机械陀螺的力学基础课件.ppt

1、自动化学院自动化学院惯性系统的两个基本的组成部件：1.陀螺2.加速度计惯性技术中的许多问题可视为刚体绕定点的转动刚体绕定点的转动。所以，我们首先需要以力学知识为基础，在运动学上给予适当的描述。第二章 力学基础知识2.2惯性技术中常用的坐标系2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程2.1定点转动刚体角位置的表示方法2.1.1定点转动刚体的自由度自由度：确定物体在某坐标系中位置所需的独立坐标数目。一个物体在空间运动共有六个自由度，即3个位移自由度，3个转动自由度。陀螺的自由度：自转轴可绕其自由旋转的正交轴的数目。试给出下列陀螺的自由度数目：2.1定点转动刚体角

2、位置的表示方法2.1.2用方向余弦描述定点转动刚体的角位置2.1定点转动刚体角位置的表示方法xyzRijkxyzRR iR jR ki,j,k为单位矢量xRzRyR由图可得cos,cos,cos,xyzRRR xRRR yRRR z其中，空间矢量的分解2.1定点转动刚体角位置的表示方法0y1x0 x1y0z1zo空间坐标系 ，绕任一轴旋转一个角度后到达新的位置，即有新的坐标系 。将新坐标系三个坐标轴分别投影到原坐标系中的三轴上，即000 x y z11 1x y z101001001010100100101010010010cos,cos,cos,cos,cos,cos,cos,cos,cos

3、,xxx xyx yzx zyxy xyy yzy zzxz xyz yzz z2.1定点转动刚体角位置的表示方法进而，可化为矩阵形式：10101010110101001010101001000cos,cos,cos,cos,cos,cos,cos,cos,cos,x xxyx zxxyyxyyyzyzzzxzyzzxCyz 即称为由 坐标系到 坐标系的方向余弦矩阵。10C0y1x0 x1y0z1zo0 0 0 x y z11 1x y z2.1定点转动刚体角位置的表示方法方向余弦矩阵是 ，具有以下性质：1.两个方向余弦矩阵互为转置矩阵:2.两个方向余弦矩阵互为可逆矩阵:3.方向余弦矩阵的转置

4、阵与可逆阵相等:1001TCC11001CC11100TCC因而可以得到矩阵等式：111110000TCCCCI2.1定点转动刚体角位置的表示方法正交矩阵2.1.3用欧拉角描述定点转动刚体的位置刚体坐标系相对参考坐标系的角位置，可用三次独立转动的三个转角来确定，即欧拉法。这三个独立的转角即欧拉角。0000000cossin0sincos0001aaaaxxxyyCyzzz cos0sin010sin0cosbaabbaaabaaxxxyyCyzzzcossin0sincos0001rbbrrbbbrbbxxxyyCyzzz 第一种欧拉角2.1定点转动刚体角位置的表示方法最终得到0系与r系的坐标

5、转换关系：00000000rrbarrbarxxxyC C CyCyzzz最早的转动矩阵放在最右边0cos cos cossin sinsin cos coscos sinsin coscos cos sinsin cossin cos sincos cossin sincos sinsin sincosrC 具体表达式是0rC2.1定点转动刚体角位置的表示方法第二种欧拉角2.1定点转动刚体角位置的表示方法最终得到0系与r系的坐标转换关系：00000000rrbarrbarxxxyC C CyCyzzz最早的转动矩阵放在最右边0cos cossin sin coscos sinsin sinc

6、os sin coscos sincos cossin sin sincos sin sincos sinsinsin coscos cosrC 具体表达式是：0rC2.1定点转动刚体角位置的表示方法0111rC 第二章 力学基础知识2.1定点转动刚体角位置的表示方法2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4哥氏加速度、绝对加速度和比力方程2.2.1 惯性参考坐标系（i系）惯性坐标系即满足牛顿力学定律的坐标系，一般取地球球心为原点。2.2惯性技术中常用坐标系2.2.2地球坐标系（e系）原点在地心，z轴沿地轴方向，x、y轴在赤道平面内，x轴指向零度子午线，y轴指向东经90度。坐标系与地球固连

7、。2.2惯性技术中常用坐标系2.2.3地理坐标系（t系）原点位于载体在地球变面的位置点（或在地表的投影点），x轴沿当地指东，y轴指北。载体相对地球的运动会使地理坐标系相对地球坐标系转动，它包括两部分：1.地理坐标系相对地球坐标系的转动角速度；2.地球坐标系相对惯性坐标系的转动角速度。2.2惯性技术中常用坐标系2.2.4地平坐标系（n系）原点位于载体所在点，x、y轴在当地水平面内，y轴沿载体航向方向，z轴沿当地垂线向上。2.2惯性技术中常用坐标系2.2.5载体坐标系（b系）原点与载体质心重合，x轴沿载体横轴向右，y轴沿载体纵轴向前，z轴与之形成右手坐标系。2.2惯性技术中常用坐标系2.2.5 陀

8、螺坐标系第二章 力学基础知识2.1定点转动刚体角位置的表示方法2.2惯性技术中常用的坐标系2.4哥氏加速度、绝对加速度和比力方程2.3.1定点转动刚体的动量矩绕定点o转动的刚体内所有质点动量对o点之矩的和，称为刚体对该点的动量矩。iiiHrmv表达式为又因为故，iivr()iiiHrmr2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程刚体质点的 和 可在动坐标系下分解为irxyziiiiijkrx iy jz k同样地，动量矩在动坐标系下可分解为xxxxyyzxzyyyyzzxyxzzzzxxyzyHJJJHJJJHJJJ2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程222222()()()xiiiyiii

9、ziiiyziiizxiiixyiiiJm yzJm xzJm xyJm y zJm z xJm x y当动坐标系的各轴与刚体的惯性主轴重合时，刚体对各动坐标系的惯量积都等于零。此时，定点转动刚体动量矩表达式可简化为xxyyzzHJiJjJk2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.3.2动量矩定理将动量矩表达式对时间求一阶导数，iiiiiiiiidHdrmvdtdtdrdvmvrmdtdt等式最右边第一项为零。第二项表示外力对o点的力矩和，用 表示。故有d HMd t这就是矢量形式的动量矩定理：M2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程Hv动量矩定理表明：刚体对任一定点的动量矩对时间的导数

10、，等同于绕同一点作用于刚体的外力矩 。M注意：动量矩 的变化率是以惯性坐标系为参考系H动量矩定理另一种表达将 看成动量矩矢量端点的速度 ，即于是，动量矩定理又可写成定理表明：刚体对定点的动量矩的矢量速度 ，等于绕同一点作用于刚体的外力矩 。HvdHdtHdHvdtHvMM2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.3.3刚体定点转动的欧拉动力学方程刚体动量矩在动坐标系动坐标系中可表示为xyzHH iHjH k惯性系中动量矩对时间求导：动坐标系中动量矩对时间求导：xyziyxzxyzd HdHiHjHkd td td Hd Hd Hd id jd kijkHHHd td td td td td

11、tyxzrdHdHdHdHijkdtdtdtdt刚体定点转动的欧拉方程，实际即为动量矩定理在动坐标系中的表述。2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程容易看出;didjdkijkdtdtdt所以有xyzxyzxyzijkdidjdkHHHHdtdtdtHHH最后可以写出动量矩的绝对导数和相对导数的关系：irdHdHHdtdt根据动量矩定理，可得 rdHHMdt这就是矢量形式的欧拉动力学方程2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程沿动坐标系各轴投影，可以得到：xzyyzxyxzzxyzyxxyzdHHHMdtdHHHMdtdHHHMdt动系各轴与刚体惯性主轴重合时，进一步得到：xxzyyzxyy

12、xzzxyzzyxxyzdJJJMdtdJJJMdtdJJJMdt 2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程第二章 力学基础知识2.1定点转动刚体角位置的表示方法2.2惯性技术中常用的坐标系2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4.1哥氏（Coriolis）加速度产生分析2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程1、使相对速度方向改变的加速度：rV2、使牵连速度方向改变的加速度：（向心加速度）2r3、使牵连速度大小改变的加速度：rV2.4.1哥氏（Coriolis）加速度哥氏加速度是由于相对运动和牵连运动相互影响而形成的哥氏加速度一般表达式：2craV2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程2

13、.4.2绝对加速度的表达式（哥氏定理）由图，可以写出位置矢量方程0RRr在惯性系中，对时间求一阶导0iiidRdRdrdtdtdt其中ieiedrdrrdtdt所以，0ieieidRdRdrrdtdtdt2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程对时间再次求导，有2220222ieieieeiiieid Rdd Rd rdrdrrdtdtdtdtdtdt又因为ieieieieiedrdrrdtdt最终得到载体绝对加速度的表达式：22202222ieieieieeiieiirecd Rdd Rd rdrrrdtdtdtdtdtaaaa 2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程 当动点的牵连运动为转动时，动点的绝对加速度应等于相对加速度、牵连加速度与哥氏加速度的矢量和：2.4.3比力方程惯导系统中，加速度是由加速度计测量的。加速度计实际测量点不是载体的加速度，而是比力。其中，a为载体的绝对加速度，G为引力加速度。2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程faG222ieeed rdrfgdtdt对于一般精度的惯导系统，比力方程可改写为因为epepdvdvvdtdt比力方程可进一步写成2epiepdvfvgdt 其中，是有害加速度，导航计算需要的是载体相对地球的加速度 。2Bepieavg pdvdt2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程