函数单调性与最值(ok)1.ppt

1、1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(1)()1;f xx 2(2)();f xx 请大家思考请大家思考,是否每个函数都有是否每个函数都有最大值最大值,最最小值小值？举例说明？举例说明.一个一个 函数不一定有最值函数不一定有最值.有的函数可能只有最大有的函数可能只有最大(或小或小)值值.如果一个函数存在最值，那么函数的如果一个函数存在最值，那么函数的最最值值都是都是唯一唯一的的,但取最值时的自变量可以有但取最值时的自变量可以有多个多个.3,1,1232xxxxf1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值先

2、作出函数图象，寻找闭区间上的图象的最先作出函数图象，寻找闭区间上的图象的最高点或最低点高点或最低点例题例题1：已知函数：已知函数f(x)3x212x5，当自，当自变量变量x在下列范围内取值时，求函数的最大在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：值和最小值：(1)xR；(2)0,3；(3)1,1利用图象求函数最值利用图象求函数最值1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值【思路点拨】【思路点拨】作出作出y3x212x5(xR)的图象再分别截取的图象再分别截取x0,3，x1,1上的上的图象，看图象的最高点，最低点的纵坐标图象，看图象的最高点，最低点的纵坐标1.3.11.3.1单调

3、性与最大单调性与最大(小小)值值【解】【解】f(x)3x212x53(x2)27.(1)当当xR时，时，f(x)3(x2)277，当当x2时，等号成立时，等号成立即函数即函数f(x)的最小值为的最小值为7，无最大值，无最大值(2)函数函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在在0,2)上递上递减，在减，在2,3上递增，并且上递增，并且f(0)5，f(2)7，f(3)4，所，所以在以在0,3上，函数上，函数f(x)在在x0时取得最大值，最大值为时取得最大值，最大值为5，在，在x2时，取得最小值，最小值为时，取得最小值，最小值为7.(3)由图象可知，由图象可

4、知，f(x)在在1,1上单调递减，上单调递减，f(x)maxf(1)20，f(x)minf(1)4.【名师点拨】【名师点拨】要根据要根据定义域定义域截取图象截取图象1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值 例例1.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的如果烟花距地面的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时这时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?2

5、()4.914.718,httt 1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值 例例1.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的如果烟花距地面的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时这时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?2()4.914.718,httt 解解:作出函数作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象的图象.则函数则函数图象的顶

6、点图象的顶点就是就是烟花上升的最高点，烟花上升的最高点，顶点顶点的的横坐标就是烟花爆裂的最佳横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻时刻,纵坐标就是这时距地面纵坐标就是这时距地面的高度的高度.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值 由二次函数的知识由二次函数的知识,对于对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有我们有:当当时时，14.71.52(4.9)t 答答:烟花冲出后烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻秒是它爆裂的最佳时刻,这时距这时距地面的高度为地面的高度为29 m.例例1.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一制造时一般是期望在它达到最高点

7、时爆裂般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的如果烟花距地面的高度高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时这时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?2()4.914.718,h ttt 24(4.9)1814.729.4(4.9)h 函数有最大值函数有最大值1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值【1】求函数】求函数y=x2-2x-1的值域和最值的值域和最值.(1)x0,3 (2)x(2,4 (3)x-2,-1 ymin=f(1)=-2,ymax=f(3)

8、=2.值域值域-2,2ymax=f(4)=7.值域值域(-1,7ymax=f(-2)=7.值域值域2,7ymin=f(-1)=2,对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，有最值，如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素1yx1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值利用函数单调性求函利用函数单调性求函数最值数最值解题步骤：先解题步骤：先判断判断或或证明证明出函数的单调性，出函数的单调性，再结合再结合区间端点区间端点对应的函数值大小得出最值。对应的函数值大小得出最值。运用函数单调性求最值是求

9、函数最值的重要方法，运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别当函数图象不易作出时，单调性几乎成了首选方法。特别当函数图象不易作出时，单调性几乎成了首选方法。1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值 例例2.求函数求函数 在区间在区间2，6上的最上的最大值和最小值大值和最小值 21yx 解解:设设x1,x2是区间是区间2,6上的任意两个实数上的任意两个实数,且且x1x2,则则2211(21)(1).()xxxx 由由2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,12()()0,f xf x121222()()11f xf xxx21212(1)(1)(1)(1)xxxx 于是

10、于是xyo1 2 3 4 5 61321.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值 因此因此,函数函数 在区间在区间2,6上的两个端点上的两个端点上分别取得最大值和最小值上分别取得最大值和最小值.12()().f xf x 所以所以,函数函数 是区间是区间2,6上的减函数上的减函数.21yx 当当x=2时取最大值时取最大值21yx max2(2)2;21yf 当当x=6时取最小值时取最小值min22(6).615yf 即即xyo1 23 4561321.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值【名师点拨】【名师点拨

11、】对于定义域内的函数的单调对于定义域内的函数的单调性，要正确分开其单调区间再比较各区间端性，要正确分开其单调区间再比较各区间端点的函数值点的函数值1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值互动探究互动探究1如果本例中的如果本例中的x1,3改为改为x(1,3)，此函数的最值怎样？，此函数的最值怎样？1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值 在已知函数在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-,-2上递上递减减,在在-2,+)上递增上递增,则则f(x)在在1,2上的值域上的值域_.21,4916,m 2()4161f xxx24(2)15.x22*48mmx 对称

12、轴：对称轴：1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值函数最值的实际应用函数最值的实际应用根据实际问题，建立函数关系，然后求函数的最值转化为实际根据实际问题，建立函数关系，然后求函数的最值转化为实际问题的最值问题的最值 例题：某公司生产一种电子仪器的固定总成本是例题：某公司生产一种电子仪器的固定总成本是2万元，每生万元，每生产一台需另投入产一台需另投入100元，已知总收益满足元，已知总收益满足1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值【思路点拨】【思路点拨】利润总收益数利润总收益数k(x)生产投入固定成生产投入固定成本本1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(

13、小小)值值【名师点拨】【名师点拨】分段函数求最大值，要分段求其最值，取其最分段函数求最大值，要分段求其最值，取其最大值大值自我挑战自我挑战2将进货单价为将进货单价为40元的商品按元的商品按50元一个出售时，能元一个出售时，能卖出卖出500个，已知这种商品每涨价个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少元，其销售量就减少10个，个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？解：设售价为解：设售价为x元，利润为元，利润为y元，单个涨价元，单个涨价(x50)元，销量减元，销量减少少10(x50)个个y(x-40)500-10(x-50)=(x40

14、)(100010 x)10(x70)290009000.故当故当x70时，时，ymax9000.所以售价为所以售价为70元时，利润最大为元时，利润最大为9000元元1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值方法技巧方法技巧1求二次函数的最值时，应判断它的开口求二次函数的最值时，应判断它的开口方向及对称轴与区间的关系若含有字母，方向及对称轴与区间的关系若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合解题时要注意数形结合(如例如例1)2分段函数的最大值为各段上最大值的最分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段

15、上最小值的最小者，故大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最小值，应先求各段上求分段函数的最大或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小的最值，再比较即得函数的最大、最小值值(如例如例3)方法感悟方法感悟1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值失误防范失误防范1利用图象求函数最值时，要注意定义域利用图象求函数最值时，要注意定义域所对应的图象所对应的图象(如例如例1)2作为函数的最值，一定能使函数等于这作为函数的最值，一定能使函数等于这个值个值1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值1.函数的最大函数的最大(小小)值的定义及几何意义

16、值的定义及几何意义 2.三类函数的最值的求法三类函数的最值的求法 利用利用二次函数二次函数的性质的性质(配方法配方法)求函数的求函数的最大最大(小小)值值.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值.利用利用函数单调性函数单调性求函数的最大求函数的最大(小小)值值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递增上单调递增,则函数则函数y=f(x)在在x=a处有最小值处有最小值f(a),在在x=b处有最大值处有最大值f(b).函数在其定义域上的函数在其定义域上的最大值最大值,其几何其几何意义是图象上意义是图象上最高点最高点的的纵坐标纵坐标;最小值最小值为为图象上图象上最低点最

17、低点的的纵坐标纵坐标.1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值1.利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最）求函数的最 大大(小小)值值 2.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值 3.利用利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大的判断函数的最大(小小)值值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递上单调递增增,则函则函数数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b);如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递上单调递减减,在区在区间间b,c上单调递上单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b).利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值课本课本P.39 B组组 1