概率论与数理统计4153-数学期望课件.pptx
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- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 4153 数学 期望 课件
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1、 有两批灯泡,它们的寿命分别为(小时):有两批灯泡,它们的寿命分别为(小时):3000、3998、3002、3997、3003 和和 5000、4998、5002、4997、5003请问哪批灯泡的质量好?请问哪批灯泡的质量好?有两批灯泡,它们的寿命分别为(小时):有两批灯泡,它们的寿命分别为(小时):5000、4998、5002、4997、5003 和和 5000、4000、6000、3000、7000请问哪批灯泡的质量好?请问哪批灯泡的质量好?平均寿命平均寿命灯泡实际寿命与相对于平均寿命的偏差灯泡实际寿命与相对于平均寿命的偏差.第第4章章 随机变量的随机变量的数字特征数字特征4.1 4.1
2、数学期望数学期望4.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数4.2 4.2 方差方差4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、二、连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质四、数学期望的性质 引例引例 某企业对自动流水线加工的产品实行质量某企业对自动流水线加工的产品实行质量监测,每天抽检一次,每次抽取监测,每天抽检一次,每次抽取5件,检验产品是件,检验产品是否合格,在抽检的否合格,在抽检的30天记录中,无次品的有天记录中,无次品的有18天,天,一件次品的
3、有一件次品的有9天,两件次品的有天,两件次品的有3天,求日平均次天,求日平均次品数品数次品数次品数 0 1 2 3 4 5 总计总计天数天数频频率率fi 18 9 3 0 0 0 N=30 18/30 9/30 3/30 0 0 0 1日平均次品数日平均次品数300504033291180 x3005300430033032309130180 5.0 次品数次品数 0 1 2 3 4 5 总计总计天数天数频频率率fi 18 9 3 0 0 0 N=30 18/30 9/30 3/30 0 0 0 1 50iiifxx可能出现的次品数与其可能出现的次品数与其相对应频率乘积的和相对应频率乘积的和
4、50iiifx 日平均次品数日平均次品数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动 50iiifx n 50iiipx随机波动随机波动 稳定值稳定值 “日平均次品数日平均次品数”的稳定值的稳定值?“日平均次品数日平均次品数”等于等于次品数的可能值与其概率之积的和次品数的可能值与其概率之积的和由概率的统计定义知:由概率的统计定义知:当试验次数很大时当试验次数很大时,频频率会稳定于概率率会稳定于概率Pi定义定义.)().(,.,2,1,kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即即记为记为的数学期望的数学期望为随机变量为随机变量则称级数则称级数绝对收敛绝对收敛若级数若级数的分布律为的分
5、布律为设离散型随机变量设离散型随机变量一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 数学期望的本质数学期望的本质 加权平均加权平均,它是一个数它是一个数,不再是随机变量。不再是随机变量。例例 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向?某人有某人有10万元现金,想投资于某万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为项目,预估成功的机会为 30%,可得,可得利润利润8万元万元,失败的机会为失败的机会为70%,将,将损失损失 2 万元若存入银行,同期间的万元若存入银行,同期间的利率为利率为5%,问是否作此项投资,问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润,则为投资利润,则),(17.023
6、.08)(万元万元 XE存入银行的利息存入银行的利息:),(5.0510万元万元%故应选择投资故应选择投资.Xp82 3.07.0分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布(1)(0)1P XpP Xp pB(n,p)()(1)0,1,2,kkn knP XkC ppknnpP()()!0,1,2,keP Xkkk 计计算算过过程程见课见课本本几个重要的离散型分布的数学期望几个重要的离散型分布的数学期望G(p)PX=k=pqk-1,k=1,2,几个重要的离散型分布的数学期望几个重要的离散型分布的数学期望1.)(),(XEXpnBX的的数数学学期期望望求求设设的的概概率
7、率函函数数为为XnkqpCpnkbpknkknk2,1,0,),;(nkknkkkkppxXE00)(knknkknqpkC 0knknkqpkknnnk 1!)1()1(!)1()1(kknnnCkn knknkknqpkC 1knknkqpkknnn 1)!1()1()1(knknkqpkknnnkXE 1!)1()1()(ininiqpiinnnp )1(10!)()1(1 ki令令1110!)()1(ininiqpiinnn!)()1(!)11()1(!)1()1(1kknnkknnCkknnnCknkn inC1 ininiinqpCnp )1(1011)(nqpnpnp inini
8、innyxCyx 0)(2.).(),(,PoissonXEPXX求求即即分分布布的的服服从从参参数数为为设设 的的概概率率函函数数为为X,2,1,0,!kekpkk kkpk 0 ekkekkkkkk!10 ekkk!0 因为因为所以所以 EXPoisson分布的参数就是它的数学期望分布的参数就是它的数学期望 1)!1(kkek 0011!)!1(1iiiikkeieiekki 令令 01!kkek 二、二、连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义的引出定义的引出 设设X 是连续型随机变量是连续型随机变量,其密度为其密度为 f(x),在数轴上任取在数轴上任取很密的分点很密的分点
9、x1 x2 x3,则则X落在小区间落在小区间 xk,xk+xk)内的概率是内的概率是kxkkxx f(x)xkkxxf)(kkkxxxdxxf)(kkxxf)(因此因此 X 取值取值 xk、概率为概率为 的的离散离散型型随机变量随机变量,kkxxf)(x1 x2 xk X pkf(x1)x1 f(x2)x2 f(xk)xk dxxfxx)(lim0X的数学期望的数学期望是是kkkkxxfx)(这启发我们引出如下连续型随机变量的数这启发我们引出如下连续型随机变量的数学期望定义:学期望定义:.d)()(.)(,d)(,d)(),(xxfxXEXEXxxfxxxfxxfX即即记为记为的数学期望的数学
10、期望变量变量的值为随机的值为随机则称积分则称积分绝对收敛绝对收敛若积分若积分的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量解解 xxfxXEd)()(xxxde5150 ).(5 分钟分钟 因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.练习练习 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?.0,0,0,e51)(5xxxfx分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)
11、上的上的均匀分布均匀分布1,()0,axbf xba其它2abE(),0,()0,xexf x其它1N(,2)22()21()2xf xe几个重要的连续型分布的数学期望几个重要的连续型分布的数学期望例例 11230Xxfx:解其它U-1,2X,EY求:Xfx dxyEYx 001010y xxxx 01Xfx dx 01Xfx dx01311dx20113dx13100010XYXXy按分 段几个重要的连续型分布的数学期望几个重要的连续型分布的数学期望1.).(,XEbaX上上的的均均匀匀分分布布,求求服服从从区区间间设设其其密密度度函函数数为为,baUX badxabxdxxxf)(因为因为
12、baxab212 2)(baXE 所以所以均匀分布的期均匀分布的期望为区间中点望为区间中点 其其它它01)(bxaabxf2ba ).(,XEX求求的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为设设 dxxxf)(其其密密度度函函数数为为),(EX 000)(xxexfx dxexx 0 0 xdex|00 dxeexxx 0|)1(00 xe 因为因为 1 1)(XE所以所以2.3.).(,2XEX求求的的正正态态分分布布和和服服从从参参数数为为设设 其其密密度度函函数数为为),(2 NX222)(21)(xexf dxxxf)(dxexx 222)(21 因为因为所以所以 xy令令dyeyy 2
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