初中数学数学几何压轴题.docx

1、中考数学重难点题型- 12 道几何探究题解析考点1 三角形几何探究1如果三角形的两个内角a与p满足 2a + = 90, 那么我们称这样的三角形“为准互余三角形”(1) 若h. ABC 是“准互余三角形”， 乙C 90, 乙A= 60, 则乙B巨o ;(2) 如图 1, 在Rth. ABC 中，乙ACB= 90, AC= 4, BC= 5若 AD 是乙BAC的平分线， 不难证明h.ABD 是“准互余三角形”试 问 在边BC 上是否存在点E（异千点 D)，使得h. ABE 也是准互余三角形”？ 若存在， 请求出BE 的长； 若不存在， 请说明理由(3) 如图2, 在四边形ABCD中，AB= 7,

2、 CD= 12, BDj_ CD,乙ABD = 2乙BCD,且h. ABC 是“准互余三角形”， 求对角线AC 的长ADABBC图2解：（ l ）? A ABC 是准互余三角形”，乙C 90, 乙A= 60, : . 2乙B乙A= 90,解得乙B= l 5.(2) 如答图 I在 R6tABC 中，: 乙B乙BAC= 90, 乙BAC= 2乙BAD, 乙B+ 2乙BAD= 90,. h. ABD 是准互余三角形”. : h. ABE 也是准互余三角形”,:只 有 2乙B乙BAE= 90.：乙B+ LBAE+ L EAC= 90, 乙CAE乙B. : 乙C= 乙C= 90,.6.CAECD,求证:

3、 L BAC 与乙CDB 互补；拓展应用(3) 如图 2, 在四边形 ABCD 中， 乙BCD= 2乙B, AC=BC=5, AB=6, CD=4在BC的延长线上是否存在一点E, 使得四边形ABED 为邻对等四边形？如果存在，求出DE 的 长 ；如果不存在，说明 理由A,DBcBC图l图2(1) 解： 矩形或正方形(2) 证明：如答图 I延 长 CD 至 E , 使 CE = BA , 连 接 BE.AB=EC,在6 ABC 和6 ECB 中， tABC乙ECB,C=CB,: . L ABC竺L ECB(SAS,).BE = C A, 乙BAC乙E.: AC=DB,.BD=BE, :.乙BDE

4、乙E ,:乙CDB乙BDE乙CDB乙E乙BAC乙CDB= l 80，即BAC 与乙CDBAE互补E、c2图cB图1(3) 解： 存在这样一点 E，使得四边形 ABED为邻对等四边形，如 答图 2, 在 BC的延长线上取一点E, 使得CE= CD= 4, 连接 DE, AE, BD, 则四边形 ABED为邻对等四边形理由如下：: c E= CD, :.乙CDE= L.CED.乙BCD= 2L ABC,:. LABC= L DEB, :.凶ACE乙BCD.在6ACE 和颂BCD 中，二厂，乙BCD,CE=CD,: .6 ACE 竺 6 BCD(SAS),.BD= AE, 四边形 ABED 为邻对等

5、四边形：乙CBA乙CAB乙CDE乙CED ,:. !:.ABC(./)6DEC,.A=B6DEDE，.24BC5CE4.DE=.5Dc4将矩形 ABCD 绕点A 顺时针旋转a(0 a 360)，得到 矩形 AEFGcBAB,G(1) 如图，当点E 在BD 上时求证： FD= CD;(2) 当a 为何值时， GC= GB? 画出图 形，并 说明 理由解：（l）由旋转得可，AE= AB， 乙AEF= L ABC乙DAB= 90, EF=BC=AD,:.乙AEB = 乙ABE.: L ABB乙EDA= 90= L AEB乙DEF,:.乙EDA= L DEF. : DE= ED, :. L AED 竺

6、 L FDE(SAS), . DF= AE,: AE=AB=CD,: . CD= DF.(2)当 GB= GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，分两 种情况讨论：句 当点G 在 AD 右侧时， 如答图I取 B C 的中点H, 连接 GH 交 AD 千 M, : o c = GB, : . GH上BC, 四边形ABHM 是矩形，: . AM= BH =ll:AD=:AG,22: . GM 垂直平分AD, : . GD= GA= DA,: . h, ADG 是等边三角形， 乙DAG= 60,:旋转角a = 60;ByCDLGFE图 1图2当点G 在 AD 左侧时， 如答图2, 同理可得6.

7、ADG 是等边三角形，乙DAG= 60,:旋转角u= 3606 0= 300.综上， a 为 60或 300时， GC= GB5如图 1, 边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上（不与点A, B 重合），点 F 在 BC 边上（不与点 B, C 重合）第一次操作：将线 段 EF 绕 点 F 顺时针旋转，当点 E 落在正 方形上时，记 为点G; 第二次操作：将线 段 FG 绕点G 顺时针旋转，当点 F 落在正 方形上时，记 为点 H; 依此操作下去(1) 图 2 中的6 EFD 是经过两次操作后得到的，其 形状为等边三角形， 求 此时线段 EF的长；( 2)若经过三次操作可得

8、到四边形 EFGH 请判断四边形 EFGH的形状为正方彤，此时 AE 与 BF 的数量关系是 AE= BF ;以 中的结论为前提，设 AE 的长为x, 四边形 EFGH的面积为 y, 求y 与xAAA的函数关系式及面积 y 的取值范围BCB图1FcB-YC图2备用图解：（ l）如题图2, 由旋转性质可知 EF= DF= DE, 则6. DEF为等边三角形lAD=CD,在 RtL-ADE 和 RtL-C DF中，PE=DF,占Rth. ADE兰 Rth.CDF(HL). AE= CF.设 AE= CF= x, 则 BE= BF= 4- x:. h. BEF 为等腰直角三角形. EF=2BF= 2

9、(4-x).DE= DF= EF=2(4x).在 Rth. ADE中，由 勾股定 理 得 AE2+ AD2= DE2, 即 x 2+ 42= 2(4- x)气解 得 X t =8-4 3, x2=8+4 （3 舍去）.EF= 2(4-x)=4 6-42.丛DEF的形状为等边三角形， EF 的 长 为 46-42.DAJIEG Cl乙图 l第 5 题答图(2) CD四 边 形 EF GH 的形状为正方形， 此 时 AE= BF理由如下：依题意 画出图形 ，如 答图 所示， 连接E G,M.FH, 作 HN上BC 千 N, GM上AB 于由旋转性质可知， EF=FG=GH=HE,二四 边 形 EF

10、GH是 菱 形 ，由丛EGM兰丛FHN， 可 知 E G= FH,:四边形 EFGH的形状为正方形， :.乙HEF= 90. : 乙1+ 乙2= 90, :乙3+ L.4 = 90,乙2十乙3 = 90,_乙2十乙3 = 90,:.乙l = 乙3.:.乙2= 乙4.日互盯i在D.AEH 和丛BFE 中，： 丛 AEH竺丛BFE(ASA),:.AE=BF.利用O中结论，易 证6AEH, 丛BFE, 丛CGF, 丛DHG 均为全等三角形，.BF=CG=DH=AE=x, AH=BE=CF=DG=4-x.: . y= S .iE方形 ABco - 4S6 AE1-1 = 4 x4 - 4 x x(4

11、- x)= 2灶 8x+ I6 ,. . y = 2x2- 8x +16(0x4).: y= 2灶8x+ 16=2(x-2)2+8,:当x= 2时， y 取得最小值8 ; 当 x= O 或 4 时， y = l 6: . y 的 取 值范围为 8:;y AE 时，求证： P E = PC深入探究当点 P 在 AD 上运动时， 对应的点 E 也随之在 AB 上运动， 求整个运动过程中DADAEBBE 的取值范围cBc备用图解：特殊求解?PE上PC, :.乙APE+ L.DPC= 90. : 乙D= 90, :.乙DPC乙DCP= 90.:.乙APE = L.DCP.: 乙A乙D= 90,:. 6

12、 APEV)6DCP ,:. :A_ -P:_ = AEDCDP设 AP= x, 则有 DP= 3- x.而AE= BE= l , : . x(3- x)= 2xl ,解得 x1= 2 , x2= l.: APAE,:. AP=2, AE=PD= 1,: .6 APE 兰 6 DCP, : . PE= PC.深入探究设 AP= x, AE= y， 由 APDP= AEDC,可得x(3- x)= 2y. y=: x(3- X)= - :l x2+ 3X = - :1(X-)3开9222228时，： 在 O x 3 范 围内 ，当x= 3y9最大28，？当 AE= y 取得最大值时， BE 取得最

13、小值为 2- 9788: . BE 的取值范围为BE2.87已 知Rt凶OAB, L.O AB= 90, 乙AB0 = 30, 斜边 OB= 4 , 将 Rt60 AB 绕点0 顺时针旋转 60如图1,连接B C(1) 填空 ： 乙OBC延 ；( 2)如图 1, 连接 AC, 作 OP1-AC, 垂足为P, 求 OP 的长度；(3) 如图2 ,点M ,N 同 时 从 点0出 发 ， 在60 CB 边 上 运动， M 沿ocB 路径匀速运动， N 沿oBc 路径匀速运动，当 两点相遇时运动停止，已知点 M的运动速度为 1.5 单位秒，点 N 的运动速度为1 单位秒， 设运动时间为x 秒，A OM

14、N 的面积为y, 求当x 为何值时 y 取得最大值最大值为多少？cCBAA0图1解：（l）由旋转性质可知OB= OC， 乙BOC= 60,A0备用图c: . D OBC是等边三角形， 乙OBC= 60.BA第 7 题答图 l(2) 如答图 l 中，-.o B= 4, 乙 AB0 = 30,1二OA= : OB= 2,2AB=30 A= 2 3,: OA:1l: . s t:.Ao c=AB=x2x2 3=23.22: !:.BOC是等边三角形，:乙OBC= 60， 乙ABC乙ABO乙OBC= 90,: . AC=AB2+ BC2=2 r (3)2+ 42= 2 7,2SDAAOOCC _ 4

15、3_221:.OP=AcBAC2 77(3) 也当第 7 题答图28O x:; 时， M 在oc 上运动， N 在OB 上运动，此 时过点N 作NE上oc3且交oc于点E如答图2,3则 NE= ONsin60= _Jx,2ll3: . S6 0MN = : O MNE= : x1.5xx _ x, 222:.y=3 3x2,x8y8 3c当时，有 最大值， 最大值为833.MA0第 7 题答图3当8 x 5 4 时， M 在BC 上运动， N 在 OB 上运动如答图3,3作 MH上OB 于H则3BM= 8- 1.5x, MH= BMsin60 =_,(8-21.5x),灶: . y= l xQ

16、NxMH= 3 32 3x.28当x88 3 时， y 取得最大值， 最大值为c33GMA第 7 题答图 4当 4 x三4.8 时 ， M, N 都在 BC 上运动，作OG 上 BC 千G 如答图4, MN= l 2- 2.5x, OG=AB=2 3,15 3. y= MN OG= 12 3-x,22当x= 4 时， y 有最大值，最大 值为 2 3.综上所述， y8 3有最大值， 最大值为38在 菱形 ABCD 中， 乙ABC= 60, 点P 是射线 BD 上一动点，以 AP 为边向右侧作等边6APE, 点E 的位置随着点P 的位置变化而变化(1) 如图 I当点E 在菱形ABCD内部或边上时

17、， 连接CE, BP 与 CE 的数量关系是 PB= EC, CE 与 AD 的位置关系是 CEJ_ AD;(2) 当点E 在菱形ABCD 外部时，（l ) 中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若 不成立，请说明理由（选择图 2, 图 3 中的一种情况予以证明或说理）；(3) 如图4 , 当点P 在线段BD 的延长线上时，连接 BE 若 AB = 2 3, BE=2 19,求四边形ADPE的面积c图4AAAEEE/B 、 ., , .,.,.、， 口 .,. . 矗 二 ，D产 pCC了B图l图2AC 图3DBC第 8 题答图l解：（l）结论： PB= EC, CE.lAD.理由： 如答图

18、1 中， 连接 AC.？ 四边形ABCD 是菱形， 乙ABC= 60,.L ABC,八ACD 都是等边三角形， 乙ABD乙CBD= 30.: L APE 是等边三角形，: . AB= AC, AP= AE, 乙BAC乙PAE= 60,: . DBAP兰 D CAE,: . BP= CE, 乙ABP= L.ACE= 30,延长CE 交 AD 于 H,: L CAH= 60, :.乙CAR+ 乙ACH= 90,乙AHC = 90, 即CE.l AD.DB,(、图 2第 8 题答图 2(2) 结论仍然成立理由：如答图 2, 连接 AC 交 BD 千 0 , 设 CE 交 AD 千 H.？四边形 AB

19、CD 是菱形L ABC= 60,: . L ABC, L ACD 都是等边三角形， 乙AB D乙CBD = 30.飞飞APE 是等边 三 角形 ， AB= AC ,AP = AE ,乙BAC = 乙PAE = 60 ,: . L BAP 竺 L CAE,二BP = CE, 乙ABP乙ACE= 30,; L CAH= 60, :乙CAH+ 乙ACH= 90,:.乙AHC= 90, 即 CE上AD.EB(图4第 8 题答图 3(3) 如答图3, 连接 AC 交 BD 千点 0 , 连接 CE 交 AD 千点 H,由(2)可知 EC上AD, CE=BP,在菱形ABCD 中， ADI/ BC,. EC

20、.l_ BC.BC=AB=2 3, BE=2 19,:在Rt丛BCE中， EC =2r (19)2-2r (3)2= 8 ,. BP= CE= 8.? AC 与 BD 是菱形的对角线，：乙ABD=I乙ABC= 30, AC上BD, 2.BD=2BO= 2ABcos30 = 6,I. OA= AB= 3, DP=BP-BD=S-6=2,2:. OP=OD+DP=5,在 RtAOP 中， AP=AO 吁 OP2= 2 7,:.s 四边形131十3x(2 7)2=8 3.ADPE= S6 AoP + S6 AEP= DPAO+ ._, AP2=x2x 32424考点3 三角形、四边形混合几何探究9我

21、 们把两条中线互相垂直的三角形称为中垂三角形”， 例如 图 1 图 2, 图 3 中， AF, BE 是D.ABC 的中线， AF.l_ BE, 垂足为 P, 像D.ABC 这样的三角形均称为中垂三角形，设 BC= a, AC=b, AB=c特例探索(1)如图 1当 乙ABE= 45, c= 2 心时， a2 5, b=2i 如图 2，当 乙 ABE = 30, c= 4 时， a 2 旦 ， b 2 工 归纳证明(2) 请你观察(1)中的计算结果，猜想 a气 b 气 c 2 三者之间的关系，用等 式 表 示出来，并 利用图 3 证明你发现的关系式拓展应用(3) 如图 4, 在口ABCD 中，

22、点 E, F,G 分别是 AD, BC, CD 的中点， BE上EG,AD = 2-fs , AB= 3, 求 AF 的长图1图2图 3图4解：（1); AF上BE， 乙ABE= 45,-!.:.占: . AP= BP=.AB= 2.2: AF, BE 是ABC 的中线，扭F II AB, EF=AB= -2,2: . L PFE= L PEF= 45,: . PE= PF= 1.在RtFPB 和 Rt丛PEA 中， AE= BF = 尸 已； : . AC = BC= 2森 a= b= 2.如答图 1连 接 E F.同理可得 EF= 1x4 = 2.2; EF / AB, :. 6PEF(/

23、)6PBA,. PFPE EF 1 APPBAB2在RtABP 中， AB = 4 , 乙ABP= 30,: . AP= 2, PB= 2归，PF= l , PE归在RtAPE 和 RtBPF 中， AE寸 ， B F= -)13,: . a= 2 13, b=27.(2) 猜想： a 气 护5c2, 证明 如 下 ： 如 答图2,连接EF设乙ABP= a , :. AP=csinu, PB=ccosu,由(1)同理可得PF=1PA=csmal, PE=:PB=ccosa，2222:.AE2=AP2+ PE 2= c 2sin 2a + c 2 cos2a，4BF 2= PB 2+ PF 2=

24、 c2cos2a + C2 Sln 2 a ，4bc 2c2 os aac2.sm2a2.（.）2=c 2sm2a,+（）2=+ c2cos 2a ,2424 . a 2护c2s in 2a +, c,2,cos .2,a +, 444c,2,s.in,2,a +, c-cos2-a，4. a 2+ b2= 5c 2.DEBr（ .B图1图2(3) 如答图 3, 连接AC, EF 交千点 H, AC 与 BE 交千点Q, 设 BE 与 AF 的交点为 P.？ 点 E, G 分别是AD, CD 的中点，EG ii AC. BE上EG,. BE 上AC.？ 四边形ABCD 是平行四边形，AD I/

25、 BC, AD=BC=2 5,乙EAH乙FCH.E, F 分别是AD, BC 的中点，ll: AE=AD,BF= BC, 22.AE=BF=CF= 1AD=5.2: AE II BF, 四A边B形FE 是平行四边形，扭F = AB = 3, AP=PF.乙EAH 乙FCH,在L AEH 和L CFH 中，丿 AHE= FHC,=CF,:AAEH竺DCFH, .EH = FH ,.EP , AH 分别是D AFE 的中线，由 (2) 的结论得AF2+ EF 2= 5 AE2,. AF2= 5(5 )2- EF 2= 16 ,. AF= 4或连接F 与 AB 的中点M, 证 MF 垂直BP, 构造

26、出“中垂三角形”，由 AB = 3, 1BC= AD=5及(2)中的结论， 直接可求AF.210 我们定义： 如图 1 在!:,.ABC 中， 把 AB 绕点A 顺时针旋转a(0 a 180) 得到AB，把 AC 绕点A 逆时针旋转p得到 AC， 连接 BC当a + p= 180时， 我们称丛ABC是!:,.ABC 的旋补三角形“心 ABC边BC 上的中线AD 叫做丛ABC 的旋补中线，点 A 叫做“旋补中心”.特例感知(1) 在图 2 , 图 3 中， l:,.ABC是!:,.ABC 的旋补三角形”, AD 是!:,.ABC 的 旋 补中线.O如图 2, 当!:,.ABC 为等边三角形时，

27、AD 与 BC 的数量关系为1AD= - BC ;2如图 3, 当乙BAC = 90, BC = 8 时， 则AD 长为1.猜想论证(2) 在图1 中， 当6ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并 给予证明拓展应用(3)如图 4 , 在四边形 ABCD,L C= 90, 乙 D= 150, BC=12, CD=2 , DA= 6在四边形内部是否存在点P, 使6PDC 是6 PAB 的 旋 补三角形”？若 存在，给予证明，并 求 PAB 的 旋 补中线 长；若不存在，说明理由cCBCBBcBCBCA图 l图 2图 3图 4解：（l )(D: L ABC 是等边三角形，: .

28、 AB= BC= AC= AB= AC.: DB= DC,: . AD上BC.：乙BAC= 60, 乙BAC乙BAC= 180,:.乙BAC= l20, :乙B乙C = 30,: . AD= _l:_AB = _l:_BC.22？ 乙BAC= 90,L BAC乙B1AC= 180,:. L BAC乙BAC = 90._. AB= AB, AC= AC, : . l:.B AC 竺 l:.B AC,: . BC = BC._. BD= DC, ,. AD=BC=1BC=4.22(2) 结论： ADl BC.2证明如下：如答图1, 延长AD 到 M, 使得AD= DM, 连接BM, CM._. B

29、D= DC, AD= DM, 四A边C形MB是平行四边形，AC= BM= AC.M,lI D、CB汃BC第10 题答图1立 BAC乙BAC= 180, LBAC + L ABM= 180,:.乙BAC乙MBA.: AB= AB ,:凶BAC兰 D ABM,: . BC= AM, : . AD= BC.2(3) 存在理 由： 如答图2, 延长AD 交 BC 的延长线于 M, 作BE1-AD 于E, 作线段BC的垂直平分线交BE 千 P, 交 BC 于 F, 连接 PA, PD, PC, 作D.PCD 的中线PN,B-lP/ 夕-心心I7、- -NA第 10 题答图 2连接 DF 交 PC 千0乙

30、ADC= 150,:.乙1YIDC = 30 .在 Rt6DCM 中， CD=2 3, 乙DCM= 90, 乙MDC= 30,:.CM=2, DM=4, 乙 M= 60.在 R6tBEM 中，乙BEM= 90, BM= 14，乙MBE= 30, : . EM = l BM= 7, 占 DE2=EM-DM=3.: AD=6,:.PA=PD,: . AE= DE._. BE 上AD, PB=PC.在 R6tCDF中， CD= 2 3, CF=6,:. tan 乙CDF=3, :.乙CDF= 60乙CPF,易证丛FCP竺6CFD,:.CD=PF._. CDII PF.四边形 CDPF是矩形，:.乙C

31、 DP= 90,：乙ADP乙ADC 乙CDP= 60,: . L ADP 是等边三角形， :.乙ADP = 60. : 乙 BPF= 乙CPF= 60,:.乙BPC= l 20,C、1、WI:. L APD+ LBPC=180I: .6PD C 是6PAB 的旋补三角形”在 Rt6PDN 中， 乙PDN = 90 , PD=AD=6, DN= 3, :. PN=DN2+ PD 2=r (3)2 十炉 39.考点4多边形几何探究11【. 图形定义】如图， 将正n 边形绕点A 顺时针旋转60后，发现 旋转前后两图形有另一交点0 ，连接 AO , 我们称AO 为叠弦； 再将叠弦“AO 所在的直线绕点

32、A 逆时针旋转 60后， 交旋转前的图形于点 P, 连接PO , 我们称乙OAB 为叠弦角”, 6 AOP 为叠弦三角形”;【探究证明】(1) 请在图1 和图2 中选择其中一个证明： 叠弦三角形”(6AOP)是等边三角形(2) 如图2, 求证： 乙OAB乙OAE ;【归纳猜想】(3) 图 l、图2 中的叠弦角”的度数分别为巨 凶？；(4) 图n 中，叠弦三角形”是 等边三角形（”填是”或“不是）；(5 ) 图n 中，叠弦角”的度数为60 -180 nA勹（）B图1(n=4).（用含n 的式子表示）DIE ，言，cI , ,. 、A -_ -.DB图2(n=5)（成f DEP ,-FI,; .、IIF 1三)DB C图 3(n = 6)解：（l）了四边形 ABCD 是正方形，、三、 DED 由 旋 转 知 ， AD=