19.2.3(2) 正方形课件 人教新课标版.ppt

1、19.2.3(2)正方形4.正方形的性质以及与矩形、菱形性质的比较矩形它们都具有平行四边形的性质:对边平行且相等对角相等对角线互相平分都是中心对称图形角:四个角都是直角对角线:相等菱形边:四条边都相等对角线:互相垂直,每条对角线平分一组对角正方形边:四条边都相等角:四个角都是直角对角线:相等且互相垂直,每条对角线平分一组对角 性质共同性质特殊性质1.下列四边形:正方形,矩形,菱形,对角线一定相等的是().A.B.C.D.答案:B2.正方形的判定(1)邻边 的矩形是正方形;(2)有一个角是 的菱形是正方形.答案:(1)相等 (2)直角练练 一练一练3.下列命题中的假命题是().A.一组邻边相等的

2、平行四边形是菱形B.一组邻边相等的矩形是正方形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形答案:D4.正方形的两条对角线把这个正方形分成 个全等的等腰直角三角形.答案:四5.5.如图所示，菱形如图所示，菱形ABCDABCD中，中，对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，若再补充一个条件能使若再补充一个条件能使菱形菱形ABCDABCD成为正方形，成为正方形，则这个条件是则这个条件是_（只填一个条件即可）（只填一个条件即可）.【解析解析】此题考查了正方形的判定，有一个角是直角的菱形是此题考查了正方形的判定，有一个角是直角的菱形是正方形，对角

3、线相等的菱形是正方形，所以答案不惟一，例如：正方形，对角线相等的菱形是正方形，所以答案不惟一，例如：ABADABAD，BAD=90BAD=90,AC=BD,AC=BD等等.答案：答案：AC=BDAC=BD（答案不惟一）（答案不惟一）【例2】把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图).试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.解:HG=HB.证法一:连接AH,如图(1).四边形ABCD,AEFG都是正方形,B=G=90.由题意知AG=AB,又AH=AH,RtAGH RtABH.(HL)HG=HB.(1)(2)证法二:连接GB,

4、如图(2).四边形ABCD,AEFG都是正方形,ABC=AGF=90.由题意知AB=AG.AGB=ABG.HGB=HBG.HG=HB.点拨:旋转前后的图形是全等形,正方形旋转前后的对应边相等.在寻找等量关系时,通常添加辅助线,构造出全等三角形.【例3】如图(1),在正方形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA上的点,HA=EB=FC=GD,连接EG,FH,交点为O.(1)如图(2),连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论;(2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开,再把得到的四个四边形按图(3)的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3

5、 cm,HA=EB=FC=GD=1 cm,则图(3)中阴影部分的面积为 cm2.解:(1)四边形EFGH是正方形.证明:四边形ABCD是正方形,A=B=C=D=90,AB=BC=CD=DA.HA=EB=FC=GD,AE=BF=CG=DH.AEH BFE CGF DHG.EF=FG=GH=HE.四边形EFGH是菱形.AEH+AHE=90,DHG+AHE=90.GHE=90.四边形EFGH是正方形.(2)1点拨:证明一个四边形是正方形,一般应先证明它是一个菱形或矩形,再证明它是正方形.由DHG AEH知DHG=AEH.1.如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折

6、痕所成的角的度数应为().A.60B.30C.45D.90答案:C巩固提高巩固提高2.正方形内有一点A,到各边的距离从小到大依次是1,2,3,4,则正方形的周长是().A.10 B.20 C.24 D.25解析:根据已知可得正方形的边长是5,所以周长是20.答案:B3.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,ABC=CDA=90,BEAD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE等于().A.2 B.3C.2或 D.2或 28312解析:过点B作BFCD,交DC的延长线于点F,可证ABE CBF,四边形EBFD为正方形,S四边形ABCD=S四边形EBFD=8,BE=2或.28答案:C4.如图,菱

7、形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件:,使得该菱形为正方形.答案:答案不唯一,如ABBC或AC=BD或AO=BO等5.如图,正方形纸片ABCD的边长为8,将其沿EF折叠,则图中四个三角形的周长之和为 .答案:326.6.一个正方形的面积为一个正方形的面积为8cm8cm2 2,则其对角线的长为则其对角线的长为_cm._cm.7.7.如图，如图，ACAC是正方形是正方形ABCDABCD的对角线，的对角线，AEAE平分平分BACBAC，EFACEFAC交交ACAC于点于点F.F.（1 1）图中与线段）图中与线段BEBE相等的所有线段是相等的所有线段是_；（2 2）选择图中与）选择图中与BE

8、BE相等的任意一条相等的任意一条线段，并加以证明线段，并加以证明.【解析解析】（1 1）EFEF，CF.CF.（2 2）证明：在正方形）证明：在正方形ABCDABCD中，中，B=90B=90,又又AEAE平分平分BACBAC，EFACEFAC，BE=EF.BE=EF.8.(2011广东肇庆中考)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED.(1)求证:BEC DEC;(2)延长BE交AD于点F,若DEB=140,求AFE的度数.(1)证明:四边形ABCD是正方形,CD=CB.AC是正方形的对角线,DCA=BCA.又CE=CE,BEC DEC.(2)解:DEB=140,由BEC

9、 DEC可得DEC=BEC=1402=70.AEF=BEC=70.又AC是正方形的对角线,DAB=90,DAC=BAC=902=45.在AEF中,AFE=180-70-45=65.9.如图,已知在ABC中,ACB=90,CD是ACB的平分线,DEAC交BC于E,DFBC交AC于F.求证:四边形CEDF是正方形.证明:DEAC,DFBC,四边形CEDF是平行四边形.又ACB=90,CEDF是矩形.DEC=DFC=90.又CD是ACB的平分线,DE=DF.矩形CEDF为正方形.1.1.（20092009 丰泽中考）下列四边形：正方形、丰泽中考）下列四边形：正方形、矩形、菱形，对角线一定相等的是矩形

10、、菱形，对角线一定相等的是()()（A A）（B B）（C C）（D D）【解析解析】选选B.B.矩形、正方形的对角线一定相等矩形、正方形的对角线一定相等.2.2.正方形内有一点正方形内有一点O O，到各边的距离从小到大依次是，到各边的距离从小到大依次是1 1、2 2、3 3、4 4，则正方形的周长是（则正方形的周长是（）(A)10(A)10(B)20(B)20(C)24(C)24(D)25(D)25【解析解析】选选B.B.如图所示，如图所示，OE=1OE=1，OG=2OG=2，OH=3OH=3，OF=4.OF=4.由题意得四边形由题意得四边形AEOGAEOG，四边形，四边形GOFDGOFD，

11、四边形四边形EOHBEOHB和四边形和四边形OFCHOFCH均为矩形，所以均为矩形，所以AG=BH=1AG=BH=1，GD=HC=4GD=HC=4，AE=DF=2AE=DF=2，BE=CF=3BE=CF=3，所以正方形的周长为，所以正方形的周长为20.20.3.3.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD，EFGHEFGH，NHMCNHMC都是正方形，边长分别都是正方形，边长分别为为a,b,c,A,B,N,E,Fa,b,c,A,B,N,E,F五点在五点在同一直线上，则同一直线上，则c=_(c=_(用含有用含有a,ba,b的代数式表示的代数式表示).).5.5.如图，已知矩形如图，已知矩形ABC

12、DABCD的的四个内角平分线组成四边形四个内角平分线组成四边形EMFN.EMFN.求证：四边形求证：四边形EMFNEMFN是正方形是正方形.【证明证明】四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，DAB=ABC=90DAB=ABC=90，1=2=3=4=451=2=3=4=45，AEB=90AEB=90，同理，同理M=N=90M=N=90，四边形四边形MENFMENF是矩形是矩形.又又1=31=3，AE=BEAE=BE，2=42=4，AD=BCAD=BC，RtRtAMDRtAMDRtBNCBNC,AM=BN,EM=EN,AM=BN,EM=EN,四边形四边形EMFNEMFN是正方形是正方形.6.

13、(20096.(2009湖州中考湖州中考)如图：如图：已知在已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D为为BCBC边的中点，过点边的中点，过点D D作作DEABDEAB，DFAC,DFAC,垂足分别为垂足分别为E,F.E,F.（1 1）求证：）求证：BEDBEDCFDCFD；（2 2）若）若A=90A=90，求证：四边形，求证：四边形DFAEDFAE是正方形是正方形.【证明证明】（1 1）DEABDEAB，DFACDFAC，BED=CFD=90BED=CFD=90,AB=AC,AB=AC,B=C,DB=C,D是是BCBC的中点，的中点，BD=CDBD=CD，BEDBEDCFD.CF

14、D.（2 2）DEAB,DFAC,DEAB,DFAC,AED=AFD=90AED=AFD=90,A=90A=90,四边形四边形DFAEDFAE为矩形为矩形.BEDBEDCFDCFD，DE=DFDE=DF，四边形四边形DFAEDFAE为正方形为正方形.已知：在正方形已知：在正方形ABCDABCD中，中，MAN=45MAN=45,MAN,MAN绕点绕点A A顺时针旋转，顺时针旋转，它的两边分别交它的两边分别交CBCB、DCDC（或它们的延长线）于点（或它们的延长线）于点M M、N.N.当当MANMAN绕点绕点A A旋转到旋转到BM=DNBM=DN时（如图（时（如图（1 1），易证），易证BM+DN=MN.BM+DN=MN.（1 1）当）当MANMAN绕点绕点A A旋转到旋转到BMDNBMDN时（如图（时（如图（2 2），线段），线段BMBM、DNDN和和MNMN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.（2 2）当）当MANMAN绕点绕点A A旋转到如图（旋转到如图（3 3）的位置时，线段）的位置时，线段BMBM、DNDN和和MNMN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.