BO =3, CO = BO = BO tan30 = 1 1在 Rt ABO 中,由ABO = 45 得 AO = BO =3 ,以O 为原点,分别以OB, OB , OA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系O - xyz 1则 A(0,0

    27、, 3), B( 3,0,0), B (0,1,0), C (- 3,0,0)11所以 A B = AB = ( 3,0, - 3), BC = (- 3, -1,0)1 11 1设平面 A B C 的一个法向量为n= (x, y, z) ,1 1 11n A B =3x - 3z = 0则 1 1,可得n= (1, - 3,1) ,n B C= - 3x - y = 011 1取平面 BB C C 的一个法向量为n = (0,0,1) ,1 12n n15则cosn , n =12=,12| n1| n |552所以二面角 A - B C - B 的正弦值的大小为 2 5 11 15(注:问

    28、题(2)可以转化为求二面角A - BC - B 的正弦值,求出AO = BO =3 后,在Rt OBC 中,过点O 作 BC1的垂线,垂足为 H ,连接 AH ,则AHO 就是所求二面角平面角的补角,先求出OH =最后在 Rt AOH 中求出sin AHO = 25 )5315=,再求出 AH,22【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解,属于中档题19另一个特征值为1 ,对应的一个特征向量1 a =-1【解析】2根据特征多项式的一个零点为 3,可得 a = 1 ,再回代到方程 f ()= 0 即可解出另一个特征值为l = -1,最后利用求特征向量的一般步骤,可求出其对应的一个特征

    29、向量.【详解】矩阵 M 的特征多项式为:f (l)= l -1-2-2l - a= (l -1)(l - a)- 4 ,l = 3 是方程 f ()= 0 的一个根,1(3 -1)(3 - a)- 4 = 0 ,解得 a = 1 ,即122 1M = 方程 f ()= 0 即(l -1)(l -1)- 4 = 0 , l2 - 2l - 3 = 0 ,可得另一个特征值为: l2= -1,设l = -1对应的一个特征向量为:a = x y2则由l a = Ma2-2x - 2 y = 0,得-2x - 2 y = 0 得 x = - y ,令 x = 1 ,则 y = -1,所以矩阵 M 另一个

    30、特征值为-1,a = 1 -1对应的一个特征向量【点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特征向量,需掌握特征多项式的计算形式,属于基础题.520(1)当n = 5 或 n = 6 时,有 3 个坑要补播种的概率最大,最大概率为16 ; (2)见解析.【解析】(1)将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数,考查函数随 n 的变化情况,即可得到 n 为何值时有 3 个坑要补播种的概率最大(2)n1 时,X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,1分别计算出每个变量对应的概率,列出分布列,求期望即可【详解】 1 3 1 31(1)对一个坑而言,要补播种的概率 P = C 0 + C1 =, 1 n有 3 个

    31、坑要补播种的概率为C3 .n 2 3 2 3 2 2 1 n 1 n-1C3 C3 1 nn 2 n-1 2 欲使C3 最大,只需,n 2 1 n 1 n+1C3 C3 n 2 n+1 2 解得5 n 6 ,因为n N * ,所以 n = 5,6, 1 55当 n = 5 时, C3 =;5 2 16n = 6 1 6当时, C3 = 5 ;6 2 16所以当 n = 5 或n = 6 时,有 3 个坑要补播种的概率最大,最大概率为 5 .16(2)由已知, X 的可能取值为 0,1,2,3,1. X B 4, 1 ,2X01231P所以 X 的分布列为113111648416X 的数学期望

    32、EX = 4 1 = 2 .2【点睛】本题考查了古典概型的概率求法,离散型随机变量的概率分布,二项分布,主要考查简单的计算,属于中档题21(1)函数 f (x) 与 g(x) 的图象在区间(1, e ) 上有交点;证明见解析;(2) k 0 且 k 1 ;2e【解析】(1) 令 F (x) = f (x) - g(x) ,结合函数零点的判定定理判断即可;设切点横坐标为 x ,求出切线方程,得到0x = 2e - elnx00,根据函数的单调性判断即可;(2) 求出h(x) 的解析式,通过讨论k 的范围,求出函数的单调区间,确定k 的范围即可【详解】解:(1)当 k = -1 时,函数 g(x) = -x + e ,令 F (x) = f (x) - g(x) =x+ x - e , x (1, e ) ,1 - lnx则 F (1)= 2 - e 0

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