概率论与数理统计24-72-估计量的评选标准课件.ppt

1、估计量估计量的评选标准的评选标准区间估计区间估计 第二节第二节 估计量的评选标准估计量的评选标准 样本样本 ,若总体若总体 ,则则 的矩估计与极大似然估计相同的矩估计与极大似然估计相同;若若总体总体X X服从服从a,ba,b上的均匀分布上的均匀分布,则则a,ba,b的的矩估计与极大似然估计不同矩估计与极大似然估计不同.对于同一个对于同一个参数参数,用不同的估计方法得到的估计用不同的估计方法得到的估计,有有时相同时相同,有时不同有时不同.在不同时在不同时,哪一个估计哪一个估计量较好呢量较好呢?根据什么标准来选择一个较好根据什么标准来选择一个较好的估计量呢的估计量呢?下面就来解决这个问题下面就来解

2、决这个问题.nXXX,21),(2 NX2,无偏性的产生无偏性的产生:估计参数估计参数 的估计量的估计量 是样本的函数是样本的函数,它是一个随机变量它是一个随机变量,对于对于不同的样本不同的样本,样本值不同样本值不同,样本值不同样本值不同,估计值也就不同估计值也就不同.因此因此,首先希望估计量首先希望估计量 的取值范围包含的取值范围包含 .什么样的条件可什么样的条件可以达到这个要求呢以达到这个要求呢?可以保证可以保证 的取值范围包含的取值范围包含 ,这就产生了无偏估这就产生了无偏估计的思想计的思想.),(21nXXX )(E 无偏性无偏性:设设 是参数是参数 的的估计量估计量,若若 ,则称则称

3、 为为 的无偏的无偏估计量估计量.例例:总体总体X,X,样本为样本为 ,证明证明 分别是分别是 的无的无偏估计偏估计.),(21nXXX )(E )(,21XEXXXn )(2XD 2,SX2,niiiniiniiniiXXXXnXXnSXEXEnXnEXE12212211)2(11)(11)()(1)1()(:证证222222212222222222222212211211)()(11)()()(1)()()()()()()()()(11)2(11 nnnnnnnSEnXEXDnXEXDXEXEXDXEXDXEXnXnXnXXXnniiiiniiniinii 正态总体正态总体 的矩估计量极的

4、矩估计量极大似然估计量都是大似然估计量都是 但都不是无偏估计量但都不是无偏估计量.的矩估计量的矩估计量,极大似然估计量都是极大似然估计量都是 是是 的无偏估计量的无偏估计量 例例 设总体设总体X,X,样本为样本为 ,则则22),(NX niiXXnSnn122)(11 XX nXXX,21niiXXXXXXXXXXXXXii,2,1,3,2,21321321211 都是都是 的无偏估计的无偏估计 因为因为 对于参数对于参数 ,如果如果 都是都是 的无偏估的无偏估计量计量,我们希望估计量我们希望估计量 的取值集中在的取值集中在 的附近的附近,即希望即希望 越小越好越小越好,而而 这样就有了有效估

5、计的概念这样就有了有效估计的概念 )()()(1)()(2121iiiXEXEXEiiXXXEXE 21,2)(E)()()(22 DEEE 定义定义:设设 均为均为 的无偏估计量的无偏估计量,若若 ,则称则称 较较 有效有效.如如 i i越大越大,越小越小,因此在无偏估计量因此在无偏估计量 中中,最有效最有效.21,)()(21 DD 1 2 iXDXDXDiXXXDiiXXXDXDXEXEXEiiiii22122122121)()()(1)(1)()()(,)(,)()(iXDiXXXn 一致性一致性:定义定义:设设 为为 的估计量的估计量,若对任给的若对任给的 则称则称 为为 的一致估计

6、量的一致估计量.一致估计量的直观意义是当一致估计量的直观意义是当n n很大时很大时,与与 非常接近的可能性接近于非常接近的可能性接近于.的一致估计的一致估计是是有有则对任意正数则对任意正数独立同分布且独立同分布且设设uXuXPiXDXEuXXXniin 1lim,0,2,1),(),(,221 0 1|lim Pn 第四节第四节 区间估计区间估计 一一 置信区间置信区间 用用 来估计来估计 ，只是只是 的一个近似值，的一个近似值，有时还需知道用有时还需知道用 来估计来估计 有多大的误有多大的误差，即知道差，即知道 11|11|PPP和和中中的的 置信区间置信区间:设总体分布中仿含有未知参设总体

7、分布中仿含有未知参数数 ,若由样本确定的两个统计量若由样本确定的两个统计量 对于给定的对于给定的 ,满足满足 则称随机区间则称随机区间 为为 的置信度为的置信度为 的置信区间，的置信区间，分别称为置信下限，分别称为置信下限，置信上限。置信上限。),(),(2121nnXXXXXX 10,1P),(,1 置信区间的意义：置信区间的意义：统计量统计量 都是随机变量都是随机变量,它们的取值它们的取值依赖于样本值依赖于样本值 ,不同的样本不同的样本值值 ,得到不同的置信区间得到不同的置信区间,因此置信区间因此置信区间 不一定包含不一定包含 ,而而是以概率是以概率 包含包含 。1P ,nxxx,21nx

8、xx,21),(1 如如 ,则做则做100100次试验次试验,得到得到100100个样本个样本,100,100个样本就得到个样本就得到100100个置个置信区间信区间,这这100100个置信区间中约有个置信区间中约有9595个包含个包含 ,约有约有5 5个不包含个不包含),(;,),(;,),(;,100100,1002,1001,10022222211111211 nnnxxxxxxxxx 95.01 例例 某炼钢厂的钢水含碳量某炼钢厂的钢水含碳量X X在正常的情在正常的情况下服从正态分布况下服从正态分布 ,现测量五现测量五炉钢水含碳量，分别为炉钢水含碳量，分别为 4.28 4.40 4.4

9、2 4.35 4.374.28 4.40 4.42 4.35 4.37 求求 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间.解解 是是 的一个点估计的一个点估计,矩估计矩估计,极大似极大似然估计然估计,无偏估计无偏估计,并且有并且有)108.0,(2 N X)1,0()(NnX 于是有于是有 111)(1|)(|)(|2/2/2/2/2/2/2/2/nuXnuXPnuXnuPunXuPunXPunXP即即即即即即即即 所以所以 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为 1),(2/2/nuXnuX 459.45108.096.1364.4269.45108.096.1364.

10、4364.4)37.435.442.440.428.4(5196.1,05.0,95.01,108.0,52/2/2/nuxnuxxun 所以所以 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间为的置信区间为(4.269,4.459)(4.269,4.459)根据置信区间的含义根据置信区间的含义,的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间(4.269,4.459)(4.269,4.459)包含包含 的概率的概率为为0.95,0.95,换句话说换句话说,象这样求出来象这样求出来10001000个个置信区间中约有置信区间中约有950950个包含个包含 ,约有约有5050个个不包含不包

11、含 二二 均值均值 的置信区间的置信区间 设总体设总体 ,样本为样本为 1 1 已知时已知时,求求 的置信区间的置信区间),(2 NX2 nXXX,21 1|)(|)1,0()(),(),(2/2/2/22nuXnuXPunXPNnXnNXNX 所以所以 已知时已知时,的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为 2 2 未知时未知时,的置信区间的置信区间 2 1),(2/2/nuXnuX 2 )1(|)(|)1()(),(22 ntSnXPntSnXNX 未知未知 所以所以 未知时未知时,的置信度为的置信度为 的置的置信区间为信区间为 1)1()1(1)1()1(1)1(|)(|nSntX

12、nSntXPnSntXnSntPntSnXP2 1)1(,)1(nSntXnSntX 例例 对飞机的飞行速度进行五次独立试验对飞机的飞行速度进行五次独立试验,测行飞机的最大飞行速度测行飞机的最大飞行速度(米米/秒秒)如下如下:425.0 426.5 424.5 426.0 427.5425.0 426.5 424.5 426.0 427.5 飞机的最大飞行速度可以认为服从正态飞机的最大飞行速度可以认为服从正态分布分布 ,求平均最大飞行速度求平均最大飞行速度 的的置信度为置信度为0.950.95的置信区间的置信区间.解解:计算得计算得),(2 N 675.1,9.425,52 sxn 所以所以 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间为的置信区间为(424.29,427,51)(424.29,427,51)51.4275675.1776.29.425)1(29.4245675.1776.29.425)1(776.2)4()1(,05.0,95.0105.0 nsntxnsntxtnt