新疆2023届高三第三次适应性检测理科数学试卷+答案.pdf

1、新疆维吾尔自治区 2023 年普通高考第三次适应性检测 理科数学参考答案 第 1 页 共 5 页新疆维吾尔自治区 2023 年普通高考第三次适应性检测理科数学参考答案第卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.题 号123456789101112答 案ADDCBCACDCAB第卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.3435 14.2 15.358 16.2ln3-1三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)由 cos2A+2sin2B+C2=1 得 cos2A+2cos2A2=1,所以 2cos2A

2、-1+1+cosA=1,即 2cos2A+cosA-1=0,所以(2cosA-1)(cosA+1)=0,解得 cosA=12或 cosA=-1.又 A(0,),可得 A=3.6 分(2)由正弦定理得6sin3=2 2sinB,解得 sinB=1.因为 B(0,),所以 B=2.又因为 c=b2-a2=2,所以ABC 的面积 S=12 6 2=3.12 分18.解:(1)存在,当 B1C 为圆柱 OO1的母线时,BCAB1.证明如下:连接 BC,AC,B1C,因为 B1C 为圆柱 OO1的母线,所以 B1C平面 ABC,又因为 BC平面 ABC,所以 B1CBC.因为 AB 为圆 O 的直径,所

3、以 BCAC.BCAC,B1CBC,ACB1C=C,AC,B1C平面 AB1C,所以 BC平面 AB1C,因为 AB1平面 AB1C,所以 BCAB1.5 分新疆维吾尔自治区 2023 年普通高考第三次适应性检测 理科数学参考答案 第 2 页 共 5 页(2)以 O 为原点,OA,OO1分别为 y,z 轴,垂直于 y,z 轴的直线为 x轴建立空间直角坐标系,如图所示,则 A1(0,1,2),O1(0,0,2),B(0,-1,0),因为劣弧 A1B1的长为6,所以A1O1B1=6,B112,32,2(),O1B=(0,-1,-2),O1B1=12,32,0().设平面 O1BB1的法向量 m=(

4、x,y,z),则O1Bm=-y-2z=0,O1B1m=12x+32y=0,令 x=-3,解得 y=3,z=-32,所以 m=-3,3,-32().因为 x 轴垂直平面 A1O1B,所以平面 A1O1B 的一个法向量 n=(1,0,0).所以 cosm,n=-39+3+34=-25117,又二面角 A1-O1B-B1的平面角为锐角,故二面角 A1-O1B-B1的余弦值为25117.12 分19.解:(1)由题得 30010501500=210,所以应收集 210 位男生的样本数据.3 分(2)由频率分布直方图得 1-2(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生高考前平均每天睡眠时间超过

5、4 小时的概率估计值为 0.75.6 分(3)由(2)知,300 位学生中有 3000.75=225 人高考前日均睡眠时间超过 4 小时,75人的高考前日均睡眠时间不超过 4 小时,又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是关于女生的,所以高考前一周每日平均睡眠时间与性别列联表如下:男生女生总计高考前日均睡眠时间不超过 4 小时453075高考前日均睡眠时间超过 4 小时16560225总计21090300结合列联表可算 K2=300(4560-16530)275225210904.7620),因为 AB 与圆 x2+y2=3 相切,所以|m|3=3,所以 m=3.6 分由y=-2

6、x+3x24+y23=1 得 11x2-24 2x+24=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=24 211,x1x2=2411,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+2(24 211)2-42411=12 211.9 分又|AF2|=(x1-1)2+y21=(x1-1)2+3(1-x214)=14(x1-4)2=12(4-x1),同理|BF2|=12(4-x2),所以|AF2|+|BF2|=4-12(x1+x2)=4-1224 211=4-12 211.11 分所以AF2B 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4-12 211+12 211=4.

7、12 分21.解:(1)因为 g(x)=ax+(a+1)lnx-1x,所以 g(x)=a+a+1x+1x2=(x+1)(ax+1)x2(x0).当 a0 时,g(x)0,所以 g(x)在区间(0,+)上单调递增.当 a0,得 0 x-1a;令 g(x)-1a.所以 g(x)在区间 0,-1a()上单调递增,在区间-1a,+()上单调递减.5 分新疆维吾尔自治区 2023 年普通高考第三次适应性检测 理科数学参考答案 第 4 页 共 5 页(2)方程 f(x)=x2ex+xlnx-1,即 ax+alnx=xex,等价于 aln(xex)=xex.令 t=xex0,其中 x0,则 alnt=t,显

8、然 t1.令 g(t)=tlnt,则 g(t)=lnt-1ln2t,所以 g(t)在区间(0,1)上单调递减,且 g(t)e2x1x2,即证 x1ex1x2ex2e2,即证 t1t2e2,只需证 lnt1+lnt22.8 分因为t1=alnt1t2=alnt2,所以t1-t2=a(lnt1-lnt2)t1+t2=a(lnt1+lnt2),整理可得t1+t2t1-t2=lnt1+lnt2lnt1-lnt2.不妨设 t1t20,则只需证 lnt1+lnt2=t1+t2t1-t2lnt1t22,即 lnt1t22(t1-t2)t1+t2=2t1t2-1()t1t2+1.10 分令 s=t1t21,h

9、(s)=lns-2(s-1)s+1,其中 s1,因为 h(s)=1s-4(s+1)2=(s-1)2s(s+1)20,所以 h(s)在区间(1,+)上单调递增,所以 h(s)h(1)=0,故 ex1+x2e2x1x2.12 分新疆维吾尔自治区 2023 年普通高考第三次适应性检测 理科数学参考答案 第 5 页 共 5 页二选一试题22.解:(1)由 x=2-22t 得22t=2-x,代入 y=2+22t 得 C1的普通方程为 x+y-4=0.2 分由 2=43sin2+1得 32sin2+2=4,因为 2=x2+y2,y=sin,所以 C2的直角坐标方程为x24+y2=1.5 分(2)设曲线 C

10、2:x24+y2=1 上的任意一点的坐标为(2cos,sin),0,2),6 分则 M 到 C1的距离 d=|2cos+sin-4|2=|5sin(+)-4|2,7 分其中 sin=25=2 55,cos=15=55.8 分当 sin(+)=-1 时,M 到 C1的距离最大,此时+=32,=32-,cos=cos(32-)=-sin=-2 55,sin=sin(32-)=-cos=-55,故所求 M 的坐标为-4 55,-55().10 分 23.解:(1)由题意知 f(x)=-4x,x-14,1,-14x14,4x,x14,令 f(x)=4,得 x=-1 或 1.又 f(x)在区间(-,-14)上单调递减,在区间(14,+)上单调递增,故可知 f(x)4 的解集为x|-1x0,b0,所以令 m=a+22,n=b+11,则1m+4n=1,所以 a+b=m+n-3=(m+n)1m+4n()-3=5+4mn+nm()-35+24nmnm-3=(5+4)-3=6,当且仅当 m=3,n=6,即 a=1,b=5 时等号成立.10 分以上解法仅供参考,如有其他方法,酌情给分。