（北师大版）高中数学必修五期末试卷(含答案).doc

1、一、选择题1若正数，满足，则的最小值为（ ）A2B4C6D82设x，y满足约束条件，且的最大值为1，则的最小值为（ ）A64B81C100D1213已知实数满足条件，则的最大值是（ ）ABCD4已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）ABCD5在中，内角，所对的边分别为，已知，且，则（ ）A1BC1或D6我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用

2、圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（ ）ABCD7在直角梯形中，则（ ）ABCD8已知中，则ABC一定是A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形9已知函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）A0BnCD10已知是公比为整数的等比数列，设，且，记数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）A11B10C9D811已知1，7成等差数列，1，8成等比数列，点，则直线的方程是（ ）ABCD12公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，从第二项起每一项都可以

3、用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A153B190C231D276二、填空题13已知，且.式子的最小值是_.14一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西方向上，另一灯塔在南偏西方向上，则该船的速度是_海里/小时.15在中，D是BC的中点.若，则的最大值为_.16在锐角中，内角、的对边分别是，若，则的取值范围是_.17已知，且，则的最小值为_.18若实数x，y满足约束条件，则的最小值为_19已知数列的前n项和为，点在的图像上，数列通项为_.20已知数列的首项，且满足（

4、），则的前n项和_.三、解答题21某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？22如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米（1）求矩形所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？23将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图

5、象.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）在中，内角的对边分别为，若，求的面积.24如图，在平面四边形ABCD中，ADCD， BAD=，2AB=BD=4.（1）求cosADB；（2）若BC=，求CD.25给出以下三个条件：，；，；数列的前项和为.请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解.设数列的前项和为，_.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【分析】由，对乘以，构造均值不等式求最值 .【详解】，

6、当且仅当，即时，等号成立，.故选：D【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”(1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域2D解析：D【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得的关系式，然后用“1”的代换，配凑

7、出积为定值，用基本不等式得最小值【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，内部（含边界），作直线直线 ，中，由于，是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线经过点时，取得最大值，则，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为121故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值解题思路是利用简单的线性规划求得变量满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错3C解析：C【分析】画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线的截距要最大，结合可行域可知

8、当直线过点时截距最大，因此，解出点坐标，代入目标函数，即可得到最大值.【详解】画出满足约束条件的目标区域，如图所示:由,得，要使最大，则直线的截距要最大，由图可知,当直线过点时截距最大，联立,解得，所以的最大值为：，故选:：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4C解析：C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点取得最大值，在点取得最小值.由图可知

9、，当时，当时，故取值范围是.考点：线性规划.5C解析：C【分析】由题意得，分和两种情况求解，可得结果【详解】，当时，为直角三角形，且，当时，则有，由正弦定理得由余弦定理得，即，解得综上可得，1或故选：C【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题6C解析：C【分析】设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：，此时，即：同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：此时所

10、以故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题7C解析：C【分析】设，计算出的三条边长，然后利用余弦定理计算出【详解】如下图所示，不妨设，则，过点作，垂足为点，易知四边形是正方形，则，在中，同理可得，在中，由余弦定理得，故选C【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题8B解析：B【解析】试题分析：由和正弦定理得，即因，故不可能为直角，故再由，故选B考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公

11、式三角形中的问题，要特别注意角的范围9D解析：D【分析】由题意可得的图像关于点对称，函数的图像也关于对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案.【详解】函数满足，的图像关于点对称，而函数的图像也关于对称，设 令，则， 令，则， ，故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.10B解析：B【分析】设是公比为q，根据已知条件有求得，数列的前项和为即可求的最小值【详解】令是公比为q，由，又即，又，知：的前项和为，则时，解得故选：B【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n项和及不等式条件求的最小值1

12、1B解析：B【分析】本题先根据题意求出、，再写出点、的坐标并求，最后求直线的方程即可.【详解】解：1，7成等差数列，解得，1，8成等比数列，解得点， 直线的方程：，即.故选：B.【点睛】本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.12C解析：C【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第个六边形数为，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得，将代入求得结果.【详解】记第个六边形数为，由题意知：，累加得，即，所以，故选：C.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.二、填空题132【分析】令从而可得再利用基本不等式即可求

13、解【详解】令则且当且仅当取等号即时成立故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必解析：2【分析】令，从而可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】令，则，且，当且仅当取等号，即时成立.故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不

14、是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14【分析】由题意设得到然后在中利用正弦定理求解【详解】如图所示：设船的初始位置为半小时后行驶到两个港口分别位于和所以则设则在中所以利用正弦定理解得所以船速为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的实际解析：【分析】由题意，设，得到，然后在中，利用正弦定理求解.【详解】如图所示：设船的初始位置为，半小时后行驶到，两个港口分别位于和，所以，则，设，则，在中，.所以利用正弦定理，解得所以船速为.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15【分析】设三角形三条边长分别为先分析得到再利用余弦定理得到最后利用正弦定理即

15、得解【详解】设三角形三条边长分别为那么因为所以故由题意得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形意在考查学解析：【分析】设，三角形三条边长分别为，先分析得到，再利用余弦定理得到，最后利用正弦定理即得解.【详解】设，三角形三条边长分别为，那么，因为所以，故由题意得.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16【分析】根据结合余弦定理可得再根据正弦定理将化简成关于的三角函数表达式再根据锐角求得的取值范围结合三角函数的性质求解值域即可【详解】因为故所以又锐角故由正弦定理所以又锐角故解得即故故答案为：【点睛】解析：【分析】根据，结

16、合余弦定理可得，再根据正弦定理将化简成关于的三角函数表达式，再根据锐角求得的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可.【详解】因为，故.所以.又锐角，故.由正弦定理，所以.又锐角，故，解得，即.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题.17【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：【分析】先换元，令

17、，则，；再采用“乘1法”，求出的最小值即可得解【详解】解：令，则，且，而，当且仅当，即时，等号成立的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题181【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】画出不等式组对应的可行域如图所示由可得数形结合可得当直线过A时直线在y解析：1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】画出不等式组

18、对应的可行域，如图所示，由可得，数形结合可得当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，联立，解得A（1，2），此时z有最小值为3121故答案为：1【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题19【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得：两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为：【点睛】本题考查了数列递推式考查了解析：【分析】把数列递推式中换为，整理得到

19、是等差数列，公差，然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得：，两边除以，并移向得出，是等差数列，公差，故当时，当时，不符合上式故答案为：【点睛】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了运算求解能力，属于中档题20【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键解析：【分析】根据递推公式构造等比数列，求出，再分组根据等比数列求和公式可得结果.【详解】由得，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等

20、比数列求解是解题关键.三、解答题21每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元【分析】设提价后每本杂志的定价为元，根据销售总收入等于销售价格乘以销售量，即可得到销售总收入为，再根据题意列出不等式，求解即可【详解】设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为，即解得，所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元【点睛】本题主要考查函数在生活中的应用，以及一元二次不等式的解法应用，属于基础题22（1）；（2）休闲区的长和宽应分别为米，米.【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函

21、数定义域；（2）根据基本不等式求S最小值，再根据等号取法确定休闲区的长和宽.【详解】（1）因为休闲区的长为x米，休闲区的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为米；从而矩形长与宽分别为米米，因此矩形所占面积，（2）当且仅当时取等号，此时因此要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应分别为米，米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.23（1），单调递增区间为：；（2）或.【分析】（1）由题可得，令即可解得单调递增区间；（2）由题可得，或，由余弦定理可求得，即可求出面积.【详解】（1），图象向右平移个单位长度得到的图象，横坐标缩短为原来的 (纵坐

22、标不变)得到图象，所以，令，解得，所以的单调递增区间为：（2）由（1）知，因为，所以又因为，所以，当时，此时由余弦定理可知，解得，所以，当时，此时由勾股定理可得，所以.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式.24（1）；（2）【分析】（1）中，利用正弦定理可得，进而得出答案；（2）中，利用余弦定理可得【详解】（1）中，即，解得，故；（2）中，即，化简得，解得25（1）条件性选择见解析，；（2）.【分析】（1）选择，由累加法求得，从而得；选择，由当时得出数列的递推关系，利用排除一个，由另一个得出通项公式；选

23、择，类似选择求出通项，从而得（2）由（1）可得，然后用错位相减法求和【详解】（1）选择，因为，所以时，所以当时，因为，所以当时，当时，也满足上式.因为，所以.选择，因为，所以当时，两式相减，得，即，所以或，因为，所以，因为，所以舍去，所以，即，所以.选择，因为数列的前项和为，所以当时，即，当时，即，也满足上式，所以，因为，所以.（2），所以，所以，所以.【点睛】方法点睛：本题考查累加法求通项公式，错位相减法求和数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，

24、）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和26（1）；（2）.【分析】（1）当时，与已知条件两式相减可得，再令，计算即可求解；（2）由（1）得，所以，再利用乘公比错位相见即可求和.【详解】（1）数列满足当时，两式作差有，所以当时，上式也成立所以（2）则，所以.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.