概率论课件-特征函数.ppt
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- 关 键 词:
- 概率论 课件 特征 函数
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1、4.1 4.1 一维特征函数的定义及其性质一维特征函数的定义及其性质4.2 4.2 多维随机变量的特征函数多维随机变量的特征函数4.3 4.3 母函数母函数一、定义及例一、定义及例 二、性质二、性质 三、特征函数与矩的关系三、特征函数与矩的关系 四、反演公式及惟一性定理四、反演公式及惟一性定理 随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征,随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征,一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具,一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具,既能与分布函数一一对应,但比分布函数具有更好的分析性质。既能与分布函数一一对应,但比分布
2、函数具有更好的分析性质。1,12iii虚数单位jj,j 211Zabjjtecostj sint欧拉公式欧拉公式=Zabjr(cosi sin)2.复随机变量的数学期望复随机变量的数学期望 若复随机变量为若复随机变量为 jYXZ 其中其中X,Y 均为实随机变量均为实随机变量,则则Z 的数学期望定义为的数学期望定义为)()()(YjEXEZE )sin()cos(tXjtXejtX )()(jtXeEt )()sin()()(cosxdFtxjxdFtx )(xdFejtX 一、定义及例一、定义及例 定义定义4.1.1 设设X 是定义在概率空间是定义在概率空间 上的随机变量上的随机变量,它它),
3、(P F F 的分布函数为的分布函数为 ,称称 的数学期望的数学期望 为为X 的特征函数的特征函数.)(xF)(jtXeEjtXe有时也称为分布函数有时也称为分布函数 的特征函数的特征函数,其中其中)(xF.,1Rtj 记记X 的特征函数为的特征函数为 ,在不会引起混乱的情况下简写为在不会引起混乱的情况下简写为)(tX).(t 1.特征函数的定义特征函数的定义 一、定义及例一、定义及例 定义定义4.1.1 设设X 是定义在概率空间是定义在概率空间 上的随机变量上的随机变量,它它),(P F F 的分布函数为的分布函数为 ,称称 的数学期望的数学期望 为为X 的特征函数的特征函数.)(xF)(j
4、tXeEjtXe有时也称为分布函数有时也称为分布函数 的特征函数的特征函数,其中其中)(xF.,1Rtj 记记X 的特征函数为的特征函数为 ,在不会引起混乱的情况下简写为在不会引起混乱的情况下简写为)(tX).(t 1.特征函数的定义特征函数的定义 tXjtXejtXsincos )()(jtXeEt +E(cos Xt)jE(sin Xt)3.特征函数的计算特征函数的计算)sin()cos(tXjtXejtX )()(jtXeEt )()(sin)()(cosxdFtxjxdFtx )(xdFejtX (1)离散型离散型)()(jtXeEt kkjtxpek(2)连续型连续型)()(jtXe
5、Et dxxfejtX)(X的特征函数就是的特征函数就是x的函数的期望,此时的函数是的函数的期望,此时的函数是 由由X构造出来的复值随机变量的期望。构造出来的复值随机变量的期望。例例4.1.1 设随机变量设随机变量X 服从退化分布服从退化分布,即即1 cXP求求X 的特征函数的特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep kjtxkkjtC(t)epe 1jtCe 例例4.1.2 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为p 的的0-1分布分布(两点分布两点分布),求其求其特征函数特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep +-+-jtjt(t)ep ep 101+q qjte p 例
6、例4.1.3 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为n,p 的二项分布的二项分布,求其特征函数求其特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep -nn kkkitknk(t)C ppe 01 -nn kkitknkC(p e)p 01+q q)jtn(pe 例例4.1.4 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布,求其特征函数求其特征函数.kjtxjtXkk(t)E(e)ep k!k!kitkke(t)e 0k!k!itkkee 0()iteee -itee 1()例例4.1.5 设随机变量设随机变量X 服从服从 的均匀分布的均匀分布,求其特征函数求其特征函数
7、.,aa)()(jtXeEt dxxfejtX)(f(x),axa,a,120其其他他(t)a aajtxedxa 12=a ax ajtxxaejt 12=a asinatt1)0(t 当当t=0时,时,()0=1=1e f(x)dx 0例例4.1.6 设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布,求其特征函数求其特征函数.jtXjtX(t)E(e)ef(x)dx jtXx(t)eedx 0 xcostxi sintx)edx 0(+xxcostxedxisintxedx00+titt 22222二、特征函数的性质二、特征函数的性质 ;1)0(|)(|)1(t.)()(
8、)2(tt 性质性质4.1.1 随机变量随机变量X 的特征函数满足的特征函数满足:性质性质4.1.2 设设X 的特征函数为的特征函数为 ,则则 的特征函数为的特征函数为 )(tX baXY )()(atetXjbtY itYY(t)Ee itEe(aX+b)aX+b)itaXitaXitbitbXEeeeat 性质性质4.1.3 随机变量随机变量X 的特征函数的特征函数 在在R上一致连续上一致连续.)(t 性质性质4.1.4 随机变量随机变量X 的特征函数的特征函数 是非负定的是非负定的,即对任意正即对任意正 )(t 整数整数n,任意复数任意复数 ,以及以及 有有 nzzz,21,2,1,nr
9、Rtr 0)(1,nsrsrsrzztt 波赫纳波赫纳-辛钦定理辛钦定理 若函数若函数 连续连续,非负定且非负定且 ,)(),(Rtt 1)0(则则 必为特征函数必为特征函数.)(t 三、特征函数与矩的关系三、特征函数与矩的关系 定理定理4.1.1 设随机变量设随机变量X 的的n 阶矩存在阶矩存在,则则X 的特征函数的特征函数 的的k)(t)()(tk 阶导数阶导数 存在存在,且且)0()()(kkkjXE nk 四、反演公式及唯一性定理四、反演公式及唯一性定理 定理定理4.1.2(反演公式反演公式)设随机变量设随机变量X 的分岂有此理函数和特征函的分岂有此理函数和特征函 TTjtxjtxTd
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