新人教版必修四高中数学精讲优练课型第二章平面向量25平面向量应用举例课件.ppt

1、2.5平面向量应用举例【知识提炼知识提炼】1.1.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤三个步骤”(1)(1)建立平面几何与向量的联系，用建立平面几何与向量的联系，用_表示问题中涉及的几何元素，表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为将平面几何问题转化为_._.(2)(2)通过通过_研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)(3)把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系.向量向量向量问题向量问题向量运算向量运算2.2.向量在物理中的应用向量在物理中的应用(1)(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位

2、移等物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.(2)(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.(3)(3)动量动量mvmv是向量的数乘运算是向量的数乘运算.(4)(4)功是力功是力F与位移与位移s的数量积的数量积.【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题.(1)(1)若若 ，则直线，则直线ABAB与与CDCD平行吗？平行吗？提示：提示：不一定不一定.，则直线，则直线ABAB与与CDCD平行或重合平行或重合.(2)(2)向量向量 的夹角是直线的夹角是直线ABAB，CDCD的夹角吗？的夹角吗？提示：提示：不一定是不一定是.因为直线

3、因为直线ABAB，CDCD的夹角范围为的夹角范围为 所以当所以当 的夹角是锐角或直角时，即为直线的夹角是锐角或直角时，即为直线ABAB与与CDCD的夹角，否则不是的夹角，否则不是.ABCD ABCD AB CD ，02，ABCD 与2.2.若向量若向量 =(2=(2，2)2)，=(-2=(-2，3)3)分别表示两个力分别表示两个力F1 1，F2 2，则，则|F1 1+F2 2|为为()A.(0A.(0，5)5)B.(4B.(4，-1)-1)C.2C.2D.5D.5【解析解析】选选D.D.因为因为F1 1+F2 2=(2=(2，2)+(-22)+(-2，3)=(03)=(0，5)5)，所以所以|

4、F1 1+F2 2|=5.|=5.1OF2OF23.3.力力F=(-1=(-1，-2)-2)作用于质点作用于质点P P，使，使P P产生的位移为产生的位移为s=(3=(3，4)4)，则力，则力F F对质点对质点P P做的功是做的功是_._.【解析解析】因为因为W=Fs=(-1=(-1，-2)-2)(3(3，4)=-114)=-11，所以力，所以力F对质点对质点P P做的功是做的功是-11.-11.答案：答案：-11-11【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：向量方法可解

5、决平面几何中的哪些问题？：向量方法可解决平面几何中的哪些问题？问题问题2 2：利用向量法如何证明相等、平行、垂直、三点共线及求角？：利用向量法如何证明相等、平行、垂直、三点共线及求角？【总结提升总结提升】向量方法在平面几何中应用的五个主要方面向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)(1)要证明两线段相等，如要证明两线段相等，如AB=CDAB=CD，则可转化为证明，则可转化为证明 (2)(2)要证明两线段平行，如要证明两线段平行，如ABCDABCD，则只要证明存在实数，则只要证明存在实数00，使，使 成立，且成立，且ABAB与与CDCD无公共点无公共点.(3)(3)要证明两线段垂直，如要证明

6、两线段垂直，如ABCDABCD，则只要证明数量积，则只要证明数量积 (4)(4)要证明要证明A A，B B，C C三点共线，只要证明存在一实数三点共线，只要证明存在一实数00，使，使 (5)(5)要求一个角，如要求一个角，如ABCABC，只要求向量，只要求向量 与向量与向量 的夹角即可的夹角即可.22ABCD.ABCD AB CD0.ABAC.BA BC 知识点知识点2 2 向量在物理中的应用向量在物理中的应用观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：在物理学中，你知道哪些知识与向量的线性运算有关系？：在物理学中，你知道哪些知识与向量的线性运算有关系？问题

7、问题2 2：如何利用向量方法解决物理中的相关问题？：如何利用向量方法解决物理中的相关问题？【总结提升总结提升】向量在物理中应用时要注意的三个问题向量在物理中应用时要注意的三个问题(1)(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型.(2)(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.(3)(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识：在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识：力、速度、加速度和位移都是向量；力

8、、速度、加速度和位移都是向量；力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法；力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法；动量动量m mv是数乘向量；是数乘向量；功是力功是力F与在力与在力F的作用下物体所产生的位移的作用下物体所产生的位移s的数量积的数量积.【题型探究题型探究】类型一类型一 平面几何中的垂直问题平面几何中的垂直问题【典例典例】1.1.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，=(1=(1，2)2)，=(-4=(-4，2)2)，则该四边形，则该四边形的面积为的面积为()A.A.B.2B.2C.5C.5D.10D.102.2.如图，在正方形如图，在正方形ABCDABC

9、D中，中，E E，F F分别为分别为ABAB，BCBC的中点的中点.求证：求证：AFDE(AFDE(利用向量证明利用向量证明).).AC BD 55【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中由中由 的坐标表示，可以得出的坐标表示，可以得出ACAC，BDBD存存在怎样的位置关系？在怎样的位置关系？提示：提示：由由 =0=0，可知，可知ACBDACBD，即平行四边形的对角线互相垂直，即平行四边形的对角线互相垂直.2.2.典例典例2 2中，要证明中，要证明AFDEAFDE，如何采用向量法求证？，如何采用向量法求证？提示：提示：证明证明ACBD 与AC BD AF DE0.【解析解析】1.1.选选C

10、.C.因为因为 =1=1(-4)+2(-4)+22=02=0，所以，所以 ，所，所以四边形以四边形ABCDABCD的面积是的面积是AC BD ACBD 11|AC|BD5205.22 2.2.方法一：设方法一：设则则所以所以所以所以a2 2=b2 2，ab=0=0，所以，所以 =0=0，所以，所以 即即AFDE.AFDE.ABAD，ab11AFED22 ，abba2211113AF ED(.22224 ab)ba)baa bABADABAD 又，且，AF ED AFED ，方法二：以点方法二：以点A A为坐标原点，为坐标原点，ABAB所在直线为所在直线为x x轴建立平面直角坐标系，设正方形的边

11、长为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1.1.则则A(0A(0，0)0)，D(0D(0，1).1).所以所以又又所以所以 即即AFDE.AFDE.11E(0)F(1)22，11AF(1)0 0(1)22，11DE(0)0 1(1)22，11AF DE(1)(1)022 ，AFDE ，【方法技巧方法技巧】利用向量解决垂直问题利用向量解决垂直问题(1)(1)方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.0.(2)(2)途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式途径：可以考虑向量关系式

12、的形式，也可以考虑坐标的形式.【变式训练变式训练】如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，P P是对角线是对角线DBDB上一点，上一点，PFCEPFCE是矩形，是矩形，证明：证明：PAEF.PAEF.【证明证明】以点以点D D为坐标原点，为坐标原点，DCDC所在直线为所在直线为x x轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1 1，DP022222A 0 1P()E(1)F(0)22222222PA(1)EF(1)22222222PA EF(1)(1)()22222222(11)002222PAEFPAEF.，则，于是，因为()，所

13、以，即【延伸探究延伸探究】若本题条件不变，用向量法证明若本题条件不变，用向量法证明PA=EF.PA=EF.【解题指南解题指南】本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出系，用向量坐标来解决，为此只要写出 的坐标，证明其模的坐标，证明其模相等即可相等即可.PAEF 和【证明证明】建立如图所示的平面直角坐标系，建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为设正方形的边长为a a，则，则A(0A(0，a).a).设设DP02a ，2222222222F(0)P()E(a)A 0a22222222EF(a)PA(a)2

14、222EF2aaPA2aaEFPAPAEF.则，所以，因为，所以，即类型二类型二 平面几何中的长度问题平面几何中的长度问题【典例典例】1.1.已知在已知在ABCABC中，中，A=60A=60，BC=aBC=a，AC=bAC=b，AB=cAB=c，APAP是是BCBC边上的中线，则边上的中线，则APAP的长的长为为()()2.2.已知在已知在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，设，设AC=mAC=m，BC=n.BC=n.(1)(1)若若D D为斜边为斜边ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=AB.CD=AB.(2)(2)若若E E为为CDCD的中点，连接的中点，连接AEAE并延长交

15、并延长交BCBC于于F F，求，求AFAF的长度的长度(用用m m，n n表示表示).).222222221111A.abab B.bcbc C.acac D.bcbc222212【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中 的夹角是多少？如何利用的夹角是多少？如何利用 表表示向量示向量？提示：提示：的夹角为的夹角为6060，根据平行四边形法则和两个向量共线的，根据平行四边形法则和两个向量共线的条件，可以用条件，可以用 表示向量表示向量 .2.2.典例典例2 2中，如何求中，如何求？提示：提示：利用利用A A，E E，F F三点共线，三点共线，ABAC 与ABAC 与ABAC 与ABAC 与

16、AP AF AFAE.AP【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为APAP是是BCBC边上的中线，边上的中线，所以向量所以向量1AP(ABAC)2 ，2222222222221AP(ABAC)41(AB2AB ACAC)411(AB2|AB|AC cos 60AC)cbcb4411APbcbcAPbcbc.22 所以，所以，即的长为2.(1)2.(1)以以C C为坐标原点，以边为坐标原点，以边CBCB，CACA所在的直线分别为所在的直线分别为x x轴，轴，y y轴建立平面直角坐标系，如图所轴建立平面直角坐标系，如图所示，则示，则A(0A(0，m)m)，B(nB(n，0)0)因为因为D D为为A

17、BAB的中点，所以的中点，所以nmD()22，22221CD nmABmn211CDABCDAB.22 所以，所以，即(2)(2)因为因为E E为为CDCD的中点，所以的中点，所以设设F(xF(x，0)0)，则，则因为因为A A，E E，F F三点共线，所以三点共线，所以即即(x(x，-m)=-m)=则则 故故=，即，即x=x=，所以，所以所以所以 即即AFAF的长为的长为n mE()44，n3AE(m)AFxm44 ，AFAE.n3(m).44，nx43mm4，43n3nF(0)3，221AFn9m3，221n9m.3【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)典例典例2 2中若条件不

18、变，如何求中若条件不变，如何求AEAE的长的长.【解析解析】建立坐标系后，由题知，建立坐标系后，由题知，则则n3AE(m)44，2222n31|AE|AE()(m)n9m.444 2.(2.(改变问法改变问法)典例典例2 2中若条件不变，如何求中若条件不变，如何求BEBE的长的长.【解析解析】由题知由题知B(nB(n，0)0)，则则所以所以即即BEBE的长为的长为n mE()44，3mBE(n)44 ，22223m1BE(n)()9nm444，2219nm.4【方法技巧方法技巧】1.1.用向量法求长度的策略用向量法求长度的策略(1)(1)利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式利用图形特

19、点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a|2 2=a2 2求解求解.(2)(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a=(x=(x，y)y)，则，则|a|=|=22xy.2.2.用向量解决平面几何问题的两种思想用向量解决平面几何问题的两种思想(1)(1)几何法：选取适当的基底几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化

20、，将几何问题中的长度、垂直、平行坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算等问题转化为代数运算.【补偿训练补偿训练】1.1.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD中，已知中，已知AD=1AD=1，AB=2AB=2，对角，对角线线BD=2BD=2，则对角线，则对角线ACAC的长为的长为_【解题指南解题指南】求线段长度的问题可以转化为求向量的模，写出求线段长度的问题可以转化为求向量的模，写出后会发现未知量可由后会发现未知量可由 计算出计算出2|AC|2|BD|【解析解析】设设而而所以所以5-25-2ab=4=4，所以，所以ab=，又，

21、又 =|=|a+b|2 2=a2 2+2+2ab+b2 2=1+4+2=1+4+2ab=6=6，所以，所以 即即AC=.AC=.答案：答案：ADABBDAC ，则，ababab22BD2142522，abaa bba ba b122AC AC6，662.2.已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，ADC=90ADC=90，AD=2AD=2，BC=1BC=1，P P是腰是腰DCDC上的动点，则上的动点，则 的最小值为的最小值为_【解析解析】方法一：以方法一：以D D为原点，分别以为原点，分别以DADA，DCDC所在直线为所在直线为x x，y y轴建立轴建立如图所示的平面

22、直角坐标系，如图所示的平面直角坐标系，|PA3PB|设设DC=aDC=a，DP=x.DP=x.所以所以D(0D(0，0)0)，A(2A(2，0)0)，C(0C(0，a)a)，B(1B(1，a)a)，P(0P(0，x)x)，所以所以 =(5=(5，3a-4x)3a-4x)，所以所以 的最小值为的最小值为5.5.答案：答案：5 5PA2xPB1ax，PA3PB 22PA3PB253a4x25，|PA3PB|方法二：设方法二：设所以所以所以所以 的最小值为的最小值为5.5.答案：答案：5 5DPxDC 0 x1 ，PC1x DC ，2222221PADADPDAxDC PBPCCB1x DCDA25

23、PA3PBDA34x DC2255PA3PBDA234x DA DC34xDC4225(34x)DC25 ，所以，|PA3PB|类型三类型三 向量在物理中的应用向量在物理中的应用【典例典例】1.1.一航船用一航船用5km/h5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成3030角，则水流速度为角，则水流速度为_；船的实际速度为；船的实际速度为_._.2.2.已知两恒力已知两恒力F1 1=(3=(3，4)4)，F2 2=(6=(6，-5)-5)作用于同一质点，使之由点作用于同一质点，使之由点A(20A(20，15)15)

24、移动到点移动到点B(7B(7，0).0).试求：试求：(1)(1)力力F1 1，F2 2分别对质点所做的功分别对质点所做的功.(2)(2)F1 1，F2 2的合力对质点所做的功的合力对质点所做的功.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，船在河水中航行要考虑哪三个速度？中，船在河水中航行要考虑哪三个速度？提示：提示：水流速度、船在静水中速度、船的实际速度水流速度、船在静水中速度、船的实际速度.2.2.典例典例2 2中如何用坐标表示质点的位移？求力做功可以利用向量的哪种运算？中如何用坐标表示质点的位移？求力做功可以利用向量的哪种运算？提示：提示：用终点坐标减去起点坐标可以求出质点的位移坐标

25、，求力做功可以利用向量数量积运用终点坐标减去起点坐标可以求出质点的位移坐标，求力做功可以利用向量数量积运算算.【解析解析】1.1.如图，如图，表示水流速度，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的表示船向垂直于对岸行驶的速度，速度，表示船实际速度，表示船实际速度，AOC=30AOC=30，|=5km/h.|=5km/h.因为四边形因为四边形OACBOACB为矩形，为矩形，所以水流速度为所以水流速度为5 km/h5 km/h，船实际速度为，船实际速度为10 km/h.10 km/h.答案：答案：5 km/h 10 km/h5 km/h 10 km/hOAOB OC OB ACOBOA5 3 km/

26、htan 30tan 30OAOC10 km/hcos 30 ，332.(1)2.(1)s=(7=(7，0)-(200)-(20，15)=(-1315)=(-13，-15)-15)，从而从而W1 1=F1 1s=(3=(3，4)4)(-13(-13，-15)=3-15)=3(-13)+4(-13)+4(-15)=-99(J)(-15)=-99(J)，W2 2=F2 2s=(6=(6，-5)-5)(-13(-13，-15)-15)=6=6(-13)+(-5)(-13)+(-5)(-15)=-3(J).(-15)=-3(J).(2)(2)W=(=(F1 1+F2 2)s=F1 1s+F2 2s=W

27、1 1+W2 2=-102(J).=-102(J).AB【延伸探究延伸探究】典例典例1 1中若水速为中若水速为5km/h5km/h，船的实际速度为，船的实际速度为5km/h5km/h，且与水速所成的角为，且与水速所成的角为135135，此时的船速大小应为多少？此时的船速大小应为多少？【解析解析】如图，建立直角坐标系，如图，建立直角坐标系，则则A(5A(5，0)0)，由，由|=5|=5得得所以所以则则 则则|v|v船船|=AB=|=AB=故船速的大小为故船速的大小为 OB 55B(22).22，55AB(25222 ，)，22255AB(25)(2)25(22)22 522.522.【方法技巧方

28、法技巧】用向量解决物理中相关问题的步骤用向量解决物理中相关问题的步骤(1)(1)转化：把物理问题转化成数学问题转化：把物理问题转化成数学问题.(2)(2)建模：建立以向量为主体的数学模型建模：建立以向量为主体的数学模型.(3)(3)求解：求出数学模型的相关解求解：求出数学模型的相关解.(4)(4)回归：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象回归：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.【变式训练变式训练】一质点受到平面上的三个力一质点受到平面上的三个力F1 1，F2 2，F3 3(单位：牛顿单位：牛顿)的作用而处于平衡状态的作用而处于平衡状态.已知已知F1 1，F2 2

29、成成120120角，且角，且F1 1，F2 2的大小分别为的大小分别为1 1和和2 2，求，求F1 1与与F3 3所成的角所成的角.【解题指南解题指南】先根据三个力的合力先根据三个力的合力F1 1+F2 2+F3 3=0，然后计算，然后计算F3 3的大小，最后求角的大小，最后求角.【解析解析】由题意知由题意知F1 1+F2 2+F3 3=0，所以，所以F3 3=-(=-(F1 1+F2 2).).如图，在平行四边形如图，在平行四边形OACBOACB中，中，|=1|=1，|=2|=2，OAC=60OAC=60，所以所以所以所以所以所以AOC=90AOC=90，即，即 所以所以F1 1F3 3，即

30、即F1 1与与F3 3所成的角为所成的角为9090.OAOB 222222OCOAOBOA2OA OBOB1212cos 12023 ，OC3，OAOC，【补偿训练补偿训练】已知力已知力F(斜向上斜向上)与水平方向的夹角为与水平方向的夹角为3030，大小为，大小为50N50N，一个质量为，一个质量为8kg8kg的木的木块受力块受力F的作用在动摩擦因数的作用在动摩擦因数=0.02=0.02的水平面上运动了的水平面上运动了20m.20m.问力问力F和摩擦力和摩擦力f所做的功分别为所做的功分别为多少？多少？(g=10m/s(g=10m/s2 2)【解析解析】如图所示，设木块的位移为如图所示，设木块的

31、位移为s s，则则WF=Fs=|=|F|s|cos30|cos30=50=502020 =500 (J).=500 (J).将力将力F分解，它在铅垂方向上的分力分解，它在铅垂方向上的分力F1 1的大小为的大小为|F1 1|=|=|F|sin30|sin30=50=50 =25(N)=25(N)，所以摩擦力所以摩擦力f的大小为的大小为|f|=|=|(G-F1 1)|=0.02)|=0.02(80-25)=1.1(N)(80-25)=1.1(N)，因此因此Wf=fs=|=|f|s|cos180|cos180=1.1=1.12020(-1)=-22(J).(-1)=-22(J).即即F和和f所做的功

32、分别为所做的功分别为500 J500 J和和-22J.-22J.323123易错案例易错案例 向量在物理中的应用向量在物理中的应用【典例典例】(2015(2015大庆高一检测大庆高一检测)两个大小相等的共点力两个大小相等的共点力F1 1、F2 2，当它，当它们的夹角为们的夹角为9090时，合力大小为时，合力大小为20N20N，当它们的夹角为，当它们的夹角为120120时，合力时，合力大小为大小为()()A.10 NA.10 NB.10 NB.10 NC.20 NC.20 ND.20 ND.20 N22【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错

33、在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是对力的向量表示的意义及平行四边形法则理解错误导致错解错误的根本原因是对力的向量表示的意义及平行四边形法则理解错误导致错解.【自我矫正自我矫正】选选B.B.如图如图1 1，以，以F1 1、F2 2为邻边作平行四边形，为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力为这两个力的合力.由题意，易知由题意，易知|F|=|=|F1 1|，|F|=20N|=20N，所以，所以|F1 1|=|=|F2 2|=10 N.|=10 N.当它们的夹角为当它们的夹角为120120时，如图时，如图2 2，以，以F1 1，F2 2为邻边作平行四边形，为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，此平行四边形为菱形，此时此时|F合合|=|=|F1 1|=10 N.|=10 N.222【防范措施防范措施】向量在物理中应用的关注点向量在物理中应用的关注点(1)(1)将物理问题转化为数学的向量问题，注意相关概念的几何意义，合理建立数学模型，解将物理问题转化为数学的向量问题，注意相关概念的几何意义，合理建立数学模型，解决相关物理现象决相关物理现象.(2)(2)要明确向量方法研究物理问题的相关知识，注意物理量之间的关系要明确向量方法研究物理问题的相关知识，注意物理量之间的关系.