概率论36-典型例题课件.ppt

1、第第八八节节 典型例题典型例题第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.6 典型例题典型例题例3.6.1 同一品种的5个产品中，有2个正品，每次取出一个产品检验质量，不放回地抽取，连续2次，记 表示第 次取到正品，而 表示第 次取到次品，求 的联合分布律。(0)kX k(1)kX k(1,2)k 12(,)XX解解分析试验结果共由4个基本事件组成，相应概率为：12121121221(0,0)0 000.15423(0,1)0.35432(1,0)0.354P XXP XP XXP XXP XX第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布121232(1,1)0.354

2、(,)P XXXX故的联合分布律为：0100.10.310.30.3XY3.6 典型例题典型例题例3.6.2 两个随机变量 相互独立且同分布，,X Y11(1)(1);(1)(1)22P XP YP XP Y 则下列各式中成立的是（）。1()()2A P XY()()1B P XY1()(1)4D P XY 1()(0)4C P XY解解()(1,1)(1,1)P XYP XYP XY 1(1)(1)(1)(1)2P XP YP XP Y 正确选项为（A）。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布例3.6.3 将一枚硬币抛掷3次，以 表示3次中出现正面的次数，表示3次中出现正面次

3、数与出现背面次数之差的绝对值，试写出 与 的联合概率分布与边缘分布。并判断 与 是否独立？XYXYYX解解的可能取值为0,1,2,3，的可能取值为1,3。XY11(0,1)(0)(10)(0)()0;PP XYP XP YXP XP 3.6 典型例题典型例题12(0,3)(0)(30)1(0)();8PP XYP XP YXP XP 22(1,3)(1)(31)(1)()0;PP XYP XP YXP XP 31(2,1)(2)(12)3(2)();8PP XYP XP YXP XP 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布32(2,3)(2)(32)(2)()0;PP XYP

4、XP YXP XP 41(3,1)(3)(13)(3)()0;PP XYP XP YXP XP 423303(3,3)(3)(33)111(3)()()();228PP XYP XP YXP XPC 32321 10.08 4PP PXY与 不独立。3.6 典型例题典型例题 的联合概率分布和边缘分布如下表：,X Y（）1300102030XYipjp18383818183838181434/1,0,(,)()(/)0,XY Xyxf x yfx fy xx条件分布：其它.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布例3.6.4 设 为随机变量，求证 与 不相互独立。XXX证明证明 设

5、 的分布律为X12(2),(1);33P XP X 则 的分布律为X12(2),(1);33P XP X(2,1)()0;P XXP 而1 22(2)(1)0;3 39P XP X 故 与 不相互独立。XX3.6 典型例题典型例题例3.6.5 设两个随机变量 相互独立且服从同一分布，的分布律为 ，又设 试求二维随机变量 的概率分布和边缘分布，并判断 和 是否相互独立。解解,X YX1()(1,2,3)3P Xiimax(,)UX Ymin(,).VX Y(,)X YUV112(1,1)(max(,)1,min(,)1)11(1,1)();39pP UVPX YX YP XY12(1,2)(ma

6、x(,)1,min(,)2)0;pP UVPX YX Y13(1,3)(max(,)1,min(,)3)0;pP UVPX YX Y第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布212(2,1)(max(,)2,min(,)1)12(2,1)(1,2)2();39pP UVPX YX YP XYP XY222(2,2)(max(,)2,min(,)2)11(2,2)();39pP UVPX YX YP XY23(2,3)(max(,)2,min(,)3)0;pP UVPX YX Y312(3,1)(max(,)3,min(,)1)12(3,1)(1,3)2();39pP UVPX YX

7、 YP XYP XY3.6 典型例题典型例题322(3,2)(max(,)3,min(,)2)12(3,2)(2,3)2();39pP UVPX YX YP XYP XY332(3,3)(max(,)3,min(,)3)11(3,3)().39pP UVPX YX YP XY故 的概率分布及边缘分布如下：,X Y（）第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1231002031Uipjp19593919191929293959V1929因为 ，所以 与 不相互独立。222219pp pUV3.6 典型例题典型例题例3.6.6 设随机变量 相互独立,其中 的概率分布为 而 的概率密度

8、为 ，求随机变量 的概率密度 。解解,X YX120.30.7X Y()f yUXY()g u()()()(1)(1)(2)(2)0.3(1)0.7(2)0.3(1)0.7(2);UYYFuP UuP XYuP XP YuP XP YuP YuP YuF uF u所以()()0.3(1)0.7(2).U ug uFf uf u第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布例3.6.7 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，在 的条件下，随机变量 在区间 上服从均匀分布，求（1）随机变量 和 的联合概率密度；（2）的概率密度；（3）概率X(0,1)(01)XxxY(0,)xXYY(1).p

9、 XY解解/11,01,0,(1)()(/)0,0,XY Xxyxfxfy xx条件分布：其它.其它.3.6 典型例题典型例题/1,0,(,)()(/)0,XY Xyxf x yfx fy xx联合分布：其它.11201()(,)lnln,01()0,YyYyfyf x y dxdxyxyyfy（）当时，从而其它111123(1)(,)11 ln2x yxxP xyf x y dxdydxdyx （）第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布例3.6.8 设随机变量 相互独立,服从正态分布 服从 上的均匀分布，试求 的概率密度函数。计算结果用标准正态分布函数 表示，其中,X YXY2(,)N,ZXY221().2txxedt解解22()21(),21,()20,x uXYfxexyfy 因为其它.3.6 典型例题典型例题 又 相互独立，利用卷积公式考虑到 仅在上才有非零值，所以 的概率分布密度为,X Y()Yfy,Z222()221()()()2211()()222ZyZXYztzfZfZy fy dyedyZytzzedt 令，则上式右端等于