数学建模第章概率模型课件.ppt

1、第九章第九章 概率模型概率模型9.1 传送系统的效率传送系统的效率9.2 报童的诀窍报童的诀窍9.3 随机存贮策略随机存贮策略确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型传送带传送带挂钩挂钩产品产品工作台工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越

2、多，传送带运走的产品越多。作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。背背景景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高率的指标，研究提高传送带效率传送带效率的途径的途径9.1 传送系统的效率传送系统的效率问题分析问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的假定工人们的生产周期相同生产周期相同，即生产一件产品的，即生产一件产品的时间相同。假设每人作完一件产品后，要么恰有时间相同。假设每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运

3、走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。投入下件产品的生产。可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的总数的比例比例，作为衡量传送带效率的数量指标。，作为衡量传送带效率的数量指标。工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内并且在一个周期内任一时刻的可能性相同任一时刻的可能性相同。模型假设模型假设1）n个工作台个工作台均匀排列，均匀排列，n个工人

4、生产相互独立，个工人生产相互独立，生产周期是常数；生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是一个周期内是等可能等可能的；的；3）一周期内）一周期内m个均匀排列的挂钩个均匀排列的挂钩通过每一工作台通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只能且只能触到一只挂钩挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。若该钩非空，则这件产品

5、被放下，退出运送系统。模型建立模型建立 定义定义传送带效率传送带效率为一周期内运走的产品数（记作为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数待定）与生产总数 n（已知）之比，记作（已知）之比，记作 D=s/n 若求出一周期内每只挂钩非空的概率若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则，则 s=mp为确定为确定s s，从，从工人工人考虑还是从考虑还是从挂钩挂钩考虑，哪个方便？考虑，哪个方便？设每只挂钩为空的概率为设每只挂钩为空的概率为q，则，则 p=1-q如如何何求求概概率率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为设每

6、只挂钩被一工人触到的概率为u，则，则 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期内有一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方个挂钩通过每一工作台的上方模型解释模型解释若若(一周期运行的一周期运行的)挂钩数挂钩数m远大于工作台数远大于工作台数n,则则)2)1(1(12mnnmnnmD 传送带效率传送带效率(一周期内运走一周期内运走产品数与生产总数之比）产品数与生产总数之比）)11(1nmnmD定义定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比）一周期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率提高效率的途径：的途径：增加增加m 习题习题1当当n远大于远大于1时时

7、,E n/2m E与与n成正比，与成正比，与m成反成反比比若若n=10,m=40,D 87.5%(89.4%)mn2119.2 报童的诀窍报童的诀窍问问题题报童售报：报童售报：a(零售价零售价)b(购进价购进价)c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天

8、收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天每天需求量为需求量为 r 的概率的概率 f(r),r=0,1,2准准备备)()(rncbrnrbarnr赔退回赚售出nbannr)(赚售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n)最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-cnndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()(

9、)(dndG求解求解将将r视为连续变量视为连续变量概率密度）()()(rprf0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(cbbadrrpdrrpnn)()(0结果解释结果解释nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱ncbnba)(,)(0rp9.3 随机存贮策略随机存贮策略问问题题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；以周为时间单位；一周的商品销售量

10、为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s,S)存贮策略存贮策略制订下界制订下界s,上界上界S，当周末库存小于，当周末库存小于s 时订货，时订货，使下周初的库存达到使下周初的库存达到S;否则，不订货。否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略存贮策略,使使(平均意义下平均意义下)总费用最小总费用最小模型假设模型假设 每次订货费每次订货费c0,每件商品购进价每件商品购进价c1,每件商品每件商品一周贮存费一周贮存费c2,每件商品缺货损失费每件商品缺货损失费c3,c3 相相当于售出价，

11、所以当于售出价，所以c1c3 每周销售量每周销售量 r 随机、连续，概率密度随机、连续，概率密度 p(r)周末库存量周末库存量x,订货量订货量 u,周初库存量周初库存量 x+u 一周的销售是集中在周初进行的，即每周一周的销售是集中在周初进行的，即每周贮存量按贮存量按 x+u-r 计计，一周内不随时间而改，一周内不随时间而改变。（可考虑修改此假设）变。（可考虑修改此假设）建模与求解建模与求解（s,S)存贮策存贮策略略0usx确定确定(s,S),使目标函数使目标函数每周总费用的期望值每周总费用的期望值最小，即长期经营中每周总费用的平均值最小，即长期经营中每周总费用的平均值Suxusx ,0s 订货

12、点，订货点，S 订货值订货值0)(0),()(10uxLuuxLuccuJxxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(平均平均费用费用 订货费订货费c0,购进价购进价c1,贮存费贮存费c2,缺货费缺货费c3,销售量销售量 r 建模与求解建模与求解1）设）设 x 0时时,求求 u 使使 J(u)最小，确定最小，确定S建模与求解建模与求解12130)()(ccccdrrpdrrpSSuxuxdrrpcdrrpccdudJ0321)()(SSdrrpccdrrpcc01321)()()()(Sux01)(drrp0dudJ,123 ScScScSP1P20rp21PP uxuxdr

13、rpuxrcdrrpruxcuccuxLuccuJ0321010)()()()()()(2）对库存）对库存 x，确定订货点确定订货点s)()(101SLxSccJ若订货若订货u,u+x=S,总费用总费用为为)(2xLJ 若不订货若不订货,u=0,总费用总费用为为 12JJ)()(1xIxLxc记)()(0SIcxI订货点订货点 s 是是的最小正根的最小正根建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()()(10SLxSccxL不订货不订货)()(101SLSccxLxc)()(0SIcxI)()(0SIcxI最小正根的最小正根的图解法图解法J(u)在在u+x=S处达到最处达到最小小 x I(x)0 S I(S)s I(S)+c0I(x)在在x=S处达到最小值处达到最小值I(S)I(x)图形图形建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()(1xLxcxIJ(u)与与I(x)相似相似I(S)()(0SIcxI的最小正根的最小正根 s结束谢谢观赏！