（一等奖教案）函数的单调性.docx

1、课题：函数的单调性【教学目标】1 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象 和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.2 通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生 观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生 的推理论证能力.3 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思 维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.【教学手段】计算机、

2、投影仪.【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的 7月25日推迟 到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国 际体育赛事下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：（1）当天的最高温度、最低温度以及何时达到； 在某时刻的温度；（3

3、）某些时段温度升高，某些时段温度降低在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我 们的生活是很有帮助的.问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小. 设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣.二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识, 但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义1. 借助图象，直观感知冋题1:分别作出函数y=x 2, y = -x 2, y = x2, y =丄的图象，并且观察x自变量变

4、化时，函数值有什么变化规律？预案:（1）函数y=x，2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y = -x 2 在整个定义域内y随x的增大而减小.函数y = x2在0,r）上y随x的增大而增大，在,0）上y随x的增大而 减小.（3）函数y=l在（0二）上y随x的增大而减小，在（-二,0）上y随x的增大而x减小.引导学生进行分类描述（增函数、减函数）.同时明确函数的单调性是对定 义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数 f(x)在某个

5、区间上随自变量 x的增 大，y越来越小，我们说函数f (x)在该区间上为减函数.教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述 性的认识.设计意图F从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的 第一次认识 2 探究规律，理性认识问题1下图是函数间为增函数和减函数吗？x -(x . 0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时 不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.设计意图使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题2:如何从解析式的角度说明f(x)=x

6、2在0：)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2,因为1222,所以f(x) = x2 在0, ：)为增函数.(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f(x) =x2在0/：)为增函数. 2 2 任取 Xi,X2，0, F),且 Xi ： X2 ,因为 Xi - X2 =(Xi X2)(Xi - X2)： 0 ,即 x12 : X22，所以 f(x)=x2在0, ：)为增函数.对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量xi,x2.设计意图把对单调性的认识由感性上升到理性认

7、识的高度,完成对概念 的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3.抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.(i)板书定义(2)巩固概念判断题： 已知f(x)=丄,因为f(-1) ： f(2),所以函数f(x)是增函数.x 若函数f(x)满足f:f(3),则函数f(x)在区间2,3上为增函数. 若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，贝U函数f(x)在区间(1,3)上 为增函数.11 因为函数f(x)在区间(-：,0)和(0,=)上都是减函数，所以f(x) 在

8、xx(-：,0)(0, ：)上是减函数.通过判断题，强调三点： 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. 对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数). 函数在定义域内的两个区间 AB上都是增(或减)函数，一般不能认为函 数在A B上是增(或减)函数.思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？设计意图让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义， 通 过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展例证明函数f(x)=x，2在(、.

9、2,=)上是增函数.x1. 分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.证明：任取为，x2(1. 2,二),且x1 0成立；对直 线左下方的点（x , y），x + y - 1X0,y = y,是简单机械地从一个人迁移到另所以，x + yAX0+y。，|&0,丫0)(X,y)一个人，而是基解决x+y-1 ax。+y -1=0, 于对个人经验的即 x+y10。o* x所以，对于直线x + y1=0x + y -仁0操作、交流，通 过反省来主动建 构的。也就是说右上方的任意点（x , y）， x + y-10都成立.问同理，对于直线x + y 1 =0左下方的任意点（x , y）， x

10、 + y -1 0都成立.学生不只是模仿 和接受教师的策题所以，在平面直角坐标系中， 直线x*y-1-0右上方的平面略和思维方式，区域可以用以二兀一次不等式x + y -10的解为坐标的点的他们要用自己现9集合x, y） | x + y -1 a来表示。学生B的证明思路：有的知识去过滤 和解释新的信 白证明：在直线丨右上方任取一点（x , y）,过此点息、。作垂直于x轴的直线x=x。与直线丨交于点P（Xo, yo），此时有（2）由于不同的 人对同一问题有 不同的体验和理 解，人们可以通x = X。，y y。，x 十 y X。+ y。，过交流和协作相y + z 、扌(x,y)b.P(X0,y。)

11、以下解答同思路A。xx + y - i=0类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x + yi0的解为坐标的点的集合(x,y)|x+yi0表示直线哪一侧的平面区域。（同侧同号）概括地说，即为画二元一次不等式表示的平面区域的方法为“直线定界，特殊点定域”。特别地，当C = 0时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”。例 题 示 范12【教师】投影例题和变式练习，并作讲解和讨论。 例1画出不等式2x +y 6 3所表示的平面区域。（该不等式有点特殊，能否将一般问题特殊化）变式三：不等式2x y 6 0例2画出不等式组| x + y 0 表示的平面区域。x 3分析：不等式组表示的平面区域

12、是各个不等式所表示的平面点集 的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 变式一：画出不等式（x+y） （x y）w 0表示的平面区域。 电脑演示：打开新华社网站，浏览上面一则关于2003年江苏高考出现错题风波的新闻报道。然后引导学生对此题是否是错题作出自己的判断，引出变式二：（03江苏高考）如果函数y =ax2 bx a的图象与x轴 有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为bbO(A)(B)aa为五个小步来进 行，目的是为了 分散难点，层层 递进，突出重点。 在学生独立探索 的基础上，教师 应适时地集中， 把学生的猜想、 结论加以概括、 系统化，使全班 学生都

13、统一到正 确的认识上来。 这样，可以尽量 地创造条件，给 学生能有充分发 表意见的“自 护，以培养学生 的“创新”意识。（1 ）例1及变式 题，主要训练学 生熟悉解决二元 一次不等式表示 平面区域问题的 步骤与方法。（2）例2及变式 题，主要训练学 生理解二元一次不等式组表示平 面区域。（3）变式二是 2003年江苏高考 数学试题，媒体示范曾经盛传这道高 考试题是错题的 报道，此题的设 置一方面是为了 深化对二元一次 不等式组表示平 面区域知识的理 解，另一方面学 生从解咼考题中 能品尝到成功的 喜悦，以及对这 道题是否是错题 作出判断，培养 学生独立思考， 敢于挑战的科学 精神。1、画出下列

14、不等式表示的平面区域（课本练习）：（1 ）练习1、2(1)x y +10(3) 2x +5y0重在检查学生对针2、画出下列不等式所表示的平面区域（课本练习）：二兀一次不等式y 0表示的平面区域内，试确疋点P的坐标。5、预习第二课时。学生以主动思考 的空间，提高学 生综合素质。使 学生感到数学研 究不仅仅是数学 家的事，每个人 都可以研究，生 活中处处都有数 学。研究性题综 合性大，主要是 用于拓宽学生思 维。板 书 设 计课题： 7.4.11、用二元一次不等 式表示平面区域2、判断方法： 注意事项例一例二练习1练习2练习3练习4 学生板演反映教材的知识 体系，符合总的 教学目的，体现 教学意图

15、，注意 教材的特点和学 生的实际，渗透 了教法。七、教学评价的分析1、这节课安排了导入新课、尝试探求、例题示范、变式训练、总结和作业等几个教学 环节。它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探求，从而实现教学目的的要求，完成 教学任务的一种教学方法。2、这节课是有一定的难度的概念作图课。设计这堂课，从开始到结束几乎所有的教学环节，都是围绕集合、化归、数形结合的数学思想方法这一主题来展开的。这是因为用集合 的观点和语言分析来描述几何图形问题，常能使问题更加清楚、准确。本教案充分注意了运用这种观点和语言去分析直线和二元一次不等式（组）所表示的平面区域。3、着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的

16、能力是设计这堂课的出发点。教学中注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场 所。在整个教学过程的设计中，采用启导法，题组教学法等教学方法实施教学，注重引导学 生，通过探索，有利于培养学生的创新能力，体现教育改革的时代精神。4、 教学中采用多媒体的手段，利用Flash、几何画板软件制作 CAI课件，画面丰富生 动，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结构。5、 时间大致安排：创设情境引入课题约3分钟，尝试探求证明约 9分钟，例题示范约 12分钟，题组练习约18分钟，小结作业3分钟。当然，依据上课的具体情况可进行适当的 调整。谢谢指导二元一次不等式表示平面区域1