模煳数学简介课件.pptx
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- 数学 简介 课件
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1、 模糊数学模糊数学(Fuzzy mathematics,弗晰数学弗晰数学)是解决模糊性问题的数学分支是解决模糊性问题的数学分支.这里所谓的这里所谓的“模糊模糊”是相对于是相对于“明晰明晰”而言的而言的,而所谓的而所谓的“明晰明晰”即非此即彼即非此即彼.明晰数学数学的基础是明晰数学数学的基础是经典集合论经典集合论:一个元素一个元素a,要么属于集合要么属于集合A,要么要么要么属于要么属于A的余集的余集,二者必居其一二者必居其一.但是并非但是并非所有的现象和概念都象经典集合论这样所有的现象和概念都象经典集合论这样“明明晰晰”,有许多概念没有明确的界限有许多概念没有明确的界限,特别是在特别是在人类的思
2、维与语言中,例如人类的思维与语言中,例如:高矮、胖瘦、美高矮、胖瘦、美丑等丑等.模糊数学的出现与计算机智能模拟密切模糊数学的出现与计算机智能模拟密切相关相关.1965年年,美国加利福尼亚大学自动控制专美国加利福尼亚大学自动控制专家家L.A.Zadeh第一次提出了模糊性问题第一次提出了模糊性问题,从不从不同于经典数学的角度同于经典数学的角度,研究数学的基础集合论研究数学的基础集合论,给出了模糊概念的定量表示方法给出了模糊概念的定量表示方法,发表了著名发表了著名的论文的论文“模糊集合模糊集合”(Fuzzy sets).这篇论文这篇论文的问世的问世,标志着模糊数学的诞生标志着模糊数学的诞生.随着研究
3、的深入随着研究的深入,模糊数学的内容日益丰模糊数学的内容日益丰富富,其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技术的很多领域术的很多领域,取得了很多重要成果取得了很多重要成果,例如例如:模糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测模糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等等.L.A.Zadeh是美国工程科学院是美国工程科学院 院士院士,1921年年2月出生在前苏联月出生在前苏联 的阿塞拜疆的阿塞拜疆,1942年毕业于伊年毕业于伊 朗的德黑兰大学朗的德黑兰大学,1949年获美年获美 国哥伦比亚大学电机工程博士国哥伦比亚大学电机工程博士 学位学位,现任伯克利加利福尼亚现任伯克利
4、加利福尼亚 大学电机工程与计算机科学系大学电机工程与计算机科学系教授教授,曾多次在一些大学和公司做访问研究曾多次在一些大学和公司做访问研究,其中包括其中包括MIT和和IBM实验室实验室.他的著名论文他的著名论文 L.A.Zadeh,Fuzzy sets,Information and control,1965,8(3):338-353.第一章第一章 模糊集合模糊集合1.1 1.1 经典集合经典集合1,;()0,.AxAxxA 经典集合的元素彼此相异经典集合的元素彼此相异,即无重复性即无重复性,并且边界分明并且边界分明,即一个元素即一个元素x要么属于集合要么属于集合A(记作记作x A),要么不属
5、于集合要么不属于集合(记作记作x A),二二者必居其一者必居其一.集合集合A的特征函数:的特征函数:集合的表示法集合的表示法:(1)枚举法;枚举法;(2)描述法,描述法,A=x|P(x).A B 若若x A,则则x B;A B 若若x B,则则x A;A=B A B且且 A B.集合集合A的所有子集所组成的集合称为的所有子集所组成的集合称为A的的幂集幂集,记为记为2A.并集并集AB=x|x A或或x B;交集交集AB=x|x A且且x B;设全集是设全集是X,A X,余集余集Ac=x|x X,x A.集合的运算规律集合的运算规律 幂等律:幂等律:AA=A,AA=A;交换律:交换律:AB=BA,
6、AB=BA;结合律:结合律:(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);吸收律:吸收律:A(AB)=A,A(AB)=A;分配律:分配律:(AB)C=(AC)(BC);(AB)C=(AC)(BC);0-1律:律:AX=X,AX=A;A =A,A =;还原律:还原律:(Ac)c=A;对偶律:对偶律:(AB)c=AcBc,(AB)c=AcBc;排中律:排中律:AAc=X,AAc=,其中其中X为全集,为全集,为空集为空集.集合运算的特征函数表示集合运算的特征函数表示 ()()();()()();()1().cA BABA BABAAxxxxxxxx 这里这里表示取大运算表示取大运算,表示取小运算表
7、示取小运算.集合的笛卡儿积:集合的笛卡儿积:X Y=(x,y)|x X,y Y.映射映射 f:X Y二元关系二元关系 X Y 的子集的子集 R 称为从称为从 X 到到 Y 的的二元关二元关系系,特别地,当特别地,当 X=Y 时,时,称之为称之为 X 上的上的二二元关系元关系.二元关系简称为二元关系简称为关系关系.若若(x,y)R,则则称称 x 与与 y 有有关系,记为关系,记为R(x,y)=1;若若(x,y)R,则则称称x与与y没有没有关系,记为关系,记为R(x,y)=0.映射映射 R:X Y 0,1实际上是实际上是 X Y 的的子集子集R上的特征函数上的特征函数.关系的矩阵表示法关系的矩阵表
8、示法 设设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn,R为从为从 X 到到 Y 的的二元关系,记二元关系,记rij=R(xi,yj),R=(rij)mn,则则R为布为布尔矩阵尔矩阵(Boole matrix),称为称为R的关的关系矩阵系矩阵.布布尔矩阵是元素只取尔矩阵是元素只取0或或1的矩阵的矩阵.关系的合成关系的合成 设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系,R2 是是 Y 到到 Z 的关的关系系,则则R1与与 R2的合成的合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一上的一个关系个关系.(R1 R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY 关系合成的矩阵表示法关系合成的矩阵表示法
9、设设 X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn,且且X 到到Y 的关系的关系R1=(aik)ms,Y 到到Z 的关系的关系R2=(bkj)sn,则则X 到到Z 的关系可表示为矩阵形式:的关系可表示为矩阵形式:R1 R2=(cij)mn,其中其中cij=(aikbkj)|1ks,R1 R2 称为矩阵称为矩阵的布尔乘积的布尔乘积.例例 设设 X=1,2,3,4,Y=2,3,4,Z=1,2,3,R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系,R2 是是Y 到到 Z 的关系的关系,R1=(x,y)|x+y=6=(2,4),(3,3),(4,2),R2=(y,z)|y z=1=(2,1)
10、,(3,2),(4,3),则则R1与与 R2的合成的合成R1 R2=(x,z)|x+z=5=(2,3),(3,2),(4,1).1000001010100R 2100010001R 等价关系:等价关系:设设R为为 X 上的上的关系关系,如果满足如果满足 (1)自反性自反性:X 中的任何元素都与自己有中的任何元素都与自己有关系,即关系,即R(x,x)=1;(2)对称性对称性:对:对X中的两个元素中的两个元素x,y,若若x 与与y有关系有关系,则则y与与x有关系有关系,即若即若R(x,y)=1,则,则R(y,x)=1;(3)传递性传递性:对于:对于X中的三个元素中的三个元素x,y,z,若若x与与y
11、有关系,有关系,y与与z有关系,则有关系,则x与与z有关系,有关系,即若即若R(x,y)=1,R(y,z)=1,则则R(x,z)=1.则称则称R为为X上的等价上的等价关系关系.设设 R为为 X 上的等价上的等价关系关系.如果如果(x,y)R,即即x与与y有关系有关系R,则记为则记为 x y.集合上的等价类集合上的等价类 设设 R是是X 上的等价上的等价关系,关系,x X.定义定义x的等价类:的等价类:xR=y|y X,y x.集合的分类集合的分类 设设 X 是非空集合,是非空集合,Xi 是是 X 的的非空子集族,若非空子集族,若Xi=X,且,且XiXj=(i j),则称集合族则称集合族 Xi
12、是集合是集合 X 的一个分类的一个分类.(1)对任意对任意 x X,xR非空;非空;(2)对任意对任意 x,y X,若,若x与与y 没有关系没有关系R,则,则xRyR=;(3)X=x X xR.定理定理 集合集合X上的等价上的等价关系关系R可以确定可以确定X的的一个分类一个分类.即即证明证明:(1)由于由于R具有自反性,所以具有自反性,所以x xR,即即 xR非空非空.(2)假设假设 xRyR ,取取z xRyR,则,则z与与x有关系有关系R,z与与y也有关系也有关系R.由于由于R具有具有对称性,所以对称性,所以x与与z有关系有关系R,z与与y也有关系也有关系R.又由于又由于R具有传递性,具有
13、传递性,x与与y也有关系也有关系R.这与题设矛盾这与题设矛盾.(3)显然显然.1.2 1.2 模糊集合及其运算模糊集合及其运算模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 设设X是全集是全集(或论域或论域),称映射,称映射A:X0,1确定了一个确定了一个X中的中的模糊子集模糊子集A,A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数,它表示,它表示x对对A的隶属程度的隶属程度.当映射当映射A(x)只取只取0或或1时,模糊子集时,模糊子集A就是就是经典子集,而经典子集,而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数.可见经可见经典子集就是模糊子集的特殊情形典子集就是模糊子集的特殊情形.模糊集合的表示模糊集合的表示 设设
14、X是全集,是全集,A(x)是模糊集合是模糊集合A的隶属函的隶属函数数.如果如果X是有限集合或可数集合是有限集合或可数集合,则将模糊则将模糊集合集合A表示为表示为();iiA xAx 如果如果X是无限不可数集合是无限不可数集合,则将模糊集合则将模糊集合A表表示为示为().A xAx X中的所有模糊子集记为中的所有模糊子集记为F(X),显然显然F(X)2X.例例 设论域设论域X=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位:单位:cm)表示人表示人的身高,如果的身高,如果X中模糊集合中模糊集合A=“高个子高个子”的的隶属函数隶属函数A(x)定
15、义为定义为则则A表示为表示为140(),190140 xA x 12345600.20.40.60.81.Axxxxxx 例例 设论域设论域X=0,100表示年龄的集合,表示年龄的集合,X中模糊集合中模糊集合A=“年老年老”和和B=“年轻年轻”的隶的隶属函数属函数可分别可分别定义为定义为120,050,()501,50100;5xA xxx 121,025,()251,25100.5xB xxx x1A(x)x1B(x)A=“年老年老”B=“年轻年轻”例例 设设X 中元素是各种单连通凸区域中元素是各种单连通凸区域x,以以光滑的封闭曲线为边界光滑的封闭曲线为边界,用用l 表示边界的周长表示边界的
16、周长,S表示区域的面积表示区域的面积,模糊集合模糊集合A=“圆的程度圆的程度”,可定义可定义A的隶属函数为的隶属函数为24(,).SA l Sl 常用的隶属函数常用的隶属函数(1)S型函数型函数(偏大型隶属函数偏大型隶属函数)22 (;,)0,2,212,21,.S x a bxaxaabaxbaxbabxbbabx x1ab(2)Z型函数型函数(偏小型隶属函数偏小型隶属函数)(;,)1(;,).Z x a bS x a bx1ab(3)型函数型函数(中间型隶属函数中间型隶属函数)x1b-ab+ab(;,),(;,)(;,),.S x ba bxbx a bZ x b baxb 模糊子集的运算
17、模糊子集的运算相等:相等:A=B A(x)=B(x);包含:包含:A B A(x)B(x);并:并:AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x);交:交:AB的隶属函数为的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x);余:余:Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).例例 设论域设论域X=x1,x2,x3,x4,x5(商品集商品集),在在X中定义两个模糊集中定义两个模糊集:A=“商品质量好商品质量好”,B=“商品质量差商品质量差”,并设并设则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”,Bc=“商品质量不商品质量不差差”.123450.80.5500.31,Axxxxx123
18、450.10.210.860.60.Bxxxxx123450.20.4510.70,cAxxxxx123450.90.790.140.41.cBxxxxx可见可见Ac B,Bc A.并且并且123450.80.5510.71,cAAUxxxxx 123450.20.4500.30.cAAxxxxx 模糊子集的运算性质除了排中律以外与模糊子集的运算性质除了排中律以外与经典集合的运算性质一致经典集合的运算性质一致,即即AAc=X,AAc=不一定成立不一定成立.模糊子集不再具有模糊子集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点,这正是模糊性带来的本质特征的特点,这正是模糊性带来的本质特征.设设A是论域是论域
19、X中一个模糊集合中一个模糊集合,0,0 1,称集合称集合1.3 1.3 模糊集的分解定理模糊集的分解定理A=x|A(x)为为A的的 水平集水平集(或或 截集截集).模糊集模糊集A的的 水平集水平集A 是一个经典集合是一个经典集合,由论域中隶属度不小于由论域中隶属度不小于 的元素构成的元素构成.显然显然,A0=X.(1)A B A B;(2)A A;(3)(AB)=A B,(AB)=A B.水平集的性质水平集的性质 设设A,B是两个模糊子集是两个模糊子集,0,1,于是于是模糊集的分解定理模糊集的分解定理 设设A是一个模糊子集是一个模糊子集,则则 即即A(x)=|0,1,x A .0,1,AA 证
20、明证明 因为因为1,()0,xAAxxA 所以所以0,10,1()()()().x AA xAxAxA x 注注 模糊集的分解定理给出了模糊集合与经模糊集的分解定理给出了模糊集合与经典集合之间的关系典集合之间的关系.1.4 1.4 模糊矩阵模糊矩阵 若若0rij1,则称矩阵,则称矩阵R=(rij)mn为为模糊矩模糊矩阵阵.显然布尔矩阵是模糊矩阵的特殊形式显然布尔矩阵是模糊矩阵的特殊形式.当当模糊方阵模糊方阵R=(rij)nn的对角线上的元素的对角线上的元素rii都为都为1时,称时,称R为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵.设设A=(aij)mn,B=(bij)mn都都是模糊矩阵是模糊矩阵.A=B ai
21、j=bij;AB aijbij;AB=(aijbij)mn;AB=(aijbij)mn;Ac=(1-aij)mn.有限论域中的模糊集合可以表示为模糊矩阵有限论域中的模糊集合可以表示为模糊矩阵.模糊矩阵的并、交、余运算性质模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律:幂等律:AA=A,AA=A;交换律:交换律:AB=BA,AB=BA;结合律:结合律:(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);吸收律:吸收律:A(AB)=A,A(AB)=A;分配律:分配律:(AB)C=(AC)(BC);(AB)C=(AC)(BC);0-10-1律:律:AO=A,AO=O;AE=E,AE=A;还原律:还原律:(Ac)c=
22、A;对偶律:对偶律:(AB)c=AcBc,(AB)c=AcBc.1.11.1E模糊矩阵的乘积模糊矩阵的乘积 设设A=(aik)ms,B=(bkj)sn,定义模糊,定义模糊矩阵矩阵A 与与B 的乘积为:的乘积为:A B=(cij)mn,其中其中cij=(aikbkj)|1ks.模糊方阵的幂模糊方阵的幂 若若A为为 n 阶方阵阶方阵,定义定义 A2=A A,A3=A2 A,Ak=Ak-1 A.(A B)C=A (B C);Ak Al=Ak+l,(Am)n=Amn;A(BC)=(A B)(A C);(BC)A=(B A)(C A);O A=A O=O,I A=A I=A;AB,CD A C B D.
23、模糊矩阵乘积运算的性质模糊矩阵乘积运算的性质注:乘积运算关于注:乘积运算关于的分配律不成立,即的分配律不成立,即(AB)C (A C)(B C)1.010.1I 模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置 设设A=(aij)mn,称称AT=(aijT)nm为为A的转的转置矩阵,其中置矩阵,其中aijT=aji.转置运算的性质转置运算的性质(AT)T=A;(AB)T=ATBT,(AB)T=ATBT;(A B)T=BT AT;(An)T=(AT)n;(Ac)T=(AT)c;AB AT BT.模糊矩阵的模糊矩阵的 截矩阵截矩阵 设设A=(aij)mn,对任意的对任意的 0,1,称,称A=(aij()mn,为模糊矩
24、阵为模糊矩阵A的的 截矩阵截矩阵,其中其中当当aij 时,时,aij()=1;当;当aij 时,时,aij()=0.显然显然,A的的 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵.AB A B;(AB)=A B,(AB)=A B;(A B)=A B;(AT)=(A )T.设设A=(aij)ms,B=(bij)sn,A B=C=(cij)mn,cij()=1 cij (aikbkj)存在存在k,(aikbkj)存在存在k,aik ,bkj 存在存在k,aik()=bkj()=1 (aik()bkj()=1;cij()=0 cij (aikbkj)k,(aikbkj)k,aik 或或 bkj k,aik()=
25、0或或bkj()=0(aik()bkj()=0.所以所以,cij()=(aik()bkj().证明证明(A B)=A B 1.5 1.5 模糊关系模糊关系 设论域设论域X,Y,X Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称为从称为从X到到Y 的的模糊关系模糊关系.模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R:X Y 0,1.并称隶属度并称隶属度R(x,y)为为(x,y)关于模糊关系关于模糊关系 R 的相关程度的相关程度.特别地,当特别地,当 X=Y 时,时,称之为称之为 X 上各元上各元素之间的素之间的模糊关系模糊关系.模糊关系的运算模糊关系的运算 由于由于模糊关系模糊关系 R就是就
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