数理经济学课件第三章.ppt

1、一、无约束极值问题：全局最大值、全局最小值局部极大值、局部极小值（内部极值、边界极值）1、单变量实值函数*2.8()()1()()0 ()()0 ()2()()0 ()f xf xf xxf xFONCfxSONCf xxf xFONC定理 单变量函数局部内点最优化的必要条件 设是二次连续可微的单变量函数，则有局部内点极值。、在 处有最大值、在 处有最小值 ()0 ()fxSONC3,0yxx反 例：在点*()(*)0()0,1()0,()2()0,()f xf xxf xfxfxf xxfxf xx定理 单变量函数局部内点最优化的充分条件 设是二次连续可微的单变量函数，若）在内点 处满足，则

2、当：、时在 处取得极小值；、时在 处取得极大值。*2.9 ()()()0Af xxf x 定理实值函数局部内点最优化 的一阶必要条件在处达到局部内点极大 小 值2、多变量实值函数*1*()()()()()0(0)0(0)()()0()0niiigg tf xtz zf xtz zf xxtf xtg ttggf x zf xzz 证明：构造函数若在点 达到极值，则在取得极值，即：由 的任意性，。反例：梯度为0的点不一定是极值点。222112243,yxxx xx例题：设求函数的驻点。121122*1*283013203787yxxxyxxxxx 解：1212:1,400058805CCUCC经

3、济学简单应用、个人的最优消费问题 考虑本期和来期的两期消费选择问题。设本期消费为来期消费为，消费效用为。如果本期收入为，来期为，利率为，设在两期中可以自由借贷，问该如何选择两期的消费？12111214000,(15%)5880max:(4000*1.05*1.055880)04800 5040CSSCUCCdUCCdC 解：2.616ULYLY、劳动时间的选择 假设某人的效用函数为。其中 为闲暇时间，为收入。当他的工资为每小时元，一天的可支配时间为 小时，问最优劳动时间为多少？2max:(16)*6966961208ULYLLLLdULLdL解：*2.10 ()1()()2()()Af xf

4、xxH xf xxH x定理实值函数局部内点最优化的二阶必要条件设二阶连续可微，、在 处达到局部内点极大值半负定、在 处达到局部内点极小值半正定*1*11*|,()()()()()()()()(0)0.(0)()0()niiinnTiijjijTCtR xtzDg tf xtzg tf xtz zf xtz zg tz fxtz zz H xtz zfxggz H x zH x证明：(1)设因为 在点 达到局部极大值，得半负定。2.11 ()()()1(1)()0,1,.,()2()0,1,.,()12iiiAf xD xH xiD xinH xD xinH xxfxf 定理海赛矩阵负定与正定

5、的充分条件 设是二次连续可微的，是海赛矩阵的第阶主子式，、若，那么是负定的、若，那么是正定的定义域，条件 满足严格凹；定义域，条件 满足严格凸；*2.12 ()1()0,(1)()0,1,.,()2()0()0,1,.,()iiiiiAf xf xD xinf xxf xD xinf xx定理实值函数局部内点最优化的充分条件 设是二次连续可微的，、若且，那么在点 达到局部极大值。、若，那么在点 达到局部极小值。0000A2.4 (1)(2)()(3):()()()(),.(4)()DfDfx D H xxD f xf xf xx xx Dx D H xf n定理多元函数的斜率、曲率与凹性 设

6、是R中内部非空的凸子集，在 的内部二次连续可微，则以下三个命题等价：是凹的；，半负定；而且，负定是严格凹的。222112243,yxxx xx例题：设问驻点是极大值还是极小值？212121222222112*8313283,283()3238(,)77yyxxxxxxyyyxxxxHxx 解：，所 以是 局 部 极 大 值。22(,)(1)f x yxy xy课堂练习：讨论函数的极值。2222(,)(31)0(,)(31)01111(0,0),(0,1),(1,0),(,),(,)2222f x yy xyxf x yx xyy 解：得驻点：。3 0 11(,)232202183 0 11(,

7、)2 3220218HH可知：在驻点，海赛矩阵负定，函数达到极大值；在驻点，海赛矩阵负定，函数达到极小值；在其它驻点，达不到极值。*2.13 int,1()0;23AfDxDf xfxfx定理（无约束的）局部与全局最优化 设 是 上二次连续可微的实值凹函数，那么以下三个命题等价：、在 点达到一个局部极大值；、在 点达到一个全局最大值。*322113()()()()()0()()ffxfxfxxxfxfxfxfx 证 明：显 然，成 立。下 面 证 明。由 于是 凹 的，则又即在 点达 到 全 局 最 大 值。*2.14 /1()2()Axf xxxf xx定理严格凹性 凸性与全局最优化的唯一性

8、：、若最大化严格凹函数是唯一全局最大值点；、若 最小化严格凸函数是唯一全局最小值点；*()(),(1)()()()(1)()()ttxfxf xf xxxxtxt xf xf xtf xt f xf xxf证明：反证法设是函数 的全局最大值点，若不唯一，设。令因为是严格凹函数，这与是函数 的全局最大值点矛盾。*2.15 ()1()()0,1,.,()2()()0,1,.,()iiAf xf xf xinxf xf xf xinxf x定理唯一全局最优化的充分条件设二次连续可微，、若严格凹，是的唯一全局最大值点；、若严格凸，是的唯一全局最小值点；*()0,2.13,2.14,ff xAfxAx证

9、明：是严格凹，由定理在点处获得一个全局最大值。由定理是唯一全局最大值点。1212,12max(,).(,)0 x xf x xst g x x1、两个变量，一个等式约束极值问题：11222111(,)0(),max(,()xg x xxxg xf x g x设，可将 写成：即为无约束的单变量问题。121212,1212121212111121222212:max(,).(,)0(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)0(,)0 xxf xxs t g xxL xxf xxg xxf xxg xxLxxxf xxg xxLxxxLg xx求解问题方法之二 拉格朗日方法解：构造函数12*121

10、2,12(,)max(,).(,)0 x xx xf x xst g x x问题由拉格朗日方法解出的是否是的解？122212,1222121212112212max .10,0,0(,)(1)202010 x xaxbxst xxabL x xaxbxxxLaxxLbxxLxx 例题：。解：12*222,()()baabxxa ba ba bbaabyaba ba ba b 121211221122(,),(1).xx xux xp xp xmMax us t p xp xm例：设效用函数预算约束条件为：。求121 12221111122221 122()02020Lx xp xp xmLxp

11、mxxpLxpmxxpLp xp xm解：1122012(2)m in .p xpxs tx xu011221201221112102120212()000Lp xp xx xuLpxp uxxpLpxxp uxLpx xu解：补偿需求函数112,.,112112()max(,.,)(,.,)0 (,.,)0 .(,.,)0nnxxnnmnnmnmf x xxg xxg xxgxx、个变量，个约束条件极值问题 受约束于：111*1*(,.,),(,.,)(,)()()()()0 ()0 1,.,nmmjjjjmjjiiijjxxxL xf xgxLf xgxxxxLgxjm 对于*12问 题：

12、、约 束 最 优 化 问 题 是 否 有 解？、的 存 在 性？*12.16 ()(),1,.,int,()0(),(,)()()0,1,2,.,jnjjjjmjjiiAf xg x jmDRxD xfg xg xmL xf xg xinxxx定理拉格朗日定理 设和是定义在上的连续可微实值函数。是 在约束下的一个最优值点。如果线性独立，则存在个唯一的数使得：1212211211221211211(,).(,)0(,()0(,()()yf x xst g x xdxgg x xxdxgdxdyyf x xxffdxdx 先在两个变量、一个约束条件下讨论。设由由112122221111221222

13、1112222111212122112221122()(),gdyffdxgdxdxgd yffffdxdxdx gdxdxg ggg ggdxdxfgfg fg利用221111212121 2221222222111111112121222222222211212 1 222122121()()2()()()(),1()2()()iiid yfggfg ggdxgfggLfgLfg Lfg Lfgd yL gL ggL gdxg利用1211112221220 ggHgLLgL L拉格朗日函数的加边海赛矩阵1211112212222211212122210 ()2()ggDgLLgLLLgL

14、g gLg 加边海赛矩阵的行列式222121()d yDdxg1212*12*12121212(,).(,)02.17 (,)(,)0(0),(,)0(,)yf x xst g x xAx xx xDx xg x xf x x定理两变量、一约束最优化问题中的 一个局部最优化的充分条件 如果为一阶条件的解，并且如果在处取值时，那么（）是受约束条件限定的的一个局部极大值点（极小值点）122212,122212121212max .10,0,0(,)(1)2,0 11D1 2a 02()01 02bx xaxbxst xxabL x xaxbxxxbaabxxabababab 例题8、9：。解：31

15、44(,)15:5000Q K LK Lvw例：设某一厂商的周产出量由生产函数给出，每周的资本与劳动力单位成本为与。要求为完成周产量的任务，需要如何安排投入量，使总成本最小。3144min 5.5000,0,0KLs t KLKL解：13*44ln,lnmin 531.ln500044315(ln5000)44ln(5000(15),ln(5000(15)xyxyxK yLees txyLeexxy解：令由一阶条件得驻点：*3104430 41 05445101616xyyxHeeee在该驻点的加边海赛矩阵为：其行列式值为：112,.,11211()max(,.,)(,.,)0 (,.,)0

16、.(,.,)0nnxxnnmnnm mnf xxxgxxgxxgxx个变量和个约束条件的情形 受约束于：1111111111110 .0 .0 .0 .nmmnmnmnnnnnggggHggLLLggL加边海赛矩阵111111111 1110 .0 .00.1.,kmmkkmkmkkkkkggggDggLLLggLkmn ，*1*2.18 ()()0,1,.,1(),(1,.,)0()jkmAf xmngxjmxf xxDkmnDxf x定理等式约束条件下的局部最优化的 充分条件 设目标函数为并且个约束条件为。设（）为一阶条件的解，那么：、当函数在()处取值时，如果以正的开始，交替改变符号，那

17、么 是一个满足约束条件要求的函数的局部极大值；*2()(,(1,.,)()kf xxDkmnxf x、当函数在)处取值时，如果全部为负，那么 是一个满足约束条件要求的函数的局部极小值。2222.2248zxxyywstxywxw例：和求函数的极值。22212212224 88,8,0,160 0 2 1 00 0 1 012 1 2 2 01 0 2 000 1 0 0 16L xxyywxy wx wxywH 解：（）（）由一阶条件得驻点：在该点的加边海赛矩阵为：30 0 2 100 0 1 012 1 2 2 0101 0 2 000 1 0 016192D 所以在驻点取得极大值222.3

18、uxyzs txyz课 堂 练 习：求 函 数 的 条 件 极 值。1111(1,1,1,),(1,1,1,),(1,1,1,),(1,1,1,)22221111(1,1,1,),(1,1,1,),(1,1,1,),(1,1,1,)2222(3,0,0,0),(0,3,0,0),(0,0,3,0)1(1,1,1,)20 2 2 2 1 12 1 12 H解：由一阶条件得驻点：当驻点为21 1 1 11230 2 22 1 11602 110 2 222 1 11 4802 1 112 1 11DDmax().0 xf xstx*10,()020,()030,()0 xfxxfxxfx情 形：且

19、情 形：且情 形：且*max().01 ()02 ()03 0 xf xstxxf xx f xx若 为方程的解，如下三个条件成立：条件条件条件2max 64.0 xxxs tx例：考虑问题*1240224030 xxxxxx解：若 为方程的解，必满足：、*min().01 ()02 ()03 0 xf xstxxf xx f xx类似可研究：若 为方程的解，K-T条件为：条件条件条件*2.19 ()10()()(1)0 1,.,()(2)0 1,.,(3)0 1,.,iiiAf xxxf xxf xinxf xxinxxin定理受非负性条件约束的实值函数 最优化的必要条件设是连续可维的、如果

20、在的约束下，最大化了，那么满足：*20()()(1)0 1,.,()(2)0 1,.,(3)0 1,.,iiixxf xxf xinxf xxinxxin、如果在的约束下，最小化了，那么 满足：1212,122kermax(,).(,)0 xxKuhnTucf xxs tg xx、条件考虑如下问题：1212,12121212max(,).(,)0,0(,)(,)(,)0 x xf x xst g x xzzL x x zf x xg x xzz 112212000()00 xxxxLfgxLfgxLzLzzzz 解：11221212k e r00(,)00(,)0 xxxxK u h nT u

21、 cfgfggxxgxx条 件：，122212,11223142max()(1)(2).()20()10()0()0 x xf xxxst g xxg xxg xxg xx 例：求122212,111122223142max()(1)(2).()2,0()1,0()0()0 xxfxxxs t gxxzzgxxzzgxxgxx 22121112221212(,)(1)(2)()()0,0,0,0L xxxg xzg xzxxzz解：11221211122211221212122(1)0 2(2)0(2(1)0 (2(2)0(2)0 (1)020 100,0,0,0LLxxxxxxxxxxxxx

22、x12120,1,0,2xx解得：*2.20ker()(),1,.,()01,.,()(jnjjAKuhn Tucf xg x jmDRxDxg xjmfg xx定理 受不等式条件约束的实值函数最优 化的（）必要条件 设与是一些定义域上的连续可微实值函数。设 是 的一个内部点，并设是受条件，约束的的最优解（最大值解或最小值解）。如果与所有束紧约束相关的梯度向量是线性独立的，那么必存在唯一的向量，使得*,)ker:Kuhn Tuc满足条件*1*(,)()()0 1,.,()0 ()0 1,.,jmjjiiijjjL xf xg xinxxxg xg xjmxx并且如果 是一个最大值解，那么向量

23、是非负的；如果 是一个最小值解，那么向量 是非正的。1212max(,).(,)0yf x xst g x xA2.3.3 拉格朗日解的几何图形解释：0012120121212121212211212()(,)|(,)(,)(,)(,)0(,)(,)L yxxfxxyfxxyfxxfxxdxdxxxfxxdxxfxxdxx 目 标 函 数 的 水 平 集：121212121212211212(,)0(,)(,)0(,)(,)g xxg xxg xxdxdxxxg xxdxxg xxdxx 约束条件：1212121212111121222212(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)0(,)

24、0L x xf x xg x xf x xg x xLxxxf x xg x xLxxxLg x x构造函数*121211*121222*12(,)(,)(,)(,)(,)0f xxg xxxxf xxg xxxxg xx*121211*121222*12(,)(,)(1)(1)(,)(,)(,)0f xxg xxxxf xxg xxxxg xx 12.4 m ax().(,)0,0(,.,)xmAfxs tg x axaaa值 函 数这 里()max().(,)0,0()(),()(),)xMafxs tg x axMax aMafx aa称为 最 大 化 值 函 数设 问 题 的 最 优

25、解 为可 记(),()2.21 ()0(,)(),()2.20ker()()1,.jjx aaAaax aaL x ax aaAKuhnTucM aM aLjaa定理包络定理 考虑如上的问题，并设目标函数与约束条件关于 是连续可微的。对于每个，设是唯一解且设关于参数 也是连续可微的。设是相关的拉格朗日函数并设给出定理中的条件的解。最后设是问题的相关最大值函数，那么包络定理陈述如下：.,m(1)(,)(,)(),(),()0(),)(),)()01,.,(),)0iiLfx ag x ax aax afx aag x aaaxxing x aa证 明：在 驻 点如 果，由 一 阶 条 件 得：(

26、),()(2)(,)(,)(),():(),)(),)()jjjjjjx aaLf x ag x aaaax aaLf x a ag x a aaaaa在点驻点处取值得11(3)()(),)()()(),)(),)(),)(),)()()()(),)(),)()niijijjiiniijijjM af xa ax aM af xa af xa aaxaaf xa ag xa aaxxx aM ag xa af xa aaaxaa由 一 阶 条 件 1(),()(),)0()(),)(),)0()(),)(),)()()niiijjjjjjjx aag x a ax ag x a ag x a

27、axaaM af x a ag x a aaaaaM aLaa得：所以121212,12122.11max(,).(,)240 xxAf xxx xs tg xxaxx例：求121212211212(24)2040240(),(),()4816Lx xaxxLxLxLaxxaaaxaxaa解：21212,4 8 16,4 8 16()()3216(24)()16()a aaa aaaMaaMaaLx xaxxLaaaMaLaa另 外：所 以：(1)max:().(,);(,),xU xstpxyMarshallx p yv p y应用：最优消费问题最优解称为需求函数，记为值函数为称为间接效用函

28、数。1211212112,1 12 2(,)()max().0 x xu x xxxxxst ypxp x 例：效用函数为求 1111212212112(,)()1rrrrrrrrrpyxpppyxppvpyyppr解：由一阶条件得：这里(2)min:.()(,)(,)xhpxstU xuHicksx p ue p u最优解称为需求函数，记为值函数为：称为支出函数。121122,11212min.()0 0,0 xxp xp xs tuxxxx例：1(1)111211(1)12122112(,)()(,)()(,)()1hrrrrhrrrrrrrxp uupppxp uupppe p uupp

29、r解：由 一 阶 条 件 得：这 里(,)(,(,)(,)(,(,)(,(,)(,(,)hiihiixpyxpvpyxp uxpep uepvpyyv e ep uu容 易 证 明 以 下 关 系：111121(1)111211(1)112111(1)112121(,)(,(,)(,)(,)()(,(,)(,)()()()hiirrrhrrrrhrrrrirrrrrrrx p yxp v p ypyx p yppxp uu pppxp v p yv p ypppy ppppp例：11112(,)rrrpyx p ypp112112112111212(,(,)(,)()(,)()(,(,)(,)

30、()()()rrrrrrrrrrrrrrre p v p yye p uu ppv p yy ppe p v p yv p yppy ppppy例：(1)()(,)min.()(,),xhiiHicksHicksShepharde p up xs t U xue p uxp upShephard支出函数与需求函数的关系对需求函数的引理（）称为引理。(,)min.().()(,),xhiiie p up xs t UxuLp xUxue p uLxp uppShephard证 明；由 包 络 定 理 得：（）称 为引 理。1(1)111211121(1)112111(,)()(,)()(,)()

31、(,)hrrrrrrrrrrhrxp uu pppe p uu ppe p uu pppxp up例：.(2)(,)max()(,)Rp xyiiMarshallRoyv p yU xvpxp yvy 对需求函数的等式称为 oy恒等式.*111*(,)max()()()(,)(,)(,)p xyv p yU xLU xpxyxx p yv p yLxppv p yLyy 证明：设是方程的严格正解，由包络定理：(,)Riivpxpyvy 称 为oy恒 等 式1121111211112111112(,)()(,)()(,)()(,)(,)(,)rrrrrrrrrrrrrvp yyppvp yypp

32、ppvp yppyvp ypypxp yvp yppy 例：*(3)(,)(,)(,)(,)(,)(,)hiiijjjSlutskyx p yMarshalluv p yx p yxp ux p yx p yppySlutsky方程设为需求函数，记称为方程。*(,)(,(,)(,)(,(,)(,(,)(,)(,),(,(,)(,)(,)(,)(,)(,)hiijhiiijjjhhjjjjhiiijjjx pux p e pupx pux p e pux p e pue puppype pux pux p v p yx p ypx p yx pux p yx p yppy证明：对两边求 的导数，

33、得又（）说明：等式右边第一项表示当实质收入不变时第j个商品价格变化对第i个商品消费量的影响，也称替代效应。右边第二项表示由第j个商品价格变化带来的实质收入的变化所引起的第i个商品消费量的变化，称为收入效应。111121(1)*111211*122111112112112(,)(,)()()(,)(1)()()rrrhrrrrrrrrrrrrrrp yx p yppx puu pppuy ppx p yrp y ppp yrpppp例：*111111(2)(1)*2(1)*11211212(1)21122111121121211(,)(,)(,)1(1)()()(1)()(1)()()(,)hrrrrrrrrrrrrrrrrrrx pux p yx p ypyu pprpu pprprpy pprp y ppp yrpppx p yp另 外