概率论与数理统计浙大四版第二章2讲课件.pptx

1、 设设X是一个离散型随机变量，它可能取是一个离散型随机变量，它可能取的值是的值是 x1,x2,.为了描述随机变量为了描述随机变量 X，我们不仅需，我们不仅需要知道随机变量要知道随机变量X的取值，而且还应知道的取值，而且还应知道X取每个值的概率取每个值的概率.这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X这个这个随机变量取值的概率规律随机变量取值的概率规律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为101)0(3533CCXP106)1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例例

2、1且且311iiXP)(一、离散型随机变量概率分布的定义一、离散型随机变量概率分布的定义一般地，我们给出如下定义一般地，我们给出如下定义:其中其中 (k=1,2,)满足：满足：kp,0kp k=1,2,（1）kkp1（2）定义定义1：设：设xk(k=1,2,)是离散型随是离散型随机变量机变量X所取的一切可能值，称所取的一切可能值，称 k=1,2,)(kkpxXP为离散型随机变量为离散型随机变量X的概率函数或分布的概率函数或分布律，也称概率分布律，也称概率分布.解解:依据概率函数的性质依据概率函数的性质:kkXP1)(P(X=k)0,1!0aekakk a0从中解得从中解得欲使上述函数为概率函数

3、欲使上述函数为概率函数应有应有 ea0kkke!这里用到了常见的这里用到了常见的幂级数展开式幂级数展开式例例2.设随机变量设随机变量X的概率函数为：的概率函数为：,!)(kakXPkk=0,1,2,试确定常数试确定常数a.0二、表示方法二、表示方法（1）列表法：）列表法：（2）图示法）图示法（3）公式法）公式法103106101210X2,1,0,)(35233kCCCkXPkk再看例再看例1任取任取3 个球个球X为为取到的白球数取到的白球数X可能取的值可能取的值是是0,1,20.10.30.6kPK012三、举例三、举例例例3.某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求，

4、求他两次独立投篮投中次数他两次独立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解：X可取可取0、1、2为值为值 P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18 P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1常常表示为：常常表示为：81.018.001.0210X这就是这就是X的概率分布的概率分布.例例4.某射手连续向一目标射击，直到命中为某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是止，已知他每发命中的概率是p，求，求所需射击所需射击发数发数X 的概率函数的概率函数.解解:显然，显然，X

5、可能取的值是可能取的值是1,2,，P(X=1)=P(A1)=p,为计算为计算 P(X=k)，k=1,2,，Ak=第第k发命中发命中，k=1,2,，设设于是于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp 2)1(,2,1kppkXPk1)1()(可见可见这就是求这就是求所需射击发数所需射击发数X的概率函数的概率函数.P(X=1)=P(A1)=p,Ak=第第k发命中发命中，k=1,2,，设设于是于是pp)1()()2(21AAPXP)()3(321AAAPXPpp 2)1(若随机变量若随机变量X的概率函数如上式，则的概率函数如上式，则称称X具有具有几何分布几何分布.不难验证

6、不难验证:1)1(11kkpp,2,1kppkXPk1)1()(例例5.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等号灯显示的时间相等.以以X表示该汽车首次遇到表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数红灯前已通过的路口的个数，求，求X的概率分布的概率分布.解解:依题意依题意,X可取值可取值0,1,2,3.P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3

7、设设路口路口1路口路口2路口路口3P(X=1)=P()21AA2121=1/4321AAA P(X=2)=P()212121=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口路口1路口路口2路口路口3路口路口1路口路口2路口路口3Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设321AAA=1/8P(X=3)=P()212121路口路口1路口路口2路口路口3818141213210X即即不难看到不难看到301)(iiXPX表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红

8、灯,i=1,2,3设设 解：每个分子的运动是解：每个分子的运动是相互独立的，在左边还相互独立的，在左边还是右边是等可能的是右边是等可能的,概概率都是率都是0.5.例例6.N个可以辨认的分子，在一容器内自由个可以辨认的分子，在一容器内自由运动，如今从中隔开，观察左边分子的个数，运动，如今从中隔开，观察左边分子的个数，试求其概率分布试求其概率分布.设左边分子的个数为设左边分子的个数为X，我们来求我们来求X取每个值的概率取每个值的概率.X可取可取0,1,N为值为值，设左边分子的个数为设左边分子的个数为X，P(X=k)=kNkkNC)5.0()5.0(NkNC)5.0(k=0,1,NX可取可取0,1,

9、N为值为值，共共N个分子个分子某固定某固定k个分子在左端，其余个分子在左端，其余N-k个分子在右端的概率是个分子在右端的概率是(0.5)k(0.5)N-k左端有左端有k个分子的所有情况数为个分子的所有情况数为从从N个不同个不同元素中取元素中取k个的组合，个的组合，即即 种种.kNC于是于是 只要知道了随机变量的概率分布，就只要知道了随机变量的概率分布，就可以计算与该随机变量有关的事件的概率可以计算与该随机变量有关的事件的概率.P(X=k)NkNC)5.0(k=0,1,N可以验证：可以验证：NkNkNC0150).(例例7.某加油站替公共汽车站代营出租汽车业某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，

10、每出租一辆汽车，可从出租公司得到务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元元.因代营业务，每天加油站要多付给职工因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费服务费60元元.设每天出租汽车数设每天出租汽车数 X是一个随是一个随机变量，它的概率分布如下：机变量，它的概率分布如下：15.045.025.015.040302010X求因代营业务得到的收入大于当天的额外求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率支出费用的概率.分析：加油站代营每出租一辆车，可得分析：加油站代营每出租一辆车，可得3元元.每天出租汽车数为每天出租汽车数为X，因代营业务得到的收入，因代营业务得到的收入为为3 X元元.每天加油

11、站要多付给职工服务费每天加油站要多付给职工服务费60元，即元，即当天的额外支出费用当天的额外支出费用.因代营业务得到的收入大于当天的额外因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：支出费用的概率为：P3X60即即 PX2015.045.025.015.040302010X注意到注意到 也就是说，加油站因代营业务得到的收也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.PX20=PX=30+PX=40=0.6 二 常见离散型随机变量 的分布律设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的分它的分布律为布律为Xk

12、p0p 11p则称则称 X 服从服从(01)分布分布或或两点分布两点分布.1.两点分布两点分布 例：从全国的新生儿中随机抽取一个，记录其性别值Y(0表示男，1表示女)，则Y服从01分布。PY=0表示男孩的概率。将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果,则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立的相互独立的,或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1)重复独立试验重复独立试验2.二项分布二项分布(2)n 重重伯努利试验伯努利试验

13、.1)(),10()(.,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验.,重伯努利试验重伯努利试验 nnE复的独立试验为复的独立试验为则称这一串重则称这一串重次次独立地重复地进行独立地重复地进行将将实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否“出现出现 1 点点”,就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.(3)二项概率公式二项概率公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重

14、伯努利试验中事件表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X.,2,1,0n,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA,次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种 kn且两两互不相容且两两互不相容.nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnbX次的概率为次的概率为次试验中发生次试验中发生在在因此因此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 的分布律为的分布律为得得

15、X二项分布二项分布1 n两点分布两点分布二项分布的图形二项分布的图形例8 已知一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查20只，求20只元件中恰有k(k=0,1,2,20)只为一级品的概率。解：不放回抽样，因元件数量大，抽取数目小，可以作放回抽样处理。设20只元件的一级品数为X,则X b(20,0.2)因此所求概率为因此所求概率为.20,1,0,)8.0()2.0(2020 kkkXPkk图示概率分布图示概率分布3 泊松分布(PoissonDistribution).(,.0,2,1,0,!e,2,1,0 XXkkkXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数

16、其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取 泊松分布的图形泊松分布的图形泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他他们做了们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布.在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问

17、题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n小结 对于离散型随机变量，如果知道了它的对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数概率函数,也就知道了该

18、随机变量取值的概率也就知道了该随机变量取值的概率规律规律.在这个意义上，我们说在这个意义上，我们说 这一讲，我们介绍了离散型随机变量及这一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布其概率分布.离散型随机变量由它的概率函数唯一确定离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.下一讲，我们将向大家介绍另一种类下一讲，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量型的随机变量-连续型随机变量的描述方连续型随机变量的描述方法法.有趣的幻方 幻方起源于我国，相传，远古时有神龟浮现于洛水，背上有按规律排布的花点，谓之洛书，后世人称九宫图，杨辉称九宫图以及由此而演生的类似数表为纵横图。此后，我国陆续有一些数学家，编制出了行列更

19、多的纵横图。传至欧洲后，也引起了人们极大的兴趣，进而又不局限于方阵排列，出现了排列于圆、三角形等图形上的数字排布图。但这些都是作为一种益智游戏而进行研究的。近代，一些学者深入研究了幻方的编造原理和其中蕴涵的数学关系，当在电子计算机、图论等方面有了一些应用之后，更引起了人们的注意，成为组合数学的研究内容。有趣的幻方1341 1791 1476 15661836 1206 1701 14311611 1521 1746 12961386 1656 1251 1881发现我的奇妙了吗?6174练习：练习：为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作,需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人(工人配备多了

20、就浪费工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设需配备N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台数为台数为).01.0,300(,bX那么那么所需

21、解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理由泊松定理得得.99.0 NXP,!e303 NkkkNXP故有故有,99.0!e303 Nkkk即即 Nkkk03!e31 13!e3Nkkk,01.0.8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8练习题答案 1 2)(1)()(,BAPBAPBAPBABA)()()()(1ABPABPBPAPpBP1)(nnNNC3 设三边长x,y,l-x-y,则 能构成三角形的充要条件为此三段能构成三角形A-x-y，lllxy-x-l0 ,y0 ,0 xyxlyyyxlxyxlyx4121)2(21)(22llAP