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1、第三部分 行程问题 第一讲 行程基础 【专题知识点概述】行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离速度时间，时间距离速度，速度距离时间。在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.我们

2、已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：（1）速度时间=路程 可简记为：s = vt（2）路程速度=时间 可简记为：t = sv（3）路程时间=速度 可简记为：v = st显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 二、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间。【重点难点解析】1. 行程三要素之间的关系2平均速度的概念3注意观察运动过程中的不变量【竞赛考点挖掘】1.注意观察运动过程中的不变量【习题精讲】【例1】（难度等级 ）邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，

3、从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?【分析与解】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间：124+85=4.6(小时);邮递员返回到邮局共用时间：84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）4+（12+8）5+1=10

4、(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。【例2】（难度等级 ）甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.【分析与解】 马车从甲地到乙地需要10010=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶1004=25(千米)【例3】（难度等级 ）小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必

5、须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？（第六届小数报数学竞赛初赛题第1题）【分析与解】原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了2425=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走6006=100米。总路程就是=10030=3000米。【例4】（难度等级 ）韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？【分析与解】原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：48020=24（米/分），现

6、在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为24+16=40（米/分），那么现在上学所用的时间为：48040=12（分钟），7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校【例5】（难度等级 ）王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【分析与解】 假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300602=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间30050=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4（小时）.即

7、如果他想按时返回甲地,他应以3004=75（千米/时）的速度往回开【例6】（难度等级 ）刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？【分析与解】 这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有102=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因

8、为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是20（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是154=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60（12-7）=12（千米/时）【例7】（难度等级 ）小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？【分析与解】上山用了3时50分，即603+50=230（分），由230（30+10）=530，得到上山休息了5次，走了230-105=180

9、（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走了1802=90（分）.由9030=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+52=100（分）=1时40分.【例8】（难度等级 ）老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米时；从B到C为上山路，车速是22.5千米时；从C到D为下山路，车速是36千米时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？【分析与解】设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）（x22.5+2x36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无

10、关.因此共需要72302.4（时）【例9】（难度等级 ）汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。【分析与解】想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程总时间 ，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。把甲、乙两地的距离视为1千米，总时间为：172+148，平均速度=2（172+148）=57.6千米/时。 我们发现中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为72，4

11、8=144千米，这样计算时间时就好计算一些，平均速度=1442（14472+14448）=57.6千米/时。【例10】（难度等级 ）如图，从A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少?【分析与解】 从A到B的时间为：126=2（小时），从B到C的时间为：84=2（小时），从C到D的时间为：42=2（小时），从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时），总路程为：12+8+4=24（千米），那么从A到D 的平均速度为：246=4（千米/时）【例11】（

12、难度等级 ）有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为米/秒、米/秒和米/秒，求他过桥的平均速度。【分析与解】 假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米，那么总时间为：244+246+248=13（秒），过桥的平均速度为 （米/秒） 【例12】（难度等级 ）汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米时，要想来回的平均速度为48千米时，回来时的速度应为多少？【分析与解】 假设AB两地之间的距离为4802=240千米，那么总时间=48048=10（小时），回来时的速度=240（10-24040）=60（千米/时）

13、【例13】（难度等级 ）有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11米秒、22米秒和33米秒，求他过桥的平均速度.【分析与解】假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=6611+6622+6633=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66311=18（米/秒）【例14】（难度等级 ）一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？【分析与解】假设每条边长为200厘米，则总时间=20050+2

14、0020+20040=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200319=（厘米/分钟）.【例15】（难度等级 ）甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？【分析与解】全程的平均速度是每分钟（80+70）2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是300080=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟第二讲 相遇与追及 【专题知识点概述】在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数

15、量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.一、相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间=（甲的速度+乙的速度）相遇时间=速度和相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和相遇时间=路程和，即二、追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走

16、的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度追及时间-乙的速度追及时间=（甲的速度-乙的速度）追及时间=速度差追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差追及时间，即【重点难点解析】1直线上的相遇与追及2环线上的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1. 多人多次相遇与追及【习题精讲】【例1】（难度等级 ）一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？【分析与解】 （46+48）3.5=94

17、3.5=329（千米）【例2】（难度等级 ）两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？【分析与解】 255（45+40）=25585=3（小时）。453=135（千米）。403=120（千米）。【例3】（难度等级 ）两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？【分析与解】3300-（82+83）15（82+83）=3300-16515165=3300-2475165=825165=5（分钟）【例4】（难度等级 ）甲、乙

18、二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？【分析与解】 出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-105（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10（15-10）1052（小时）【例5】（难度等级 ）南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?【分析与解】 两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（5

19、0+60）5=550（千米）【例6】（难度等级 ）军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?【分析与解】 “我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=100010）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根

20、据公式求得追及时间.即（100010-600）（1470-1000）=（10000-600）470=9400470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰【例7】（难度等级 ）小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？【分析与解】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为205=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追

21、及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于46=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20564=6（米/秒），小红的速度为：6+4=10（米/秒）【例8】（难度等级 ）小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？【分析与解】爸爸要追及的路程：7012=840（米）,爸爸与小明的速度差：280-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：840210=4（分钟）【例

22、9】（难度等级 ）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【分析与解】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8324（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了41216（千米）.少骑行24-168（千米）.摩托车的速度是88=1（千米/分），爸

23、爸骑行16千米需要16分钟.881632.所以这时是8点32分。【例10】（难度等级 ）甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。【分析与解】 相遇后甲行驶了403=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是12060=2小时，则两地相距（40+60）2=200千米【例11】（难度等级 ）小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远? 【分

24、析与解】 因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。由（704）（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）18=2196（米）【例12】（难度等级 ）甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地?【分析与解】 由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程相遇后又行3时，剩下的路程之和108090（千米）应是两车共行431（时）的路程所以A，B两地的距离是（1

25、080）（43）4360（千米）。因为7时甲车比乙车共多行801070（千米），所以甲车每时比乙车多行 70710（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米行一个单程，乙车比甲车多用360403605097218（时）1时48分【例13】（难度等级 ）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.【分析与解】若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（2

26、6-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50（266）=1600（米）.所以，甲的速度为16002080（米/分），由此可求出A、B间的距离。50（26+6）（26-6）=50322080（米/分）（80+50）61306=780（米）【例14】（难度等级 ）小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离？【分析与解】画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？）离中点1千米的地方是A点，从图

27、上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2（5-4）2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5 4）218（千米）.【例15】（难度等级 ）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇求A、B两地间的距离？【分析与解】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即953=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：953-25=285-25=260(千米)