数学人教版八年级上册第13章轴对称134课题学习最短路径问题课件.ppt

1、第十三章第十三章 轴对称轴对称13.413.4 课题学习课题学习 最短最短 路径问题路径问题1课堂讲解课堂讲解u运用运用“垂线段最短垂线段最短”解决最短路径问题解决最短路径问题u运用运用“两点之间线段最短两点之间线段最短”解决最短路解决最短路径问题径问题2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，两点的所有连线中，线段最短线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短等的问题，我们称它们为最短路径问路径问 题

2、现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的将利用数学知识探究数学史中著名的“将军将军饮马问题饮马问题”.知知1 1导导问题问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名久负盛名的的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦拜访海伦，求教，求教一个百思不得其解的问题：一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方地到河边什么地方饮马饮马可可使他所走的路线使

3、他所走的路线全全程最程最短？短？BAl2知识点知识点运用运用“垂线段最短垂线段最短”解决最短路径问题解决最短路径问题追问追问这是一个实际问题，你打算首先做什么这是一个实际问题，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 知知1 1导导BAl追问追问你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗并把它抽象为数学问题吗？知知1 1导导(1)从从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地；(2)在在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与河边饮马的地点有无穷多处

4、，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和；知知1 1导导(3)现在现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和的和最小最小(如图如图)BAlC知知1 1导导作法作法：(1)作作点点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；(2)连接连接AB

5、，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 BlABC知知1 1讲讲例例1 体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是()A过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且 只有一条只有一条B两点之间，线段最短两点之间，线段最短C垂线段最短垂线段最短D两点确定一条直线两点确定一条直线C知知1 1练练 如图，如图，l为河岸为河岸(视为直线视为直线)，要想开一条沟将河里，要想开一条沟将河里的水从的水从 A处引到田地里去，则应从河边处引到田地里去，则应从河边 l 的何处的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置

6、并说明开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由理由.1（来自（来自典中点典中点）解：解：图略图略.理由：垂线段最短理由：垂线段最短.知知2 2导导2知识点知识点运用运用“两点之间线段最短两点之间线段最短”解决最短路径问题解决最短路径问题你能用所学的知识证你能用所学的知识证明明AC+BC最短吗？最短吗？BlABC如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C(与点与点C 不重合不重合)，连接，连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC知知2 2讲讲 证明证明：BlABCC知知1 1导导在在A

7、BC中，中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC 即即AC+BC 最短最短某供电部门准备在输电主干线某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支上连接一个分支线路，分支点为线路，分支点为M，同时向新落成的，同时向新落成的A，B两个两个居民小区送电居民小区送电(1)如果居民小区如果居民小区A，B在主干线在主干线l的两旁，如图的两旁，如图 13.43，那么分支点，那么分支点M在什么地方时总线路在什么地方时总线路 最短？最短？知知2 2讲讲 例例2 图图13.43（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲 (2)如果居民小区如果居民小区A，B在主干线在主干线l的同旁，如图的同旁，如图13.44，那么分支点那

8、么分支点M在什么地方时总线路最短？在什么地方时总线路最短？图图13.44（来自（来自点拨点拨）(1)连接连接AB，与，与l的交点即的交点即 为所求分支点为所求分支点M；(2)作点作点B关于关于l的对称点的对称点B1，连接连接AB1交交l于点于点M，点，点 M即为分支点即为分支点导引导引：(1)如图如图13.43，连接，连接AB，与，与l的交点即为所求分支的交点即为所求分支 点点M.(2)如图如图13.44，作点，作点B关于关于l的对称点的对称点B1，连接，连接AB1 交交l于点于点M，点，点M即为所求分支点即为所求分支点知知2 2讲讲 解解：（来自（来自点拨点拨）图图13.43 图图13.44

9、 解决解决“一线两点一线两点”型最短路径问题的方法：型最短路径问题的方法：当当两点在两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所所求作的求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于关于直线的直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点交点即为所即为所求作的点求作的点知知2 2讲讲 如图如图13.45，牧马营地在点，牧马营地在点P处，每天牧马人要处，每天牧马人要赶着马群先到草地赶着马群先到草地a上吃草，再到河边上吃草，再到河边b饮水，最饮水，最后回到营地请你设计一条放牧路线，使其所

10、走后回到营地请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短的总路程最短知知2 2讲讲 例例3（来自（来自点拨点拨）图图13.45要使其所走的总路程最短，可联想到要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，两点之间，线段最短线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段，因此需将三条线段转化到一条线段上，为此作点上，为此作点P关于直线关于直线a的对称点的对称点P1，作点，作点P关关于直线于直线b的对称点的对称点P2，连接，连接P1P2，分别交直线，分别交直线a，b于点于点A，B，连接，连接PA，PB，即得放牧所走的最，即得放牧所走的最短路线短路线知知2 2讲讲 （来自（来自点拨点拨）导引导引：如图如图1

11、3.45，作点，作点P关于直线关于直线a的对称点的对称点P1，关于，关于直线直线b的对称点的对称点P2，连接，连接P1P2，分别交直线，分别交直线a，b于于点点A，B，连接，连接PA，PB.由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，PAP1A，PBP2B，所以先到点，所以先到点A处吃草，再到点处吃草，再到点B处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走的总路程最短的总路程最短知知2 2讲讲 解解：（来自（来自点拨点拨）解决解决“两线一点两线一点”型最短路径问题型最短路径问题，要，要作作两次轴对称两次轴对称，从而构造出最短路径，从而构造出最短路径知知2 2讲讲

12、知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点）(中考中考黔南州黔南州)如图，直线如图，直线l外不重合的两点外不重合的两点A、B，在直，在直线线l上求作一点上求作一点C，使得，使得ACBC的长度最短，作法为：的长度最短，作法为：作点作点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B；连接；连接AB与直线与直线l相交于相交于点点C，则点，则点C为所求作的点在解决这个问题时没有运用为所求作的点在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是到的知识或方法是()A转化思想转化思想B三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边C两点之间，线段最短两点之间，线段最短D三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角三角形

13、的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角1D知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点）如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)，B(4，2)，在在x轴上取一点轴上取一点P，使点，使点P到点到点A和点和点B的距离之和最小，的距离之和最小，则点则点P的坐标是的坐标是()A(2，0)B(4，0)C(2，0)D(0，0)2C1.最短路径问题的类型最短路径问题的类型：(1)两点一线型的线段和最小值问题；两点一线型的线段和最小值问题；(2)两线一点型线段和最小值问题；两线一点型线段和最小值问题；(3)两点两线型的线段和最小值问题；两点两线型的线段和最小值问题；(4)造桥选址问题造桥选址问题2.解决最短路径问题的方法解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用识，化折为直，利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”或或 “垂线段最短垂线段最短”来求线段和的最小值来求线段和的最小值1.必做必做:请你完成教材请你完成教材P91P93复习题复习题13T15.2.补充补充:请请完成完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题.