（压轴卷）高中必修二数学下期中试卷含答案.doc

1、【压轴卷】高中必修二数学下期中试卷含答案一、选择题1在长方体中，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）ABCD2已知三棱锥中，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）ABCD3已知，是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则4中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD5已知正四面体中，为棱的中点，设是（含边界）内的点，若点到平面，平面，平面的距离相等，则符合条件的点（ ）A仅有一个B有有限多个C有无限多个D不存在6已知直线在

2、两坐标轴上的截距相等，则实数A1BC或1D2或17在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD8如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )ABCD9已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是 ( )ABCD10已知是圆内过点的最短弦，则等于（ ）ABCD11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=则下列结论中正确的个数为ACBE； EF平面ABCD； 三棱锥ABEF的体积为定值； 的面积与的面积相等，A

3、4B3C2D112如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A64BC16D二、填空题13如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，设，则的取值范围是_14已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_15如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_16在三棱锥中,平面，则三棱锥的外接球的表面积为_17过点且与直线垂直的直线方程为_18已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径

4、为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_19已知正方体的棱长为，点是棱的中点，则点到平面的距离为_.20圆上的点到直线的距离的最小值是 三、解答题21如图（1）在等腰直角三角形中，将沿中位线翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角的大小为.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.22在三棱柱中，侧面底面，且点为中点.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.23如图，是边长为3的正方形，平面，平面，.（1）证明：平面平面；（2）在上是否存在一点，使平面将几何体分成上下两部分的体积比为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.24如图所示，

5、已知四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是的中点（1）证明：平面；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的正切值25求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线和的交点，且平行于直线；（2）经过两条直线和的交点，且垂直于直线.26设直线的方程为.(1)求证:不论为何值，直线必过一定点;(2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，当而积最小时，求的周长;(3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.

6、【详解】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥的外接长方体，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥的外接长方体，如下图所示：设，则，上述三个等式相加得，所以，该长方体的体对角线长为，则其外接球的半

7、径为，因此，此球的体积为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.3C解析：C【解析】由题设， 则A. 若，则，错误；B. 若，则错误；D. 若，当 时不能得到，错误.故选C.4C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥的图像，根据四个面都为直角三角形和平面，可知中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由计算即得.【详解】三棱锥如图所示，由于四个面都为直角三角形，则是直角三角形，且，又平面，且是直角三角形，球的直径，则球的表面积.故选：【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常

8、考题型.5A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面，平面，平面的距离相等的点的轨迹，与所在平面的公共部分即符合条件的点.【详解】在正四面体中，取正三角形中心，连接，根据正四面体的对称性，线段上任一点到平面，平面，平面的距离相等，到平面，平面，平面的距离相等的点都在所在直线上，与所在平面相交且交于内部，所以符合题意的点只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.6D解析：D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案【详解】由题意，当，即时

9、，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或故选：D【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7C解析：C【解析】【分析】首先确定三角形为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积【详解】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角

10、形所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用8A解析：A【解析】【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案【详解】对于B项，如图所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB平面MNQ.故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题9D解析：D【解析】设直线l的倾斜角为0,).点A(1,2),

11、B(,0).直线l:axy1=0(a0)经过定点P(0,1).点(1,2)和(,0)在直线l:axy1=0(a0)的两侧，kPAakPB,1tan，tan0.解得.本题选择D选项.10D解析：D【解析】【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可【详解】圆的标准方程为（x3）2+（y+1）210，则圆心坐标为C（3，1），半径为 ，过E的最短弦满足E恰好为C在弦上垂足，则CE，则|AB|，故选D【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题11B解析：B【解析】试题分析：中ACBE，由题意及图形知，AC面DD1B1B，故可得出ACBE，此

12、命题正确；EF平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF平面ABCD，此命题正确；三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积相等不正确考点：1正方体的结构特点；2空间线面垂直平行的判定与性质12D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥为棱长为的正方体一部分，直观图如图所示：是棱的中点，由正方体的性质得，平面的面积

13、，所以该多面体的体积，故选D.二、填空题13【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件解析：【解析】当位于的中点，点与中点重合，随点到点，由，得平面，则又，则因为，所以，故综上，的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.14相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径

14、则即两个解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，即，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，即两个圆相交故答案为：相交【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键15【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常解析：【解析】设球半径为，则故答案为点睛

15、:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解16【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球解析：【解析】【分析】以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】由题意，在三棱锥中，平面，以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥

16、的外接球，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为.【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.17【解析】【分析】因为直线l与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所解析：【解析】【分析】因为直线l与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l的斜率，然后根据（-

17、1，2）和求出的斜率写出直线l的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为 ，所以直线l的斜率为 ，则直线l的方程为： ，化简得.即答案为【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题18【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得如图所示PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径且设正方体棱长为a则由得所以因为球心到平面ABC的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的解析：【解析】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示，PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且,设正方体棱长为a，则，由，得，所

18、以，因为球心到平面ABC的距离为.考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力19【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角解析：【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离，过作，交于，证得平面，利用等面积法求得点到平面的距离，也即点到平面的距离.【详解】由于是的中点，故点到平面的距离等价于点到平面的距离，过作，交于，由于，故平面.在直角三角形中，所以,解得.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，

19、考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.204【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析：4【解析】试题分析：圆的圆心为，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系三、解答题21（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明，平面，可得平面，由面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）取的中点，所以，由（1）可知平面平面，所以平面，所以以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）由题意可知为的中位线，所以，因为，所以，

20、所以，因为图（2）所示的空间图形是由沿中位线翻折得到的，所以，又，所以平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）由（1）可知二面角的平面角即为，所以，因为，所以为等边三角形，如图取的中点，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设图1等腰直角中，则图2中，则，所以，设平面的法向量为，所以有，即，取，设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理以及空间中直线与平面所成角的求法，解题时要会用法向量求线面角.22（1）证明见解析；（2）1.【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形的性质可

21、得，利用面面垂直的性质可得平面，根据线面垂直的性质可得结论；（2）先证明平面，可得到平面的距离等于到平面的距离，利用等积变换及棱锥的体积公式可得 .试题解析：（1），且为的中点.又平面平面，平面平面，且平面，平面.平面，.（2），平面，平面，平面.即到平面的距离等于到平面的距离.由（1）知平面且.三棱锥的体积： .23（1）见解析（2）存在点且满足条件.【解析】试题分析：（1）根据，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点，过作交于，连接，设，求得几何体的体积，将其分割成两个三棱锥，利用表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得的值.试题解

22、析：解：（1）平面，平面，平面，是正方形，平面，平面，平面，平面平面.（2）假设存在一点，过作交于，连接，设，则，设到的距离为，则，解得，即存在点且满足条件.点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出的位置的值.24(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)由面可知，又可证，根据线面垂直的判定即可证明 (2) 取中点，作于，连，可证是二面

23、角的平面角，解三角形即可求解.【详解】（1）面，面，；又底面为菱形，为中点，面； （2）面，是与面所成角，时，最小，最大，最大，令，则，在中，在中，面，面面，且交线为，取中点，正中，面，作于，连，由三垂线定理得，是二面角的平面角.在中，边上的高，【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题.25（1）（2）【解析】【分析】【详解】得即两直线交点坐标为. 所求直线与已知直线平行.设直线方程；将交点坐标代入直线方程，解得.直线. （2）联立两直线方程得即两直线交点坐标为. 所求直线与已知直线垂直.设直线方程；将交点坐标代入直线方程，解得.直线.26(1)证明见解析；(2) ；(3) ，【解析】【分析】(1)将原式变形为，由可得直线必过一定点；(2)由题可得，则，求出最值，并找到最值的条件，进而可得的周长；(3) ，均为整数，变形得，只要是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出，进而可得直线的方程.【详解】解：(1)由得，则，解得，所以不论为何值，直线必过一定点；(2)由得，当时，当时，又由，得，当且仅当，即时，取等号.，的周长为；(3) 直线在两坐标轴上的截距均为整数，即，均为整数，又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，所以直线的方程为，.【点睛】本题考查直线恒过定点问题，考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值，是中档题.