高一必修平面向量的数量积及平面向量的应用(DOC 15页).doc

1、学习好资料 欢迎下载平面向量的数量积及平面向量的应用一、目标认知学习目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.难点：用向量的方法解决几何、物理等问题.二、知识要点梳理知识点一： 平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积

2、，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的 数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“” 代替.(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出 .因为其中有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时

3、投影为.知识点二：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.1.2.3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或4.5.知识点三：向量数量积的运算律1.交换律：2.数乘结合律：3.分配律：要点诠释：1.已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是；2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.知识点四：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量，2.设，则或3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).三、规律方法指导1.向量在几何中的应用：(1)证明线段平行问题，包

4、括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件 (3)求夹角问题，利用(4)求线段的长度，可以利用或2.向量在物理中的应用：(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；(2)向量在速度分解与合成中的作用.经典例题透析类型一：数量积的运算1已知下列命题：； ； ；其中正确命题序号是_.思路点拨：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.解析：、 .2已知； (2) ；(3) 的夹角为30，分别求.解析：(1)当时， 或.(2)当时， .(3)当的夹角为30时，.举一反三：【变式1】已知，求.解析：总结升华：熟练应用平面向量数量积的定义

5、式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.类型二：模的问题3已知向量满足，且的夹角为60，求.解析： ，且的夹角为60 ； 总结升华：要根据实际问题选取恰当的公式举一反三：【变式1】已知的夹角为， ，则 等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1解析：， ，解得，故选B.总结升华：涉及向量模的问题一般利用，注意两边平方是常用的方法.类型三：夹角问题4已知，求向量与向量的夹角.已知，夹角为，则_.解析： ， 故夹角为60. 题意得.总结升华：求两个向量的夹角，需求得，及，或得出它们的关系，在求解过程中要注意夹角的范围，同时要正确理解公式.5已知是非零向量，若与垂直，与垂直，试求的夹角.解析：

6、由条件知且 由-得，代入即所求向量的夹角为.举一反三：【变式1】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.解析：法一：将两边平方得 ， 则， 故的夹角为30.法二： 数形结合总结升华：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.【变式2】求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角.解析：设为等腰三角形，AD、BE为两直角边BC、AC的中线，以两直角边BC、AC所在的直线分别为，轴，建立直角坐标系，如图所示，并设，则，.，又， 设AD与BE所成的钝角为角，则为与的夹角. ，故所求的角为.类型四：综合应用问题6已知向量.(1) 若 ； (2)求的最大值 .解析：(1)若，则. (2)=，

7、的最大值为.7设AC是平行四边形ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，如图所示，求证：.思路点拨：由向量的数量积的定义可知：两向量、的数量积(其中是、的夹角)，它可以看成与在的方向上的投影之积，因此要证明等式可转化成：，而对该等式我们采用向量方法不难得证.解析：在中， 在中， ， 又在平行四边形ABCD中， 原等式左边右边.举一反三：【变式1】如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：.思路点拨：如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标

8、后，就可进行论证.解析：以点D为坐标原点，DC所在直线为轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1，则，于是，.学习成果测评基础达标：1.若=0， ，且则A. B. C. D12.若=(1，1)，=2，则=( )A B5 C1 D3.已知，是非零向量且满足，则与的夹角是( )A. B. C. D.4.在边长为1的正三角形ABC中，则=_.5.设均为非零向量，则下面结论：； ；.正确的是_.6.已知平面向量，=(3，-4)，=(2，x)，=(2，y)且/，求以及和的夹角.7.已知(1)求与的夹角(2)求 和 (3)若作三角形ABC，求的面积.答案与解析：1.A2.A3.B4.5.，6.解：， 解之

9、 ， 又 与 的夹角为90.7.解： 解得： ，又 能力提升：1.已知向量=(x-5，3)，=(2，x)且则由x的值构成的集合是( )A. B. C. D.2.已知为非零的平面向量，甲:；乙:；则( )A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件.C甲是乙的充要条件 D既不充分也不必要条件.3.已知向量且则向量等于A B C D4.若且，则向量与的夹角为( )A. B. C. D.5.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是ABC的( )A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点 D三条高的交点6.设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为(

10、 )A B C D7.已知 且与的夹角为，k的值是_.8.若两个向量与的夹角为，则称向量为“向量积”，其长度 ，令已知，则=_.9.设向量 满足 及 (1)求 所成角的大小；(2)求 的值.10.已知，且存在实数k和t，使得 且，试求的最小值.答案与解析：1.C2.B3.解：设联立解得选D.4.C5.D6.B7.-58.39.(1) 而则， 故与所成的角为(2)10.由题意可得 ， ，故有 由 知：， 即 可得，故 即当t=-2时，有最小值为综合探究：1.ABC中，点O为BC的中点，过点O作直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若，则m+n=( )A2 B1 C4 D2.设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为( )A B C D3.ABC中，BAC=120，AB=2，AC=1，D为边BC上一点，则 =( )A B C D44.F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若，=( )A9 B6 C4 D35.若向量不共线，且，则向量的夹角为( )A0 B C D6.已知，且.(1)求的最值.(2)是否存在k的值，使.答案与解析：1.A2.A 解：由与在方向上的投影相同，可得：，即 ，.选A.3.A4.B5.D6.解：(1)， 又， 令 令，则 则 m在，1上为增函数 (2)由条件知： 又，由得 ，即 故存在满足题意.