（数学）数学平行四边形的专项培优练习题(含答案)及详细答案.doc

1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度，得到如图2情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （ab，k0），第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由（3）在第（2

2、）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值【答案】（1）BGDE，BG=DE；BGDE，证明见解析；（2）BGDE，证明见解析；（3）16.25【解析】分析：（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定BCGDCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和详解：（1）BGDE，BG=DE；四边形ABCD和四

3、边形CEFG是正方形，BC=DC，CG=CE，BCD=ECG=90，BCG=DCE，BCGDCE，BG=DE，CBG=CDE，又CBG+BHC=90，CDE+DHG=90，BGDE（2）AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，又BCG=DCE，BCGDCE，CBG=CDE，又CBG+BHC=90，CDE+DHG=90，BGDE（3）连接BE、DG根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，BGDE，BCD=ECG=90BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三

4、角形的判定和性质以及勾股定理2在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE2b，且边AD和AE在同一直线上操作示例当2ba时，如图1，在BA上选取点G，使BGb，连结FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90到CHD的位置这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFMCHD，易得F

5、H=HC=GC=FG，FHC=90进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形实践探究（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a， b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图联想拓展小明通过探究后发现：当ba时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移当ba时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC

6、2进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如图2-图4；联想拓展：能，剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的3如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行

7、四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.详解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中， BOEDOF（ASA），EO=FO，四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BE=x，则

8、DE=x，AE=6-x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x= ，BD= =2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 4如图，在平行四边形ABCD中，ADDB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AEBD，求EDF的度数【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2

9、）EDF120【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，四边形ABCD是平行四边形，BCAD，即BCDG，由折叠可知，BCDG，四边形BCGD是平行四边形，ADBD，CBD90，四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，BDEF，DPBP，ADBD，EFADBC，AEBE，DE是RtADB斜边上的中线，DEAEBE，AEBD，DEBDBE，DBE是等边三角形，EDBDBE60，ABDC，DBCDBE60，EDF120【点睛】

10、本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度5如图，四边形是知形，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图所示.（1）求图中与的函数表达式;（2）求证:;（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y2x+4（0x2）；（2）见解析；（3）存在，x或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式；（2）证明CDEADF，得ADFCDE，可得结论；（3）分三种情况：若DEDG，则DGEDEG，

11、若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，若DGEG，则GDEGED，分别列方程计算可得结论【详解】（1）设ykx+b，由图象得：当x1时，y2，当x0时，y4，代入得：，得，y2x+4（0x2）；（2）BEx，BC2CE2x，四边形ABCD是矩形，CDAF90，CDEADF，ADFCDE，ADF+EDGCDE+EDG90，DEDF；（3）假设存在x的值，使得DEG是等腰三角形，若DEDG，则DGEDEG，四边形ABCD是矩形，ADBC，B90，DGEGEB，DEGBEG，在DEF和BEF中，DEFBEF（AAS），DEBEx，CE2x，在RtCDE中，由勾股定理得：1+（2x）2x2，x；若

12、DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，ADBC，EHCD，四边形CDHE是平行四边形，C90，四边形CDHE是矩形，EHCD1，DHCE2x，EHDG，HGDH2x，AG2x2，EHCD，DCAB，EHAF，EHGFAG，（舍），若DGEG，则GDEGED，ADBC，GDEDEC，GEDDEC，CEDF90，CDEDFE，CDEADF，2x，x，综上，x或或【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键6如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E

13、（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：yx+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EFx轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t0）当点F1移动到点B时，求t的值；当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与APE重叠部分的面积【答案】（1）EF15；（2）10；120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线

14、DE的直线解析式y=-x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=10=10；F点移动到F的距离是t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在RtFNF中，=，EM=NG=15-FN=15-3t，在RtDMH中，t=4，S=(12+)11=；当点G运动到直线DE上时，在RtFPK中，=，PK=t-3，FK=3t-9，在RtPKG中，t=7，S=15（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式ykx+b，将点E（30，0），点D（0，40），yx+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30

15、，15），EF15；（2）易求B（0，5），BF10，当点F1移动到点B时，t1010；当点H运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是t，在RtFNF中，=，FNt，FN3t，MHFNt，EMNG15FN153t，在RtDMH中，t4，EM3，MH4，S；当点G运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是t，PF3，PFt3，在RtFPK中，PKt3，FK3t9，在RtPKG中，t7，S15（157）120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键7如图

16、1，在ABC中，ABAC，ADBC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CEEF，延长FE交AD的延长线于G（1）求证：AEEG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BGBF，求证：BEEG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB5，求EM的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：CADG，可得AEEG；（2）作辅助线，证明BEFGEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EMDNAC，计算可得结论【详解】证明：（1）如图1，过E作EHCF于H，ADBC，EHAD，C

17、EHCAD，HEFG，CEEF，CEHHEF，CADG，AEEG；（2）如图2，连接GC，ACBC，ADBC，BDCD，AG是BC的垂直平分线，GCGB，GBFBCG，BGBF，GCBE，CEEF，CEF1802F，BGBF，GBF1802F，GBFCEF，CEFBCG，BCECEF+F，BCEBCG+GCE，GCEF，在BEF和GCE中，BEFGEC（SAS），BEEG；（3）如图3，连接DM，取AC的中点N，连接DN，由（1）得AEEG，GAEAGE，在RtACD中，N为AC的中点，DNACAN，DANADN，ADNAGE，DNGF，在RtGDF中，M是FG的中点，DMFGGM，GDMAG

18、E，GDMDAN，DMAE，四边形DMEN是平行四边形，EMDNAC，ACAB5，EM【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键8如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示.(1)图中= ，= ，图中= .(2)当=1秒时，试判断以为直径的圆是否与边相切?请说明理由:(3)点在运动过程中，将矩形沿所在直

19、线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=、5、.【解析】【分析】（1）由题意得出AB=2BE，t=2时，BE=22=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P在E处，m=AEQ的面积=AQAE=20即可；（2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出PQ=2，设以PQ为直径的圆的圆心为O，作ONBC于N，延长NO交AD于M，则MN=AB=8，OMAB，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出OM=AP=3，求出ON=MN-OM=5圆O的半

20、径，即可得出结论；（3）分三种情况：当点P在AB边上，A落在BC边上时，作QFBC于F，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA=PA，AQ=AQ=10，PAQ=A=90，由勾股定理求出AF=6，得出AB=BF-AF=4，在RtABP中，BP=4-2t，PA=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得出方程，解方程即可；当点P在BC边上，A落在BC边上时，由折叠的性质得：AP=AP，证出APQ=AQP，得出AP=AQ=AP=10，在RtABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；当点P在BC边上，A落在CD边上时，由折叠的性质得：AP=

21、AP，AQ=AQ=10，在RtDQA中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA=6，得出AC=CD-DA=2，在RtABP和RtAPC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可【详解】（1）点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，AB=2BE，由图象得：t=2时，BE=22=4，AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，BC=22-4=18，当t=0时，点P在E处，m=AEQ的面积=AQAE=104=20；故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下： 当t=1时，PE=2，AP=AE+P

22、E=4+2=6，四边形ABCD是矩形，A=90，PQ=，设以PQ为直径的圆的圆心为O，作ONBC于N，延长NO交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，OMAB，MN=AB=8，O为PQ的中点， OM是APQ的中位线，OM=AP=3，ON=MN-OM=5，以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：当点P在AB边上，A落在BC边上时，作QFBC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，四边形ABCD是矩形，A=B=BCD=D=90，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA=PA，AQ=AQ=10，PAQ=A=90，AF=6，AB=BF-AF=4，在RtABP中，

23、BP=4-2t，PA=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=；当点P在BC边上，A落在BC边上时，连接AA，如图3所示：由折叠的性质得：AP=AP，APQ=APQ，ADBC，AQP=APQ，APQ=AQP，AP=AQ=AP=10，在RtABP中，由勾股定理得：BP=6， 又BP=2t-4，2t-4=6，解得：t=5；当点P在BC边上，A落在CD边上时，连接AP、AP，如图4所示：由折叠的性质得：AP=AP，AQ=AQ=10，在RtDQA中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA=6，AC=CD-DA=2，在RtABP和RtAPC中，B

24、P=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t，由勾股定理得：AP2=82+（2t-4）2，AP2=22+（22-2t）2，82+（2t-4）2=22+（22-2t）2，解得：t=；综上所述，t为或5或时，折叠后顶点A的对应点A落在矩形的一边上【点睛】四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.9点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断

25、OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得OEF30时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明【答案】（1）OEOF理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OEOF仍然成立；（3）CFOE+AE或CFOEAE【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定，得出OE=OF；（2）先延长EO交CF于点G，通过判定，得出OG=OE，再根据中，即可得到OE=OF；（3）根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P

26、在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可【详解】（1）OE=OF理由如下：如图1四边形ABCD是矩形， OA=OC，在和中， OE=OF；（2）补全图形如图2，OE=OF仍然成立证明如下：延长EO交CF于点G， AE/CF，又点O为AC的中点， AO=CO在和中， OG=OE，中， OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE证明如下：如图2，当点P在线段OA上时，由（2）可得：OF=OG，是等边三角形， FG=OF=OE，由（2）可得：， CG=AE又 CF=GF+CG， CF=OE+AE；如图3，当点P在线段OA延长线上时，同理可得：是等边三

27、角形， FG=OF=OE，同理可得：， CG=AE又 CF=GF-CG， CF=OE-AE【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决10如图，抛物线交x轴的正半轴于点A，点B（，a）在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC，以AB、BC为邻边作ABCD，记点C纵坐标为n， （1）求a的值及点A的坐标； （2）当点D恰好落在抛物线上时，求n的值； （3）记CD与抛物线的交点为E，连接AE，BE，当AEB的面积为7时，n=_（直接写出答案）【答案】（1）， A（3，0）；（2）【解析】试题解析：（1）把点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出a的值，令y=0即可求出点A的坐标（）求出点D的坐标即可求解；（3）运用AEB的面积为7，列式计算即可得解.试题解析：（1）当时，由 ，得（舍去），（1分）A（3，0） （2）过D作DG轴于G，BH轴于H.CDAB，CD=AB， （3）