极值与最值课件.pptx
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- 极值 课件
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1、4.4 4.4 函数的极值与最大、最小值函数的极值与最大、最小值一、极值一、极值恒有恒有对于这邻域内的任何点对于这邻域内的任何点的一个邻域的一个邻域点点,若存在,若存在内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数,),(,),()(000 xxxbaxbaxf1、定义:、定义:极大值极大值;)()(,)()(的一个极大值的一个极大值是是称称成立成立)(xfxfxfxf00 1的一个极小值。的一个极小值。是是称称成立成立)()()(,)()(xfxfxfxf002极值是局部概念oxyab1x2x3x4x5x)(xfy )(),(21xfxf极小值极小值)(),(),(543xfxfxf统称为统称为极
2、值极值。是极值点是极值点54321xxxxx,是是驻驻点点或或者者不不可可导导点点。件件是是是是函函数数极极值值点点的的必必要要条条00 xx:例如例如,3xy ,是驻点是驻点0 x但但不不是是极极值值点点。;点点可可导导,一一定定有有在在、0)(100 xfxxf)()点不可导。点不可导。在在0 2xxf)()由费马定理的证明过程可知:由费马定理的证明过程可知:点取得极值,则有点取得极值,则有在在若若 0 xxf)(3231113)(,/xyxy,是不可导点是不可导点1x但但也也不不是是极极值值点点。2 2、极值的必要条件、极值的必要条件xyoxyo0 x0 x时时若若 100),()xxx
3、;0)(xf,)(0 xf的的极极大大值值点点。是是则则)(xfx0时时),(00 xxx时时若若 200),()xxx;0)(xf,)(0 xf的的极极小小值值点点。是是则则)(xfx0时时),(00 xxx增增减减增增减减3 3、极值的充分条件、极值的充分条件如:如:000122xxxxxf,),sin()(当当0 x时,时,)0()(fxf)1sin2(2xx 0 是是函函数数的的极极小小值值。)(0f但通过导数可看出:函数在但通过导数可看出:函数在0点的任何领域内都不单调。点的任何领域内都不单调。求极值步骤与求函数单调区间相同求极值步骤与求函数单调区间相同,只需增加极值计算。只需增加极
4、值计算。例例1 1、解:解:的的极极值值求求函函数数32223)()(xxxf333121221xxxxf)()(R函函数数定定义义域域是是233)(f极极小小值值 2(2)f极大值极大值)(xf)(xf),(3),(32,),(232 21xx,可疑点可疑点判定驻点是否极值点的特殊方法判定驻点是否极值点的特殊方法证:证:000 xxxfxfxx)(lim)(同号,同号,与与,据极限的保号性,据极限的保号性,若若 0 100 xxxfxf)()()(/;)(/00 xfxx时,时,当当同理可证同理可证(2)是是极极小小值值点点;0001xxf,)()(,则则有有处处二二阶阶可可导导,且且在在驻
5、驻点点定定理理:若若函函数数0 )(00)(xfxxf是是极极大大值值点点;0002xxf,)()(00)(/xf;)(/00 xfxx时,时,当当的的极极小小值值点点。是是函函数数)0 xfx(例例2 2、解解:.)(的极值的极值求函数求函数29323xxxxf9632xxxf)(,1321xx可疑点只有驻点可疑点只有驻点)(133xx,)(66 xxf0123)(f523)(f函数有极大值函数有极大值0121)(f71)(f函函数数有有极极小小值值注意注意:点点是是否否变变号号。在在方方法法失失效效,必必须须考考察察时时000 xxfxf)(,)(/4、极值小结、极值小结极值是函数的局部性
6、概念极值是函数的局部性概念:驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为可疑点可疑点:.极值点必定是可疑极值点必定是可疑点。点。判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)极大值可能小于极小值。极大值可能小于极小值。一、一、填空题:填空题:1 1、极值反映的是函数的极值反映的是函数的 _性质性质.2 2、若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导,则它在点可导,则它在点0 x处到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._.3 3、函 数函 数32)1(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _;31)1(23 xy的极值为的极值为_.
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