（中小学资料）九年级数学上册-第三章-圆的基本性质-微专题-垂径定理有关的辅助线随堂练习(含解析)(新版.doc

1、微专题_垂径定理有关的辅助线一连半径构造直角三角形(教材P78作业题第2题)如图1，在O中，半径OCAB于点D.已知O的半径为2，AB3，求DC的长(精确到0.01) 图1教材母题答图解：如答图，连结OA.OCAB，ADAB3，OD，DCOCOD20.68.【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解2017呼和浩特如图2，CD为O的直径，弦ABCD，垂足为M，若AB12，OMMD58，则O的周长为(B)A26 B13C. D. 图2 变形1答图【解析】 如答图，连结OA，设OM5x，MD8x，OAOD13x，又AB12，由垂径

2、定理可得AM6，在RtAOM中，(5x)262(13x)2，解得x，半径OA，根据周长公式C2r，O的周长为13.如图3，已知O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短的弦长为(C)图3A4 B6 C8 D10已知O的直径CD10 cm，AB是O的弦，AB8 cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为(C)A2 cm B4 cmC2 cm或4 cm D2 cm或4 cm【解析】 如答图，连结AC，AO.O的直径CD10 cm，ABCD，AB8 cm，AMAB84(cm)，ODOC5 cm.当点C位置如答图所示时，OA5 cm，AM4 cm，ABCD，OM3(cm)，CMOCO

3、M538(cm)，AC4(cm)；变形3答图当点C位置如答图所示时，同理可得OM3 cm，OC5 cm，MC532(cm)在RtAMC中，AC2(cm)故选C.如图4，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为(B)A.a B.aC(1)a D(2)a【解析】 从题目中很容易看出桌布刚好覆盖正方形桌子的桌面，桌子的边长为a，用直径a减去桌子的边长刚好为2x的长度，xa.故选B. 图4 图5如图5，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB120 mm，C是上的一点，OCAB，垂足为D，CD20 mm，则原轮片的半径是_100_m

4、m.如图6是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2 m，净高CD为5 m，则圆拱形门所在圆的半径为_2.6_m. 图6 变形6答图【解析】 如答图，连结OA.在RtOAD中，ADAB1(m)设O的半径为R(m)，则OAOCR(m)，OD(5R) m，由勾股定理，得OA2OD2AD2，即R2(5R)212，解得R2.6.如图7，O是ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高线AD上，AB10，BC12，求O的半径 图7 变形7答图解：如答图，连结OB.AD是ABC的高线，ABC外接圆的圆心在AD上，BDBC6.在RtABD中，AD8.设圆的半径是R，则OD8R.在RtOBD中，由勾股定理，得R236

5、(8R)2，解得R.即O的半径为.二作圆心到弦的垂线巧解题(教材P78作业题第6题)已知：如图8，在O中，弦ABCD.求证：. 图8教材母题答图证明：如答图，过点O作OEAB，交O于点E，ABCD，OECD，则，即.【思想方法】 当圆中出现弦时，通常作圆心到弦的垂线，或再连半径构造直角三角形，可通过垂径定理或勾股定理解题如图9，矩形ABCD与O相交于点M，N，F，E，若AM2，DE1，EF8，则MN的长为(C)A2 B4 C6 D8 图9 变形1答图【解析】 如答图，过点O作OHAB于点H，交CD于点G，则MHHN，EGGF，四边形ADGH是矩形，AHDG.EGEF4，DGDEEG145，AH

6、5.又AHAMMH2MH5，MH3，则MN2MH236.故选C.2017金华如图10，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(C)A10 cm B16 cmC24 cm D26 cm 图10 变形2答图【解析】 如答图，在RtOCB中，OC5 cm，OB13 cm，根据勾股定理，得BC12(cm)AB2BC24(cm)2017西宁如图11，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，AP 2，BP 6，APC30.则CD的长为(C)A. B2 C2 D8图11变形3答图【解析】 如答图，作OHCD于H，连结OC，OHCD，HCHD，AP2，BP6，AB8，OA

7、4，OPOAAP2，在RtOPH中，OPH30，OHOP1，在RtOHC中，OC4，OH1，CH，CD2CH2.如图12，O的弦AB，CD反向延长交于点P，ABCD.求证：OP平分BPD. 图12 变形4答图证明：如答图，连结OB，OD，过点O作OMAB于点M，ONCD于点N，则由垂径定理，得BMAB，DNCD.又ABCD，BMDN.由勾股定理，得OM2OB2BM2，ON2OD2DN2.OBOD，BMDN，OMON.又OMAB，ONCD，OP平分BPD.如图13，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位下水面宽AB60 m，水面到拱顶距离CD18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由 图13 变形5答图解：不需要采取紧急措施理由：设OAR(m)，在RtAOC中，ACAB30(m)，OC(R18) m.由勾股定理，得OA2AC2OC2，即R2302(R18)2，解得R34.如答图，连结OM，设DEx(m)在RtMOE中，MEMN16(m)，OE(34x)m.由勾股定理，得OM2ME2OE2，即342162(34x)2，解得x14，x264(不合题意，舍去)，DE4 m.43.5，不需要采取紧急措施