(数学)培优反比例函数辅导专题训练含详细答案.doc
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- 数学 反比例 函数 辅导 专题 训练 详细 答案
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1、一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,m)和B(8,2),与y轴交于点C (1)m=_,k1=_; (2)当x的取值是_时,k1x+b ; (3)过点A作ADx轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点设直线OP与线段AD交于点E,当S四边形ODAC:SODE=3:1时,求点P的坐标 【答案】(1)4;(2)8x0或x4(3)解:由(1)知,y1= x+2与反比例函数y2= , 点C的坐标是(0,2),点A的坐标是(4,4)CO=2,AD=OD=4S梯形ODAC= OD= 4=12,S四边形ODAC:SOD
2、E=3:1,SODE= S梯形ODAC= 12=4,即 ODDE=4,DE=2点E的坐标为(4,2)又点E在直线OP上,直线OP的解析式是y= x,直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4 ,2 ) 【解析】【解答】解:(1)反比例函数y2= 的图象过点B(8,2), k2=(8)(2)=16,即反比例函数解析式为y2= ,将点A(4,m)代入y2= ,得:m=4,即点A(4,4),将点A(4,4)、B(8,2)代入y1=k1x+b,得: ,解得: ,一次函数解析式为y1= x+2,故答案为:4, ;(2)一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A(4,4)和B
3、(8,2),当y1y2时,x的取值范围是8x0或x4,故答案为:8x0或x4;【分析】(1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点,将B坐标代入反比例函数解析式中,求出k2的值,确定出反比例解析式,再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值,确定出A的坐标,将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值;(2)由A与B横坐标分别为4、8,加上0,将x轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可;(3)先求出四边形ODAC的面积,由S四边形ODAC:SODE=3:1得到ODE的面积,继而求得点E的坐标,从而得出直线OP的解析式,结合反比例函数解析式即可得2如图,反比例函数y
4、= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点,点A的坐标为(2,3n),点B的坐标为(5n+2,1)(1)求反比例函数与一次函数的表达式; (2)将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,使平移后的图象与反比例函数y= 的图象有且只有一个交点,求a的值; (3)点E为y轴上一个动点,若SAEB=5,则点E的坐标为_ 【答案】(1)解:A、B在反比例函数的图象上,23n=(5n+2)1=m,n=2,m=12,A(2,6),B(12,1),一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点, ,解得 ,反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ,y= x+7(2)解:设平移后的一次函数的解析
5、式为y= x+7a,由 ,消去y得到x2+(2a14)x+24=0,由题意,=0,(21a14)2424=0,解得a=72 (3)(0,6)或(0,8) 【解析】【解答】(3)设直线AB交y轴于K,则K(0,7),设E(0,m),由题意,PE=|m7|SAEB=SBEPSAEP=5, |m7|(122)=5|m7|=1m1=6,m2=8点E的坐标为(0,6)或(0,8)故答案为(0,6)或(0,8)【分析】(1)由A、B在反比例函数的图象上,得到n,m的值和A、B的坐标,用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式;(2)由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位,得到平移后的一次函
6、数的解析式,由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点,得到方程组求出a的值;(3)由点E为y轴上一个动点和SAEB=5,求出点E的坐标.3如图,已知直线y=x+k和双曲线y= (k为正整数)交于A,B两点(1)当k=1时,求A、B两点的坐标; (2)当k=2时,求AOB的面积; (3)当k=1时,OAB的面积记为S1 , 当k=2时,OAB的面积记为S2 , ,依此类推,当k=n时,OAB的面积记为Sn , 若S1+S2+Sn= ,求n的值 【答案】(1)解:当k=1时,直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+1和y= ,解 得 , ,A(1,2),B(2,1)(2)解:当k=2时,
7、直线y=x+k和双曲线y= 化为:y=x+2和y= ,解 得 , ,A(1,3),B(3,1)设直线AB的解析式为:y=mx+n, ,直线AB的解析式为:y=x+2直线AB与y轴的交点(0,2),SAOB= 21+ 23=4;(3)解:当k=1时,S1= 1(1+2)= ,当k=2时,S2= 2(1+3)=4,当k=n时,Sn= n(1+n+1)= n2+n,S1+S2+Sn= , ( +n2)+(1+2+3+n)= ,整理得: ,解得:n=6 【解析】【分析】(1)两图像的交点就是求联立的方程组的解;(2)斜三角形AOB的面积可转化为两水平(或竖直)三角形(有一条边为水平边或竖直边的三角形称
8、为水平或竖直三角形)的面积和或差;(3)利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.4给出如下规定:两个图形G1和G2 , 点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点(1)点A的坐标为A(1,0),则点B(2,3)和射线OA之间的距离为_,点C(2,3)和射线OA之间的距离为_; (2)如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为 ,那么k=_;(可在图1中进行研究) (3)点E的坐标为(1, ),将射线OE绕原点O顺时针旋转120,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间
9、的距离相等的点所组成的图形记为图形M请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)将射线OE,OF组成的图形记为图形W,直线y=2x4与图形M的公共部分记为图形N,请求出图形W和图形N之间的距离 【答案】(1)3;(2)4(3)解:如图,x轴正半轴,GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF垂直),;由知OH所在直线解析式为y= x,OG所在直线解析式为y= x,由 得 ,即点M( , ),由 得: ,即点N( , ),则 x ,图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,2x4),即图形W与图形N之间的距离为d,d= = = 当x= 时,d的
10、最小值为 = ,即图形W和图形N之间的距离 【解析】【解答】解:(1)点(2,3)和射线OA之间的距离为3,点(2,3)和射线OA之间的距离为 = ,故答案分别为:3, ;(2)直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为 ,k0(否则直线y=x+1和双曲线y= 相交,它们之间的距离为0)过点O作直线y=x+1的垂线y=x,与双曲线y= 交于点E、F,过点E作EGx轴,如图1,由 得 ,即点F( , ),则OF= = ,OE=OF+EF=2 ,在RtOEG中,EOG=OEG=45,OE=2 ,则有OG=EG= OE=2,点E的坐标为(2,2),k=22=4,故答案为:4;【分析】(1)由题
11、意可得出点B(2,3)到射线OA之间的距离为B点纵坐标,根据新定义得点C(2,3)和射线OA之间的距离;(2)根据题意即可得k0(否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交,它们之间的距离为0)过点O作直线y=x+1的垂线y=x,与双曲线y= k x 交于点E、F,过点E作EGx轴,如图1,将其联立即可得点F坐标,根据两点间距离公式可得OF长,再由OE=OF+EF求出OE长,在RtOEG中,根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为(2,2),将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.(3)如图,x轴正半轴,GOH的边及其内部的所有点(OH、OG分别与OE、OF垂直);由知OH所在直线解析式为y
12、= x,OG所在直线解析式为y= x,分别联立即可得出点M、N坐标,从而得出x取值范围,根据题意图形N(即线段MN)上点的坐标可设为(x,2x4),从而求出图形W与图形N之间的距离为d,由二次函数性质知d最小值.5已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k0,b0)的图象上,将点P向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上 (1)k的值是_; (2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y= 图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CEx轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为OAB的面积,若 = ,则b
13、的值是_【答案】(1)2(2)3 【解析】【解答】解:(1)设点P的坐标为(m,n),则点Q的坐标为(m1,n+2),依题意得: ,解得:k=2故答案为:2(2)BOx轴,CEx轴,BOCE,AOBAEC又 = , = = 令一次函数y=2x+b中x=0,则y=b,BO=b;令一次函数y=2x+b中y=0,则0=2x+b,解得:x= ,即AO= AOBAEC,且 = , AE= AO= b,CE= BO= b,OE=AEAO= bOECE=|4|=4,即 b2=4,解得:b=3 ,或b=3 (舍去)故答案为:3 【分析】(1)设出点P的坐标,根据平移的特性写出Q点的坐标,由点P,Q均在一次函数
14、y=kx+b(k,b为常数,且k0,b0)的图象上,即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组,两式作差即可求出k的值;(2)由BOx轴,CEx轴,找出AOBAEC再由给定图形的面积比即可求出=,根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE的长,利用OE=AEAO求出OE的长,再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程,解方程即可得出结论。6如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为BC边上的点,反比例函数y= (k0)在第一象限内的图象经过点D(m,2)和AB边上的点E(3, ) (1)求反比例函数的表达式和m的值; (2)将
15、矩形OABC的进行折叠,使点O于点D重合,折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F,G,求折痕FG所在直线的函数关系式 【答案】(1)解:反比例函数y= (k0)在第一象限内的图象经过点E(3, ), k=3 =2,反比例函数的表达式为y= 又点D(m,2)在反比例函数y= 的图象上,2m=2,解得:m=1(2)解:设OG=x,则CG=OCOG=2x, 点D(1,2),CD=1在RtCDG中,DCG=90,CG=2x,CD=1,DG=OG=x,CD2+CG2=DG2 , 即1+(2x)2=x2 , 解得:x= ,点G(0, )过点F作FHCB于点H,如图所示由折叠的特性可知:GDF=GOF=90,O
16、G=DG,OF=DFCGD+CDG=90,CDG+HDF=90,CGD=HDF,DCG=FHD=90,GCDDHF, =2,DF=2GD= ,点F的坐标为( ,0)设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b,有 ,解得: 折痕FG所在直线的函数关系式为y= x+ 【解析】【分析】(1)由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值,再由点B在反比例函数图象上,代入即可求出m值;(2)设OG=x,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解方程即可求出x值,从而得出点G的坐标再过点F作FHCB于点H,由此可得出GCDDHF,根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度,从而得出点F的坐
17、标,结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论7如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数 与 (x0,0mn)的图象上,对角线BDy轴,且BDAC于点P 已知点B的横坐标为4(1)当m=4,n=20时若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m , n之间的数量关系;若不能,试说明理由 【答案】(1)当x=4时, 点B的坐标是(4,1)当y=2时,由得 得x=2点A的坐标是(2,2)设直线AB的函数表达式为 解得 直线AB的函数表达式为 四边形ABCD为菱形,理由如下:如图,由得点
18、B(4,1),点D(4,5)点P为线段BD的中点点P的坐标为(4,3)当y=3时,由 得 ,由 得 ,PA= ,PC= PA=PC而PB=PD四边形ABCD为平行四边形又BDAC四边形ABCD是菱形(2)四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD时正方形时,PA=PB=PC=PD(设为t,t0),当x=4时, 点B的坐标是(4, )则点A的坐标是(4-t, ) ,化简得t= 点D的纵坐标为 则点D的坐标为(4, )所以 ,整理得m+n=32【解析】【分析】(1)分别求出点A,B的坐标,运用待定系数法即可求出直线AB的表达示;由特殊的四边形可知,对角线互相垂直的是菱形和正方形,则可猜测这个四边形
19、是菱形或是正方形,先证明其为菱形先,则需要证明四边形ABCD是平行四边形,运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些;再判断对角线是否相等,若不相等则不是正方形;(2)要使m,n有具体联系,根据A,B,C,D分别在两个函数图象,且由正方形的性质,可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ,即可得到只关于m和n的等式8【阅读理解】我们知道,当a0且b0时,( )20,所以a2 +0,从而a+b2 (当a=b时取等号),【获得结论】设函数y=x+ (a0,x0),由上述结论可知:当x= 即x= 时,函数y有最小值为2 (1)【直接应用】若y1=x(x0)与y2= (x
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