（北师大版）选修4-4数学：第2章《极坐标系的概念》学案(含答案).doc

1、 2极坐标系2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化1掌握极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)2理解广义极坐标下点的极坐标(，)与点之间的多对一的对应关系3已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化1极坐标系的概念(1)极坐标系的建立如图，在平面内取一个定点O，叫作_，从点O引一条射线Ox，叫作_，选定一个_和_的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称为_(2)点的极坐标的规定如图，对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角，叫作点M的_，叫作点M的_，有序实数对(，)叫作点M的_，记

2、作M_.当点M在极点时，它的极径_，极角可以取_为了研究问题方便，极径也允许取负值当0时，点M(，)的位置可以按下列规则确定：作射线OP，使xOP，在OP的_上取一点M，使|OM|，这样点M的坐标就是(，)，如下图：【做一做11】在极坐标系中，与点重合的点是()A BC D【做一做12】在极坐标系中，与(，)关于极轴对称的点是()A(，) B(，)C(，) D(，)2点的极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为_，x轴的正半轴作为_，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的_(2)互化公式如上图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x

3、，y)，极坐标是(，)如果限定取正值，0,2)，那么除_外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的点M的极坐标(，)化为直角坐标(x，y)的公式是点M的直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的公式是【做一做21】点M的极坐标为，化成直角坐标形式是_【做一做22】点A的极坐标为，化成直角坐标形式是_【做一做23】点P的直角坐标为(，)，化成极径是正值，极角在0到2之间的极坐标为_1建立极坐标系的意义剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极

4、坐标系的基本思想)这两个量来刻画在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x与y之间的关系很难确定，可是它的极坐标与却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程总之，使用极坐标是人们生产生活的需要平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采

5、用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法2极坐标系下点与它的极坐标对应情况剖析：(1)给定点(，)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M；(2)给定平面上一点M，却有无数个极坐标与之对应原因在于极角有无数个答案：1(1)极点极轴单位长度角极坐标系(2)极径极角极坐标(，)0任意值反向延长线【做一做11】A当kZ时，(，)，(，2k)，(，(2k1)表示同一个点因为2，所以点与表示同一个点，即重合【做一做12】B极径为，极角为，关于极轴对称的角为负角，故所求的点为(，)2(1)极点极轴单位长度(2)原点cos sin x2y2(x0)【做一做21】x5cos，y5sin.所以点M的直角坐标为

6、.【做一做22】(1，)因为点A的极坐标又可以写成，所以xcos 2cos21，ysin 2sin2.所以点A的直角坐标为(1，)【做一做23】2，tan ，又点P在第一象限，得，因此点P的极坐标是.题型一 极坐标系中点的表示【例1】已知点M的极坐标为，下列给出的四个坐标中能表示点M的坐标的是()A BC D反思：在极坐标系中，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点特别注意，极点O的坐标为(0，)(其中可以取任意值)这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示题型二 对称性问题【例2】在极坐标系中，点A的极坐标为.(限定0，02)(1)点

7、A关于极轴对称的点的极坐标是_；(2)点A关于极点对称的点的极坐标是_；(3)点A关于直线对称的点的极坐标是_反思：在极坐标系中，点(，)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为(，2k)(kZ)，关于直线对称的点的极坐标为(，2k)(kZ)，关于极点对称的点的极坐标为(，2k)(kZ)题型三 点的极坐标与直角坐标的互化【例3】(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，)化成极坐标(0,02)分析：本题考查的是直角坐标与极坐标的互化公式的应用反思：由直角坐标化成极坐标时，算出tan ，仅根据02，只能得出或，要确定极角，需再根据点所在的象限来判断答案：【例1】D与点M终边相同的极坐

8、标可以表示为(kZ)，即极径相等，极角相差2的整数倍根据选项，当k1时，2k2，即能表示点M.【例2】(1)(2)(3)通过作图可求解【例3】解：(1)x8cos4，y8sin4，因此点M的直角坐标是(4,4)(2)2，tan ，又因为点P在第四象限，故.因此点P的极坐标为.1在极坐标系中与点A(3，)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是()A B C D2在极坐标系中，确定点的位置，下面方法正确的是()A作射线OP，使，再在射线OP上取点M，使|OM|2B作射线OP，使，再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM|2C作射线OP，使，再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM|2D作射线OP

9、，使，再在射线OP上取点M，使|OM|23点M的极坐标为，化为直角坐标为_4将下列各点由直角坐标化为极径是正值，极角在0到2之间的极坐标(1)；(2)答案：1B极坐标系中的点(，)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(，2k)(kZ)，利用这个规律即可判断之与点A关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为(kZ)，这时只有选项B满足条件2B本题涉及到极径为负值时的坐标表示当0时，表示点(，)的方法如下：作射线OP，使xOP.在OP反向延长线上取一点M，使|OM|，故B项正确3(2，2)xcos 4cos42，ysin 4sin42，M(2，2)4解：(1)2，tan ，又点(3，)在第一象限，所以.所以点(3，)的极坐标为.(2)4，tan，又点(2，2)在第三象限，所以.所以点(2，2)的极坐标为.