小学奥数公式汇总汇总(DOC 30页).doc
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1、奥数公式 和差倍问题: 和差问题 和倍问题 差倍问题 已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 公式适用范围 已知两个数的和,差,倍数关系 公式 (和差)2=较小数 较小数差=较大数 和较小数=较大数 (和差)2=较大数 较大数差=较小数 和较大数=较小数 和(倍数1)=小数小数倍数=大数 和小数=大数 差(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 小数差=大数 关键问题 求出同一条件下的 和与差 和与倍数 差与倍数 年龄问题的三个基本特征: 两个人的年龄差是不变的; 两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; 两个人的年龄的倍数是发生变化的; 归一问题的基本特点: 问题中有一个不变的
2、量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。 关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量; 植树问题: 基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数 棵距段数=总长 关键问题 确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系 鸡兔同笼问题: 基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置 换出来;基本思路: 假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): 假设后
3、,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; 每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; 再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。 基本公式: 把所有鸡假设成兔子:鸡数(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数) 把所有兔子假设成鸡:兔数(总脚数一鸡脚数总头数)(兔脚数一鸡脚数) 关键问题:找出总量的差与单位量的差。 盈亏问题: 基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于 分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量 基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参
4、加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量 基本题型: 一次有余数,另一次不足; 基本公式:总份数(余数不足数)两次每份数的差 当两次都有余数; 基本公式:总份数(较大余数一较小余数)两次每份数的差 当两次都不足; 基本公式:总份数(较大不足数一较小不足数)两次每份数的差 基本特点:对象总量和总的组数是不变的。 关键问题:确定对象总量和总的组数。 牛吃草问题: 基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点:原草量和新草生长速度是不变的; 关键问题:确定两个不变的量。 基本公式: 生长量=(
5、较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数)(长时间-短时间); 较长时间生长量;-较长时间长时间牛头数=总草量 周期循环与数表规律: 周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。 周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题:确定循环周期。 闰 年:一年有366天; 年份能被4整除;如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除; 平 年:一年有365天。 年份不能被4整除;如果年份能被100整除,但不能被400整除; 平均数: 基本公式:平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数 平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数 基本算法: 求出总
6、数量以及总份数,利用基本公式进行计算. 基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式 抽屉原理: 抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况: 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个
7、抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。 抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中nm,那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1个物体:当n不能被m整除时。 k=n/m个物体:当n能被m整除时。 理解知识点:X表示不超过X的最大整数。 ;2.9999=2;0.321=0;4.351=4例关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。 定义新运算: 基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。 基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律
8、进行运算。 关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项: 新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 数列求和: 等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。 基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示; 项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示; 公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示; 通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示; 数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示 基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就
9、可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。 基本公式:通项公式:an = a1+(n1)d; 通项首项(项数一1)公差; 数列和公式:sn,= (a1+ an)n2; 数列和(首项末项)项数2; 项数公式:n= (an+ a1)d1; 项数=(末项-首项)公差1; 公差公式:d =(ana1)(n1); 公差=(末项首项)(项数1); 关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式; 二进制及其应用: 十进制:用09十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。
10、 =An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100 注意:N0=;N=N(其中N是任意自然数) 二进制:用01两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。 2n-7 2n-5+An-62n-3+An-32n-4+An-4(2)= An2n-1+An-12n-2+An-220 21+A122+A2+A3+ 1。An不是0就是注意: 十进制化成二进制:然后把每次所0,2连续去除这个数,直到商为根据二进制满2进1的特点,用 得的余数按自下而上依次写出即可。n的n次方,再求它们的差,再找
11、不大于这个差的2的先找出不大于该数的2 ,按照二进制展开式特点即可写出。次方,依此方法一直找到差为0 加法乘法原理和几何计数: m种不同方法,在加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有1mnm那么完成第二类方法中有类方法中有种不同方法,在第种不同方法,n2. +mm+ m 种不同的方法。这件任务共有:n12 关键问题:确定工作的分类方法。 基本特征:每一种方法都可完成任务。mn种方法,不1个步骤进行,做第步有乘法原理:如果完成一件任务需要分成1n-1m步用哪种方法,种方法不管前面2管第1步用哪一种方法,第步总有2m.mm种不同的方n第步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:n12
12、 法。 关键问题:确定工作的完成步骤。 基本特征:每一步只能完成任务的一部分。 直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。 直线特点:没有端点,没有长度。 线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点:有两个端点,有长度。 射线:把直线的一端无限延长。 射线特点:只有一个端点;没有长度。数线段规律:总数1+2+3+(点数一1); 数角规律=1+2+3+(射线数一1); 数长方形规律:个数=长的线段数宽的线段数: 数长方形规律:个数=11+22+33+行数列数 质数与合数: 质数:一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。 合数:一个数除了1
13、和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。 质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 a、a、aa都是N= ,其中分解质因数的标准表示形式:n123aaaa。 N的质因数,且合数n231P=(r+1)(r+1)(r+1)(r+1) 求约数个数的公式:n213互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 约数与倍数: 约数和倍数:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。 公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约
14、数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质: 1、 几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。 4、 几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 例如:12的约数有1、2、3、4、6、12; 18的约数有:1、2、3、6、9、18; 那么12和18的公约数有:1、2、3、6; 那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本方法: 1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 2、短除
15、法:先找公有的约数,然后相乘。 3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的 最大公约数。公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 12的倍数有:12、24、36、48; 18的倍数有:18、36、54、72; 那么12和18的公倍数有:36、72、108; 那么12和18最小的公倍数是36,记作12,18=36; 最小公倍数的性质: 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法 数的整
16、除: 一、基本概念和符号: 1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“ ”;因为符号“”,所以的符号“”; 二、整除判断方法: 1. 能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除: 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 逐次去掉最后一
17、位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除: 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7. 能被13整除: 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 三、整除的性质: 1. 如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2. 如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。 3. 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
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