专题13圆锥曲线(教学案)详解.doc

1、 1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)焦点在x轴上1(a0，b0)焦点在x轴正

2、半轴上y22px(p0)图象几何性质范围|x|a，|y|b|x|a，yRx0，yR顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e(0e1)e1准线x通径|AB|AB|2p渐近线yx【误区警示】1求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2a2b2，双曲线中c2a2b2的区别2注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐近线方程的区别3平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点考点一椭圆的定义及其方程例1【2016高考浙江文数】已知椭圆C1：+y2=

3、1(m1)与双曲线C2：y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e2b0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在椭圆上，得0，即，AB的中点为(1，1)，y1y22，x1x22，而kAB，.又a2b29，a218，b29.椭圆E的方程为1，故选D.考点二椭圆的几何性质例2【2016高考新课标3文数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为

4、上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）（A）（B） （C） （D）【答案】A【解析】 【变式探究】(2015北京，19)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由【解析】考点三双曲线的定义及标准方程例3【2016高考天津文数】已知双曲线（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长

5、的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，故双曲线的方程为，故选D. 【变式探究】(2015福建，3)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由双曲线定义|PF2|PF1|2a，|PF1|3，P在左支上，a3，|PF2|PF1|6，|PF2|9，故选B.考点四双曲线的几何性质例4【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值

6、范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】【变式探究】(2015新课标全国，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2 C. D.【答案】D【解析】如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1，0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e，选

7、D.考点五抛物线的定义及方程例5【2016年高考四川文数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )（A） （B） （C） （D）1【答案】C【解析】【变式探究】过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|3，则AOB的面积为()A. B. C. D2【答案】C【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可得，x113，x12.A点坐标为(2，2)，则直线AB的斜率k2.直线AB的方程为y2(x1)，即为2xy20，则点O到该直线的距离为d.由消去y得，2x25x

8、20，解得x12，x2.|BF|x21，|AB|3.SAOB|AB|d.考点六抛物线的几何性质例6【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B【解析】 【变式探究】(2015天津，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】D【解析】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(

9、)（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A2.【2016年高考四川文数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )（A） （B） （C） （D）1【答案】C【解析】设（不妨设），则，故选C.3.【2016高考新课标2文数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】 4.【2016高考浙江文数】已知椭圆C1：+y2=1(m1)与双曲线C2：y2=1(n

10、0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e20），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D 9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 . 【答案】【解析】由题意得，因此10.【2016高考天津文数】设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC

11、相交于点E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为，则p的值为_.【答案】【解析】抛物线的普通方程为，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，所以，解得11.【2016高考山东文数】已知双曲线E： （a0，b0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_.【答案】2【解析】12.【2016年高考北京文数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_.【答案】2【解析】是正方形，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，故填：213.【2

12、016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是_. 【答案】 14.【2016高考山东文数】（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.【答案】（）;（）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为【解析】（）由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以

13、，所以椭圆C的方程为.（）由（）知直线方程为，令得，所以，15.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为；求p的取值范围.【答案】（1）（2）详见解析，【解析】16.【2016高考天津文数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】（）（

14、）【解析】 17.【2016高考新课标3文数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（）见解析；（）18.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）；（II）【解析】所以由于，得，因此， 因为式关于，的方程有解的充要条件是，所以因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，由得，所

15、求离心率的取值范围为19.【2016高考新课标2文数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，（）当时，求的面积；（）当时，求的取值范围【答案】（）；（）. （）由题意，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.20.【2016年高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C： （）的离心率为 ，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】 21.【2016年高考四川文

16、数】（本小题满分13分）已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.（）求椭圆E的方程及点T的坐标；（）设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P证明：存在常数，使得，并求的值.【答案】（），点T坐标为（2,1）；（）.【解析】（I）由已知，即，所以，则椭圆E的方程为.（II）由已知可设直线的方程为，有方程组 可得所以P点坐标为（ ），.设点A，B的坐标分别为 .由方程组 可得.方程的判别式为，由，解得.由得.所以 ，同理，所以.故存在常数，使得.22. 【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共

17、有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）（2）.【解析】因为与双曲线交于两点，所以，且设的中点为由即，知，故而，所以，得，故的斜率为1(2015陕西，20)已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c. (1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程【解析】 2(2015广东，7)已知双曲线C：1的离心率e，

18、且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】B【解析】因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1，故选B. 3(2015新课标全国，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知M在双曲线C：y21上，又在x2y23内部，由得y，所以y00)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由【解析】(1)

19、由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0. 1. 【2014高考福建卷第9题】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;圆的半径.设.圆心到椭圆的最大距离.所以两点间的最大距离是.故选D.2. 【2014高考广东卷文第4题】若实数满足，则曲线与曲线的（ ） A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半

20、轴长相等 D.焦距相等【答案】D【解析】，则，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点定位】双曲线3. 【2014高考湖北卷文第9题】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】【考点定位】椭圆、双曲线4. 【2014高考湖南卷第15题】如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.【答案】【考点定位】抛物线5. 【2014江西高考文第16题】过点作斜率为的直线与椭圆：相

21、交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 .【答案】【解析】设，则由两式相减变形得：即，从而【考点定位】椭圆6. 【2014辽宁高考文第10题】已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）A B C D【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.【考点定位】抛物线 7. 【2014辽宁高考文第15题】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .【答案】1

22、2【解析】【考点定位】椭圆 8. 【2014全国1高考文第4题】已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】A【解析】 由已知得，双曲线C的标准方程为则，设一个焦点，一条渐近线的方程为，即，所以焦点F到渐近线的距离为，选A【考点定位】双曲线9. 【2014全国1高考文第10题】已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【考点定位】抛物线 10. 【2014全国2高考文第10题】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则O

23、AB的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【考点定位】抛物线11. 【2014高考安徽卷文第14题】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为_【答案】【解析】如下图，轴，设，又，则点坐标为带入椭圆为解得，所以椭圆的方程为.【考点定位】椭圆 12. 【2014高考北京卷文第11题】设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 .【答案】；【考点定位】双曲线13. 【2014江西高考文第9题】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】

24、 设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.【考点定位】抛物线 14. 【2014山东高考文第10题】 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.【答案】【解析】【考点定位】椭圆、双曲线15. 【2014四川高考文第10题】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A B C D【答案】B【解析】据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.【考点定位】抛物线16. 【2014浙江高考文第16题】设直线与双曲

25、线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是_【答案】【解析】【考点定位】双曲线17. 【2014重庆高考文第8题】设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ） B. C. D.3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，所以又因为，所以有，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点定位】双曲线18. 【2014天津高考文第5题】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 （）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】【考点定位】双曲线19. 【2014大纲高考文第6题】已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为 （ ）A B C D【答案】A【解析】如图，的周长为所求的椭圆成为，故选A【考点定位】椭圆20. 【2014大纲高考文第9题】已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）A B C D【答案】A【解析】