新教材人教B版高中数学必修第三册-71-任意角的概念与弧度制-教学课件.pptx

1、 7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广7.1.2弧度制及其与角度制的换算 P71学习目标1.理解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角.2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角是不是终边相同的角.3.会用集合的形式表示象限角、轴线角和终边相同的角，能进行简单的角的集合之间的运算.重点：将0360的角的概念推广到任意角.难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示.7.1.1角的推广知识梳理一、角的概念的推广 同时我们还知道，角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.1.小学和初中所学过的角 在小学和初中，我

2、们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边.我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角（360）的大小.2.角的概念的推广（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360？（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？思考：当摩天轮在持续不断地转动时，角的概念的推广：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定，按照逆时

3、针方向旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角.这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角.提示：“旋转”是用运动的观点来定义角，它使得角的范围不再局限于0360，研究问题变得更加方便.旋转三要素：未作任何旋转时的位置，旋转方向，旋转的绝对量，即旋转度数.值得注意的是，在角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的.因此，角的概念经过推广以后，就包括正角、负角、零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概念推广到了任意角.3.角的作图方法作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向

4、和旋转的绝对量.图（1）图（2）如图（1）（2）表示的两个转角，逆时针方向旋转形成正角.顺时针方向旋转形成负角.注意：1.由图确定任意角的度数时，首先看旋转方向，以确定正负；其次看旋转圈数，以确定数量.2.画图表示角时，因为箭头的方向代表角的正负，所以箭头不能丢掉.3.始边与终边重合的角不一定是零角，只有终边没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角.4.角的加减运算的一个几何意义利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义.例如，对于60+90来说，如图（1）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60，OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60

5、+90150.图（1）类似地，如图（2）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90，OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90-3060.图（2）二、象限角1.象限角为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.提示：1.“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合”是研究象限角的前提，也是将角置于坐标系进行研究的最简形式.2.当角的终边在坐标轴上时，通常称此类角为轴线角.

6、3.在平面直角坐标系内讨论角的好处：在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360后回到原来的位置.因此，在平面直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.示例：图（1）图（2）二四对于集合S|+k360，kZ 的理解应注意四点：（1）是任意角.（4）若顶点和始边相同，则相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍.知识拓展1.各象限角的集合表示象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角2.轴线角的集合表示角终边的位置角的集合表示在x轴的正半轴上在x轴的负半轴上在y轴的正半轴上在y轴的负半轴上在x轴上在y轴上在坐

7、标轴上常考题型一、角的概念的推广例1 下列说法：经过两个小时，时钟的时针转过的角是60；钝角一定大于锐角；射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周所成的角是0；小于90的角都是锐角.其中错误的为（填序号）.1.辨析角的概念【解析】经过两个小时，时钟的时针按顺时针方向旋转60，因而转过的角为-60，故不正确.钝角的取值范围为90180，锐角的取值范围为090，因此钝角一定大于锐角，故正确.射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周所成的角是360，故不正确.锐角的取值范围是090，小于90的角也可以是零角或负角，故不正确.【答案】训练题下列说法正确的有.（填序号）零角的始边和终边重合.始边和终边重合的角是

8、零角.如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则AOB45；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则BOA-45.绝对值最小的角是零角.2.角的加减及其几何意义例2 射线OA绕端点O按逆时针方向旋转120到达OB，再由OB顺时针旋转240到达OC，则AOC（）A.120 B.-120 C.360 D.-360【解析】射线OA绕端点O按逆时针方向旋转120到达OB所形成的角为120，由OB顺时针旋转240到达OC所形成的角为-240，则OA绕端点O按顺时针方向旋转到OC所形成的AOC120+（-240）-120.【答案】B训练题1.如图（1）（2），从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角

9、度 ，.图（1）图（2）【点拨】在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：要明确旋转方向；要明确旋转绝对值；要明确射线未作任何旋转时的位置；注意由旋转方向来确定角的符号.2.求和并作图表示下列各角：（1）60+90；（2）90-30；（3）-60-45.解：（1）60+90150，如图；（2）90-3060，如图；（3）-60-45-105，如图.图 图 图二、象限角、轴线角与终边相同的角 1.辨析象限角、轴线角例3 若角的终边经过点M（0，-3），则角（）A.是第三象限角 B.是第四象限角C.既是第三象限角，又是第四象限角 D.不属于任何一个象限【解析】点M（0，-3）在y轴负半轴上，角不属于任

10、何一个象限.【答案】D2.写与已知角终边相同角的集合，求在某个范围内与已知角终边相同的角例4 写出与75角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式3601 080的元素写出来.【解题提示】根据与角终边相同的角的集合为|+k360，kZ，写出与75角终边相同的角的集合S，再取适当的k值，求出满足不等式3601 080的元素.求在某个范围内与已知角终边相同的角的方法首先可将这样的角表示成+k360（kZ）的形式，然后采用解不等式或赋值法求解，确定k的值，求出符合条件的角.例5 已知-1 120.（1）把写成+k360（kZ）的形式，其中0360；（2）写出与角终边相同的角的集合S，并求出S中满足不

11、等式-7200的元素.【解题提示】（1）将除以360，得商和余数，再改写成+k360（kZ）的形式；（2）先写出与终边相同的角的集合，然后采用赋值法或解关于k的不等式（组）求出k，再代入求出范围内的角.训练题已知-1 845，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角：（1）最小的正角；（2）最大的负角；（3）-360，720范围内的角.3.写终边在某条过原点的射线上的角的集合 例6 在平面直角坐标系中写出下列角的集合：（1）终边在x轴的正半轴上；（2）终边在yx（x0）上.写终边在某条过原点的射线上的角的集合的一般步骤（1）数形结合，在平面直角坐标系中画出该射线.（2）写出0，360）内，终边在

12、该射线上的角.（3）再写出与上述角终边相同的角组成的集合.训练题1.终边与坐标轴重合的角的集合是（）A.|k360，kZ B.|k180，kZC.|k90，kZ D.|k180+90，kZ2.集合M|k90，kZ中各角的终边都在（）A.x轴正半轴上 B.y轴正半轴上C.x轴或y轴上 D.x轴正半轴或y轴正半轴上CC3.下列说法不正确的是 .（填序号）第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角都是钝角；小于90的角是锐角.4.若角与的终边相同，则角-的终边（）A.在x轴的正半轴上 B.在x轴的负半轴上C.在y轴的负半轴上 D.在y轴的正半轴上A5.判定给定角是第几象限角或终边在

13、第几象限例8 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在0，360）的范围内与其终边相同的角.（1）405；（2）-45；（3）495；（4）-520.【解题提示】【解】作出各角的终边如图所示.由图可知：（1）405角是第一象限角；（2）-45角是第四象限角；（3）495角是第二象限角；（4）-520角是第三象限角.（1）40545+360，所以在0，360）的范围内，与405角终边相同的角是45角.（2）-45315-360，所以在0，360）的范围内，与-45角终边相同的角是315角.（3）495135+360，所以在0，3

14、60）的范围内，与495角终边相同的角是135角.（4）-520200-2360，所以在0，360）的范围内，与-520角终边相同的角是200角.判定给定角是第几象限角或终边在第几象限的方法根据终边相同的角的概念，将写成+k360，kZ，0360的形式，观察角的终边所在的象限即可.在第几象限，此角就是第几象限角.也即，将除以360，求出其在0，360）内的余数，再根据这个余数来确定角所在的象限.训练题1.已知-1 910，把写成+k360（kZ，0360）的形式，指出它是第几象限角.三、终边对称的两角之间的关系 例9 若与的终边关于y轴对称，则+的终边一定 落在 .训练题1.已知为小于180的

15、正角，这个角的4倍与这个角的终边关于x轴对称，那么 .2.已知角和角的终边关于直线yx对称，且-60，则 .72或144k360+150（kZ）四、写终边在某条过原点的直线上的角的集合【锦囊妙记】终边相同的角常用的三个结论1.终边相同的角之间相差360的整数倍.2.终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍，即若与的终边在同一条直线上，则-k180，kZ.3.终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍，即若与的终边垂直，则-90+k360，kZ.写终边在某条过原点的直线上的角的集合的一般步骤（1）数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线（射线）.（2）写出0，360）内所有终边在该直线（射

16、线）上的角.（3）再分别写出与上述角终边相同的角组成的集合.（4）对上述集合求并集，并化简集合，得结论.【说明】终边在过原点的直线上的角都可表示为180的整数倍加上0，180）范围内终边在该直线上的角，即：终边在过该直线上的角的集合可以记为|+k180，kZ.训练题写出终边落在如图所示的直线上的角的集合.图（1）图（2）图（3）图（4）解：由于终边落在直线上的角都是180的整数倍加上相应的角（0到180范围内），因此相对应的角的集合为：（1）|90+k180，kZ.（2）|45+k180，kZ.（3）|135+k180，kZ.（4）|45+k180，kZ|135+k180，kZ|45+2k90

17、，kZ|45+（2k+1）90，kZ|45+k90，kZ.五、判定倍角、分角、补角终边所在位置A例12 已知角是第二象限角，则180-是第几象限【解】由角是第二象限角，可得90+k360180-180-（180+k360），kZ，即90-k360180-k360，kZ.所以180-为第一象限角.【锦囊妙记】与180-的终边关于y轴对称，类似地，与-的终边关于x轴对称，与180+的终边关于原点对称，利用这些关系，可以由的终边所在的象限直接看出相应角的终边所在的象限.训练题1.若是第四象限角，则180-的终边一定在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知是第三象限角，则-是第（

18、）象限角.A.四 B.三 C.二 D.一CC六、求终边落在某区域的角的集合例13 如图所示，已知的终边在图中阴影部分所表示的区域内（包括边界），则角的集合为 .【解析】如图所示，按逆时针方向找到区域的起始边界OA和终止边界OB，OA，OB对应的0，360范围内的角分别为45，150，最简区间为|45150.终边落在该区域的角的集合为|45+k360150+k360，kZ.【答案】|45+k360150+k360，kZ 训练题1.如图所示，终边落在阴影部分内（含边界）的角的集合是（）A.|-45120B.|120315C.|-45+k360120+k360，kZD.|120+k360315+k3

19、60，kZC2.如图所示，写出终边在图中阴影部分内（包括边界）的角的集合，并判断-95012角是不是该集合中的角.3.已知角的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内，求角的取值范围.解：当角的终边落在阴影的上半部分时，|k360+30k360+150，kZ，当角的终边落在阴影的下半部分时，|k360-150k360-30，kZ.由此可知满足题意的角的取值范围为|k180+30k180+150，kZ.小结1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个，在0360范围内与

20、已知角终边相同的角有且只有一个.用除以360，若所得的商为k，余数为（必须是正数），则即为所找的角.3求终边相同的特定范围内的角时，可以根据数形结合试算得解，从而能够避免列不等式计算的麻烦。7.1.2弧度制及其与角度制的换算学习目标 1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.2.理解1弧度的角及弧度的定义.3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，并熟记几个特殊角的弧度数.4.掌握弧度制中的弧长公式和扇形面积公式.重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念.知识梳理一、度量两种角的制度（弧度制与角度制）角度制角度制定义用度数作为单位来度量角的单位制1度角弧度制弧度制

21、定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角.它的单位符号时rad，读作弧度.二、弧度制与角度制的换算（1）正角的弧度数是一个正数；（2）负角的弧度数是一个负数；（3）零角的弧度数是0.180 rad.注意：巧记：数形结合记忆弧度数结合直角坐标平面记忆各终边的角的弧度数如下：三、扇形的弧长与面积公式常考题型一、弧度制【答案】训练题1.在大小不同的圆中，1 rad的圆心角所对的（）A.弦长相等 B.弧长相等C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径2.下列说法中错误的是.弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系；1弧度是长度为半径长的

22、弧；1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小；用弧度作角的单位仅能表示正角.D二、角度与弧度的互化C三、象限角、轴线角、终边相同的角的弧度制表示 D4.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如图所示）.图（1）图（2）图（3）四、弧长与扇形面积公式【答案】（1）A（2）D应用弧度制解决问题的方法（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.C五、与弧度有关的实际应用题例5 如图所示，已知AOB1 rad，点A1，A2，在OA上，点B1，B2，在OB上，其中的每一个实线段和虚线段长均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为1单位/秒，则质点M到达点A10处所需要的时间为秒.B小结